Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку

2)При условиях второго утверждения теоремы решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.3), как легко видеть, единственно, а потому — обыкновенная интегральная кривая уравнения (2.1.1). □

2.6. Частные случаи.

Случай 1. Пусть уравнение (2.1.1) разрешено относительно у, т. е. имеет вид        

Где — область, в любой области . Уравнение определяет в пространстве ℝ³ гладкую поверхность S. Его область задания , криминанта К определяется системой уравнений

(2.2.)

Для уравнения  обычна параметризация Т: . Производная отображения Т : ∑→S

 

где (*) — знак транспонирования, так что условие (2.2.2) для него выполняется, а формулы (2.2.11),(2.2.13) и (2.2.14) принимают соответственно вид

 

 

 

Из (2.2.) и (2.2.) следует (в согласии с леммой 2.2.2):, а из (2.2.) и (2.2.) следует (в согласии с (2.2.15)): .

Пусть нам удалось полностью проинтегрировать в области ∑ уравнение (2.2.). Пусть λ — произвольная его интегральная кривая. С учетом всего сказанного в п.2.2.6 для уравнений (2.1.) и (2.2.1) лемма 2.2.3 и теоремы 2.2.1-2.2.5 принимают соответственно следующий вид.

 Лемма 2.2.. А. Пусть λ — график решения уравнения (2.2.1). При этом условии справедливо утверждение— интегральная кривая уравнения 1) функция , имеет непрерывную обратную функцию ,2)функция обладает свойствами: т. е. имеет .место равенство (2.2.20).

Б. Пусть λ — график решения , уравнения (2.2.1) (и, следовательно, р'(х) непрерывна в J). При этом условии — интегральная кривая уравнения (2.l.)⇔ функция ,обладает свойством:, т.е. выполняется равенство (2.2.20).

Теорема 2.2.. Если , то

1. А — график решения , уравнения (2.l.),
2. —обыкновенная интегральная кривая уравнения ().

Это утверждение есть объединенная формулировка для случая 1 теорем 2.2.1 и 2.2.4.

Теорема 2.2.. Пусть .

А. Если  , причем функция х(р) строго монотонна в I, а х'(р) имеет в I разве лишь изолированные нули, то (⊂ d) — интегральная кривая уравнения (2.l.).

Б. Если (причем , то — интегральная кривая уравнения (2.l.).

Теорема 2.2.. Если, то.

Доказательство. Это утверждение есть повторение теоремы 2.2.3. В данном частном случае оно почти очевидно. Действительно, если , то, как следует из (2.2.1), (2.2.1) и (2.2.1), на т.е. на , т,с. определяется уравнением . Это означает, что функция , не обратима, т.е. условие 1) леммы 2.3.3 не выполняется, а потому не является интегральной кривой уравнения (2.l.).

Далее из доказанного следует согласно (2.2.), что

 

и, следовательно , а тождество принимает вид . Из него следует, что , а тогда выражение для принимает вид . Но . □

Теорема 2.2. включена в теорему 2.2.

Теорема 2.2.. Пусть и такова, что — интегральная кривая уравнения (2.l.). Пусть для λ имеет место случай А (случай Б) теоремы 2.2..

1)Если при этом через точку w(p) = (х(р),р) проходит интегральная кривая уравнения (2.3.1), которая а) ни в какой окрестности W () точки не совпадает с , б) такова,что — интегральная кривая уравнения (), то — особая интегральная кривая уравнения (), огибающая семейства его интегральных кривых

2)Если же ни через одну точку вышеописанная интегральная кривая уравнения () не проходит, то — обыкновенная интегральная кривая уравнения ().

Пример. Рассмотрим уравнение

(2.2.29)

Это уравнение вида у = g(х, у'). Более того, это уравнение вида , т.е. представляет собой уравнение Клеро. В пространстве ℝ³ оно определяет гладкую линейчатую поверхность S : эта поверхность расслаивается на прямые

у' = С, у=Сх + С³, С ∊ ℝ.

Криминанта уравнения (3.29) определяется системой уравнений

 

Исключая из этой системы у', получаем дескриминантную кривую уравнения (3.29)в виде

d : 4х³ + 27у² = 0.

