Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Одеський національний університет ім.І.І.Мечникова

Інститут математики, економіки  і  механіки

Кафедра диференціальних рівнянь

 

 

 

Курсова робота

На тему  : «Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку»

 

 

                                                       

 

 

 

                                  студентки 2 курсу групи 01

факультету математики

                                                напрямку підготовки математика

Куліш Вікторії Сергіївни

Керівник : доцент,кандидат фіз.-мат. наук Самкова Галина Євгенівна

Содержание

1. Введение                                                                                                3
2. Уравнения, разрешенные относительно производной                               

2.1 Основные понятия                                                                                       4

2.2 Признаки особого  решения                                                                         7 

2.3 Примеры                                                                                                       9 

3. Уравнения, не разрешенные относительно производной

3.1 Основные понятия                                                                                     16

3.2 Общий случай                                                                                             19

3.3 Обыкновенные  и особые решения                                                            31

4. Литература                                                                                                     44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

  При изучений явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называются дифференциальными.

  Как говорил Исаак Ньютон, законы природы записаны на языке дифференциальных уравнений.

  В частности, классическая теория нормальных систем дифференциальных уравнений, опирающаяся на теоремы сущестования и единственности Коши, описывает детерминированные процессы, происходящие в природе, технике и даже в обществе, т. е. такие, для которых состояние изучаемой системы в любой фиксированный момент определяет ее состояние в любой другой момент. Решения, описывающие такие процессы, называются обыкновенными. При нарушении же условий теоремы Коши картина резко меняется. Точка, в любой окрестности которой такое нарушение имеет место, может стать для системы точкой неединственности, точкой ветвления, описываемого системой процесса. Решение системы, каждая точка которого является точкой неединственности, называется особым. Но задача полного интегрирования системы дифференциальных уравнений предполагает нахождение всех ее решений, а потому требует и знания методов отыскания ее особых решений.

 

 

 

1.Уравнения, разрешенные относительно производной

§1. Основные понятия

Рассмотрим дифференциальное уравнение

у’ = f(x,y), f С(G),                                         (1.1.1)

где G ()— область (она называется областью задания уравнения). Решением уравнения (1.1.1) называется любая функция

: I = (, ) →ℝ класса С¹ (I), которая, будучи подставлена в уравнение вместо переменной у, обращает его в тождество относительно х : '(x)≡f(х,φ(х)), х I. Здесь I =— открытый, полуоткрытый или замкнутый промежуток оси х,-∞≤α<β≤+∞. График решения φ, т.е. кривая у=φ(х), х I, называется интегральной кривой уравнения.

Основной для уравнения (1.1.1) является следующая начальная задача (задача Коши): задана точка =() G. требуется найти решение φ уравнения, удовлетворяющее условию

φ()=                                        (1.1.2)

Условие (1.1.2) называется начальные условием искомого решения φ. Говорят, что решение задачи Коши (1.1.1), (1.1.2) единственно, если для любых двух ее решений ,x , k= 1,2, существует δ > 0 : , x . При этом точка =() называется точкой единственности для уравнения (1.1.1). Множество G'(⊂G), каждая точка которого есть точка единственности для уравнения (1.1), называется множеством единственности для этого уравнения.

Условия существования () и единственности (!) решения задачи Коши для уравнения (1.1) дают следующие теоремы.

Теорема 1.1 (Коши) Если в уравнении (1.1.1) f и (G), то =() G ! решение задачи Коши (1.1.1),(1.1.2) φ(x), x =[

 Здесь число h определяется следующим образом. Пусть числа а > 0 и b > 0 таковы, что прямоугольник

R = {(x,y) : |x-| ≤ a, |y- ≤ b}

содержится в G,а число М > 0 таково , что |f(x,y)| ≤ М в R. Тогда h = min{a,b /М}. Отрезок (с таким h) называется отрезком Коши задачи (1.1.1), (1.1.2).

При условиях теоремы Коши область G является областью и ! для уравнения (1.1.1).

Пример  1.1.1. Рассмотрим уравнение

У¹ = (х)у^п+f(x,y),

где п ≥ 0 — целое, Для него область задания G = I ℝ, f, C(G), а потому G — область и !

