Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку

                   (2.2.6)

будут уравнениями частей поверхности S. Они называются ветвями уравнения (2.1.1).

 Функции из (2.2.6) обладают следующими свойствами. 1)∀ р = (x, у) ∊ G\d в силу (2.2.5) число при любом i ∊ ℕ', при котором р ∊ , и в силу (2.2.4) все эти числа попарно различны, 2) и, следовательно, Короче: ∀ р ∊ \d все числа имеющие смысл, попарно различны, а ∀ р ∊ d непременно имеют место равенства вида: при i≠j. Кроме того, а потому G\d— область единственности для уравнения (2.1.1): ', ! решение уравнения (2.1.1) с начальной точкой q₀ = (). Зафиксируем этот результат в виде леммы.

Лемма 2.2.1. G\d — область единственности для уравнения (2.1.1).

Таким образом, для общего уравнения (2.1.1), удовлетворяющего условию (2.3.1), особыми могут быть разве лишь решения (интегральные кривые), лежащие на дискриминантной кривой, т.е. в этом плане имеет место та же ситуация, что и для уравнения (2.2.1) в предположении, что для него G\d — область единственности. Однако, рекомендовать в рассматриваемом общем случае для отыскания особых решений тот же алгоритм, что и в алгебраическом случае, нельзя, ибо сами ветви (2.2.6) уравнения (2.1.1) в общем случае найти в конечном виде практически невозможно, а потому невозможно и исследовать их методами части I этой работы. В общем случае для этой цели применяется метод параметрического интегрирования уравнения (2.1.1).

Однако, раньше, чем переходить к его изложению, приведем простой  пример, иллюстрирующий предыдущие построения.

Пример 2.2.1. Рассмотрим уравнение вида (2.1.1)

                   F(х,у,у')≡ x² + у² +(-1)² - 1 = 0.                (2.2.7)

Условие (2.2.1) для него выполняется при D=ℝ³, причем оно определяет в пространстве ℝ³ переменных х, у, у' сферу S с центром в точке (0,0,1), радиус которой равен единице. Его область задания G =π(S) : х² + у² ≤ 1 — единичный круг плоскости x, у, его криминанта К определяется уравнениями х² + у² = 1, (т.е. представляет собой экватор сферы S), а дискриминантная кривая d =π(K)— уравнением х² + у²=1, т.е. представляет собой единичную окружность плоскости х,у. Кривая К делит сферу S на открытые полусферы Дополняя каждую из них дугой получаем замкнутые полусферы сферы S, определяемые уравнениями

, 

Последние суть ветви уравнения (2.2.7). Их правые части (x,y), i= 1,2, в G \ d, т.е. в круге х² + у² < 1, различны, на d, т.е. при х² + у² = 1, совпадают: (x,y1. Наклон же самой дискриминантной кривой d равен единице лишь в точках ее пересечения с прямой у=х, а потому накакая ее часть d' не является интегральной кривой уравнения (2.2.7). Следовательно, оно не имеет особых решений. Рисуя приближенно интегральные кривые его ветвей, легко убедиться в том, что для (2.2.7) d — место точек возврата кривых, непрерывно склеенных в точках d из его интегральных кривых.

2.3. Параметризация поверхности S и уравнения (2.1.1)

Введем на S (или на ее части ) локальные координаты и, v, w = (u,v) ∊ ∑(⊂ ℝ²) — область. Тогда ∀ q ∊ S() ее пространственные координаты х, у, у' и локальные координаты и, v будут взаимно однозначно связаны равенствами

Т : х = f(u, v), y = g(u,v), у'= h(u,v),             (2.2.8)

Эти равенства суть параметрические  уравнения поверхности S () и, v — параметры. Будем предполагать, что для отображения Т выполняется следующее условие.

Условие 2.2.2. 1) Т : ∑→ S сюръективно, т.е. представляет собой взаимно однозначное отображение ∑ на S, 2) f,g,h ∊ С¹ (), 3) rank .