Это полукубическая парабола. Ее ветви

 

суть интегральные кривые уравнения (2.2.29), в чем легко убедиться непосредственной проверкой.

Параметризуя уравнение (2.2.29) с помощью отображения

         Т : х=х, у=рх + р³, у' =p, (р,x) ∊ ∑ = ℝ²,

получаем на плоскости  параметров х,р уравнение

, (2.2.30)

множество ω особых точек которого иммет вид

.

Интегральными для (2.3.30) являются следующие линии:

а) — прямая ,

б) кривая .

Согласно лемме (п. Б) каждая прямая , порождает интегральную прямую уравнения (2.3.29)

 

а ветви кривой порождают интегральные кривые уравнения (2.2.29)

 

Исследуем интегральные кривые уравнения (2.2.29) , и на обыкновенность-особенность. Для этого применим к их прообразам и теорему .

прямая не имеет общих точек с другими интегральными кривыми уравнения (2.2.30), исключая точку , в которой она пересекается с параболой . Из этого на основании теоремы , п. 2, следует, что части прямой ,

Соответствующие ,являются обыкновенными интегральными линиями уравнения(2.2.29).Напротив,через любую точку проходит интегральная прямая уравнения(2.2.30), которая отлична от и для которой — интегральная кривая уравнения (2.2.29). Из этого на основании теоремы , п. 1, следует, что — особая интегральная кривая уравнения (2.2.29), огибающая семейства его интегральных прямых . В последнем можно убедиться непосредственно.

Случай 2. Пусть уравнение (2.1.1) разрешено относительно x, т. е. имеет вид

 

где — область, в любой области . Уравнение (2.1.1₂) определяет в пространстве ℝ³ переменных х, у, у' гладкую (непрерывно дифференцируемую) поверхность S. Его область задания G = π(S). Его криминанта К определяется системой уравнений в ℝ³

x = f(y,y'), , (2.2.2₂)

а дискриминантная кривая d = π(К).

Для уравнения (2.) обычна параметризация

Т : х = f(y,p), y=y ,  у'=p, . (2.2.8₂)

Производная отображения 

 

где (*) — знак транспонирования. Условие 2.2 для него выполняется, а формулы (2.2.11), (2.2.13) и (2.2.14) принимают, соответственно, вид

 

 

 

Из этих формул следует: .

Пусть λ — произвольная интегральная кривая уравнения (). Возникает вопрос о том, всегда ли ее (x , у)-образ является интегральной кривой уравнения (). Лемма 2.2.3 и теоремы 2.2.1-2.2.5, отвечающие на этот вопрос в общем случае, для частного случая 2 принимают, соответственно, следующий вид.

Лемма А. Пусть λ — график решения у = у(р), р ∊ I, уравнения (). При этом условии справедливо утверждение: — интегральная кривая уравнения() 1) функ

ция х = f(y(p),p), р ∊ I, имеет непрерывную обратную фуикцию , 2) функция ,обладает свойствами:, т.е. выполняется равенство (2.2.20).

Б. Пусть λ — график решения р = р(у), у ∊ I, уравнения (). При этом условии справедливо такое утверждение: — интегральная кривая уравнения 1) функция х = f(y,p(y)), у ∊ I имеет обратную функцию , 2) функция , т. е. имеет место равенство (2.2.20).

Теорема . Если , то

1. представима а) вне оси р = 0 в виде р = р(у), б) в окрестности оси р = 0 — в виде у = у(р);
2. представима в виде а) х = f(y,p(y)) или б) х = f(y(p),p), у = у(р) соответственно случаям а) и б) представления и является обыкновенной интегральной кривой уравнения ().

Эта теорема есть объединение для случая 2 теорем 2.2.1 и 2.2.4.

Теорема .Пусть и для нее имеет место случай А (случайБ) леммы Если функция х = f(y(p),p), р ∊ I,( функция ),строго монотонна, причем ее производная х'(р) (х'(у)) имеет в I разве лишь изолированные нули, то кривая является интегральной кривой уравнения

Теорема . Если , то .

Это повторение теоремы 2.3. Но для рассматриваемого частного случая она легко доказывается непосредственно. Действительно, из следует, что при условиях теоремы на верно тождество : Но . □

Теорема вошла в состав теоремы .