Теорема 1.1.2 (Пеано) . Если в уравнении (1.1.1) f C(G), то G задача Коши (1.1.1),(1.1.2) имеет хотя 6ы одно решение  , где — ее отрезок Коши.

Решение задачи Коши (1.1.1), (1.1.2) всегда может быть продолжено на максимальный интервал существования . При условиях теоремы Коши такое продолжение единственно, а при условиях теоремы Пеано, вообще говоря, не единственно. Любое максимально продолженное решение называется полным.

Решение уравнения (1.1.1) называется обыкновенным (особым), если каждая его точка есть точка единственности (не единственности) для этого уравнения. 

 Пример 1.1.2. Рассмотрим уравнение

 

Для него область задания G=. По теореме Пеано она является областью существования его решений. По теореме Коши области

G± : ±у > 0 суть области и ! для него. Функция у ≡ 0, ,

— его решение. Решение  не существует. Следователь-

но, для каждой из его точек (, 0) единственность решения задачи

Коши теоремой Коши не гарантируется. В данном случае ее и нет: через  любую точку (, 0), кроме решения у = 0, х , проходит еще, например, решение у = (x-)³, х , данного уравнения, причем > 0 эти решения различны в -окрестности точки . Таким образом, решение у = 0, х , данного уравнения удовлетворяет определению особого решения и, следовательно, является таковым.

Семейство функций (кривых)

                                       (1.1.3)

D = {(x, С), С Г = () ⊂ ℝ, x 1_С = }, называется общим решением уравнения (1.1.1) на множестве G' ⊂ G, если

1) уравнение имеет решение и притом только одно,

2)функция у , x , есть решение уравнения (1.1.1).

На геометрическом языке  это означает следующее:

1') через каждую точку G' проходит кривая семейства (1.1.3) и притом только одна,

2') эта кривая является  интегральной кривой уравнения  (1.1.1).

Решение у , x уравнения (1.1.1), получающееся из его общего решения (1.3) при частном значении Со параметра С, называется частным решением (по отношению к общему решению (1.1.3)). Кроме решений семейства (1.1.3), уравнение (1.1.1) может иметь в G' решения, не входящие в это семейство. Более того, если G' ≠ G, то оно имеет также решения в G \ G'. Процесс нахождения всех решений уравнения (1.1.1) называется интегрированием последнего.

Пусть задано семейство дифференцируемых кривых (1.1.3). Пусть эти кривые покрывают множество G' плоскости х, у. Пусть кривая L : у = (х), ψ также лежит в G'. Кривая L называется огибающей семейства кривых (1.1.3), если

 б) 

2)   на любом интервале изменения (т.е. никакая собственная часть кривой J не лежит на какой-либо фиксированной кривой семейства (1.3)).

    Пример 1.1.3. Семейство кривых : у = (х — С)²,(х,С) , заполняет полуплоскость у ≥ 0 плоскости х, у. Линия у = 0, х, — огибающая этого семейства кривых.

§ 2. Признаки особого  решения

Теорема 1.2.1 (о решении, для которого не выполняется условие единственности Коши). Пусть L : у = ψ(х). J, — интегральная кривая уравнения (1.1) и область (⊂ G) такая, что a) L ⊂ или б) L ⊂ . Пусть G' = в случае а), G' = L в случае 6} и уравнение (1.1) имеет ка множестве G' общее решение (1.1.3). Пусть (G'), кроме точек кривой L.

А. Если решение уравнения (1.1.1) у =ψ(х), х J, — частное по отношению к общему решению (1.1.3), то оно является обыкновенным решением уравнения (1.1.1), рассматриваемого на множестве G'.

Б. Если решение ψ(х), х J, (равно как и его сужение на любой промежугюк J' ⊂ J) не является частным по отношению к (1.1.3), то оно является особым решением уравнения (1.1.1).

Доказательство. А. Будем рассматривать уравнение (1.1.1) па множестве G'. По определению общего решения интегральные кривые семейства (1.3) покрывают G' со свойством единственности. При условиях утверждения А теоремы кривая L — одна из них. По теореме Коши G'\L — множество единственности для уравнения (1.1.1), а потому в нем нет интегральных кривых уравнения (1.1.1), отличных от кривых семейства (1-3). Следовательно, G' — множество единственности для уравнения (1.1), рассматриваемого на G'. В частности, каждая точка (х, ψ(х)) есть точка единственности для (1.1.1), а потому у=ψ(х), х J, — обыкновенное решение этого уравнения.