Теорема . Пусть и такова, что — интегральная кривая уравнения (). Пусть для имеет место случай А (случай Б) леммы

1)Если при этом через точку проходит интегральная кривая уравнения () которая а) ни в какой окрестности точки не совпадает с , б) такова, что — интегральная кривая уравнения (), то — особая интегральная кривая уравнения (), огибающая семейства его интегральных кривых .

2)Если же ни через одну точку w(p) (w(y)) ∊   вышеописанная интегральная кривая уравнения (2.) не проходит, то — обыкновенная интегральная кривая уравнения (2.1.1₂).

Пример. Рассмотрим уравнение

F( х, у, у^’) = (у')³ - 4хуу' + 8у² = 0. (2.2.31)

Здесь 1) F — аналитическая в D = ℝ³, 2) в любой области D' ⊂ D.

Из этого следует, что  для уравнения (2.2.31) на прямой условие 2.2.1, обеспечивающее гладкость поверхности S, не выполняется. Поэтому будем рассматривать уравнение (2.2.31) в области . Здесь оно определяет гладкую поверхность S', а при может быть переписано в виде

                

т.е. в виде .

Чтобы упростить исследование, ограничимся рассмотрением уравнения координатной четверти пространства   у' > 0. Его рассмотрение в координатной четверти ℝ', соответствующей любой другой комбинации знаков у и у', может быть произведено аналогично.

Пусть — поверхность, определяемая уравнением () в области . Тогда — область задания уравнения (), рассматриваемого в . Криминанта К уравнения () определяется уравнениями

 

и, следовательно, его дискриминантной  кривой является кривая d :

.

Параметризуя поверхность  с помощью отображения

 

получаем в области  уравнение

                        (4у² — p³)(pdy — 2ydp) = 0.   (2.2.32)

 Множество его особых точек

 

Отметим, что при данной параметризации поверхности множество (согласно ()) определяется уравнением , и, следовательно (в чем легко убедиться), совпадает с

Интегрируя уравнение (2.2.32), находим все его интегральные кривые в области оно имеет интегральную кривую , б) кроме того, оно имеет интегральную кривую .

Применяя к  лемму  (п. А), находим:

1) функция  имеет непрерывную обратную функцию

2) функция 

обладает свойством т.е. условия леммы 2.2.3₂ (п. А) выполняются. Следовательно, кривая

 

— интегральная кривая уравнения (2.2.32).

Применяя к , лемму (п. Б), находим: 1) функция

 

имеет непрерывную обратную функцию    причем 2) , ибо

 

т.е. условия 1),2) леммы  (п. Б), выполняются. Следовательно, — интегральная кривая уравнения (2.2.32).

Исследуем интегральные кривые уравнения (2.2.32) , С > 0, и на обыкновенность-особенность. Для кривых , С > 0, это можно сделать с помощью леммы 2.2.1, а для кривой — с помощью теоремы , в основе которой лежит определение особой интегральной кривой.

При кривая пересекаетя с кривой , в единственной точке кривая пересекается с кривой К = Т(æ) в единственной точке кривые и имеют общую точку . Нетрудно убедиться в том, что а) — единственная общая точка кривых  б) в точке эти кривые соприкасаются. Из этого вытекают следующие утверждения.

1)Интегральные кривые уравнения (2.2.32) и лежат в , а потому (согласно лемме 2.2.1) являются обыкновенными интегральными кривыми.

2)Через каждую точку проходит с тем же наклоном интегральная кривая уравнения (2.2.32) —, которая ни в какой окрестности точки не совпадает с А это означает, что — особая интегральная кривая уравнения (2.2.32), огибающая семейства его интегральных кривых

Примечание. Линия — интегральная кривая уравнения (2.2.31). Каждой ее точке соответствует одно допустимое значение . Между тем, при через нее проходит, кроме , интегральная кривая уравнения (2.2.31) отличная от в любой окрестности точки , а при — интегральная кривая . Следовательно , — особая интегральная кривая уравнения (2.2.31).

 

 

 

 

Литература

1. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Высшая школа, 1974. 768 с.
2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 468 с.
3. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.
4. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.
5. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 304 с.