Б. При условиях утверждения Б теоремы J через точку (хо,ψ(хо)) L проходят, по крайней мере, следующие два решения уравнения (1.1.1): решение у=ψ(х) и некоторое частное решение семейства (1.1.3), причем они различны: А это и означает, что у = ψ(х), х , — особое решение уравнения (1.1.1).

Теорема 1.2.2 (второй достаточный признак особого решения) . Пусть (1.1.3) есть общее решение уравнения (1.1.1) на множестве . Если кривая L : у = ψ(х), х , есть огибающая семейства кривых (1.3), то функция ψ(х), х , — особое решение уравнения (1.1.1).

Доказательство. Согласно п. 1) определения огибающей  б) 

Следовательно, φ(х), х, — решение уравнения (1.1.1). Согласно п. 2) определения огибающей никакая ее собственная часть L' не лежит на фиксированной кривой Lс семейства (1.1.3). Следовательно, через любую точку проходят, по крайней мере, два различных решения уравнения (1.1.1): у = ψ(х) и у= .А это и означает, что ψ(х), х, — особое решение уравнения (1.1.1). □

Замечание 1.2.1. Условия утверждения Б теоремы 1.2.1 и условия теоремы 1.2.2 фактически тождественны, но высказаны разными словами.

Таким образом, мы получаем два способа выявления особых решений уравнения (1.1.1).

Первый способ (способ 1) опирается на теорему 1.2.1 а позволяет проверить на особенность любое решение уравнения (1.1.1) у = ψ(х), х , на котором не выполняются условия теоремы Коши. Для этого достаточно построить общее решение (1.1.3) уравнения (1.1.1) на множестве , содержащем в себе кривую L : у = ψ(х), х , и применить теорему 1.2.1.

Второй способ (способ 2) опирается на теорему 1.2.2 и сводит задачу о существовании и нахождении особого решения уравнения (1.1.1), расположенного в множестве , на котором действует его общее решение (1.1.3), к аналогичной задаче об огибающей семейства кривых (1.1.3).

Путь к решению последней  задачи указывает следующая теорема.

Теорема 1.2.3 (первый достаточный признак огибающей). Пусть семейство кривых (1.3), где φ покрывает множество G. Если уравнение

                                      

имеет решение С = С(х), х  J, класса С¹, причем (х,С(x)) D J, С'(х)≢ 0 на любом интервале J' ⊂ J, то линия L : у = ψ(х) ≡φ(x,C(x)), х J, является огибающей семейства кривых (1.1.3).

Доказательство. Из условий  теоремы следует, что 1) J

а) ψ(х₀) = φ(х₀,С(х₀)),

б)ψ'(х₀) =( С(х₀)) + (,С())С'() = С(х₀)),

2) С(хо)≢const на любом интервале J' ⊂ J изменения . А это и означает согласно определению огибающей, что у = ψ(х)≡φ(x,C(x)), x J, — огибающая семейства кривых (1.3). □

§ 3. Примеры

Пример 1.3.1. Рассмотрим снова уравнение

                                          (1.3.1)

уже показали, что для  него решение у = 0, х, — особое, ибо удовлстворяет определению особого решения. Покажем, что в этом можно убедиться также способами 1 и 2.

Способ 1. Общее решение  уравнения (3.1) в области С = ℝ² имеет вид у = (х — С)³, (x, С) ². Решение у≡ 0, х (равно как и его сужение на любой промежуток J ⊂ ℝ), не получается из общего ни при каком фиксированном значении параметра С. Следовательно (по теореме 1.2.1, п. Б), у = 0, х , — особое решение уравнения (1.3.1).

Способ 2. Для уравнения (1.3.1) и указанного его общего решения уравнение (1.2.1)принимает вид: 3(х -С)²=0.Оно имеет решение С =С(х)≡ х класса (ℝ), С'(x) ≡1≠ 0 в ℝ. Следовательно (по теореме 2.3), линия у=3(х-С(х))²≡0, х , есть огибающая семейства кривых у=(х — С)³. Из этого (по теореме 1.2.2) следует, что функция у = 0, х , — особое решение уравнения (1.3.1),