При выполнении этого условия  отображение Т есть локальный диффеоморфизм ∑ на S, т.е. окрестность V(⊂ S), па которой Т имеет непрерывно дифференцируемое обратное отображение . Отметим, что для функций (3.8), определяющих Т, выполняется тождество

F(f(u, v), g(и, v), h(u, v))≡0, (u, v)∊  ∑.           (2.3.9)

Наряду с отображением Т рассмотрим сквозное отображение πT : ∑→G,

πT : x=f(u,v), y=g(u,v),  (u,v)  ∊  ∑ (2.3.10)

Пусть  — дифференциал отображения πТ, . Если , то отображение πТ гладко (непрерывно дифференцируемо) обратимо в некоторой окрестности точки . Пусть

(2.3.11)

Пусть К — криминанта уравнения (2.1.1), d — его дискриминантная кривая. Укажем их параметрические уравнения.

Лемма 2.2.2.

Доказательство. Пусть .

1)Покажем сначала, то Т(æ) ⊂ К. Для этого достаточно показать, . Допустим противное, а именно допустим, что . Тогда окрестность точки : часть S∩V поверхности S представима в виде у' = f(х,у), , так что — диффеоморфизм V на U. Но  — локальный диффеоморфизм. Следовательно, ∃ окрестность точки, такая, что Т|w — диффеоморфизм W на Т(W) ⊂ V. Не ограничивая общности, будем считать, что V=T(W). Тогда Т|w диффеоморфизм W па V, π|v — диффеоморфизм V на U и, следовательно, πT|w — диффеоморфизм W на U. Но тогда производная А() отображения πT имеет на W ранг 2, т.е. ; в частности, . Таким образом, допустив противное, мы пришли к противоречию. Следовательно, , а потому T(æ)⊂K.

2)Покажем теперь, что K ⊂ T(æ), т.е. что . Допустим, что . Тогда , а потому ∃ окрестность точки — диффеоморфизм W на т.е. отображение (2.3.10) имеет на W непрерывно дифференцируемое обратное отображение

 

Но тогда, как следует  из (3,8), часть Т(W) поверхности S представима в виде

 

и, следовательно, касательная  плоскость П_q к ней нигде не вертикальна. В частности, в точке плоскость не вертикальна, а потому . Итак, допустив противное, мы пришли к противоречию. Следовательно, K⊂T(æ).

Из 1) и 2) следует: К =T(æ). Из этого вытекает: d=π(K)=πT(æ). □

В дифференциальном уравнении (2.1.1) независимая переменная х, искомая функция у и ее производная у' связаны соотношением

 

которое часто называют основным соотношением между ними в этом уравнении. Будучи записано с использованием формул (2.2.8), оно принимает вид

(2.2.12)

или, в развернутой форме,

 (2.2.13)

Дифференциальное уравнение (2.2.13) есть Т-параметризация уравнения (2.1.1). Оно симметрично относительно переменных u и v. Его коэффициенты М(и,v)=непрерывны в области ∑. Множество его особых точек

. (2.2.14)

Необходимое условие совместимости  уравнений, определяющих . Следовательно, особыми для уравнения (2.3.13) могут быть лишь точки множества æ, т.е.

 æ (2.2.15)

2.4. Параметрическое интегрирование уравнения (2.1.1)

Допустим, что нам удалось  полностью проинтегрировать уравнение (2.2.13) в области ∑. Исследуем вопрос о том, каждой ли интегральной кривой уравнения (2.2.13) соответствует по формулам (2.2.10) интегральная кривая уравнения (2.1.1).

Пусть— произвольная точка области ∑, λ(⊂ ∑)— произвольная интегральная кривая уравнения (2.2.13), L=T(λ) (⊂ S), l=πT(λ) (⊂ G). Для определенности будем считать, что λ является графиком решения уравнения (2.2.13), v'(u) ∊ С(1), т. е, определяется следующим уравнением

)  (2.2.16)

Тогда L и будут определяться следующими уравнениями

L=T(λ): (x,y,(2.2.17)

где  (2.2.9)

(2.2.18)

(2.2.19)

Лемма 2.3. Пусть λ — интегральная кривая (2.2.16) уравнения (2.2.13). При этом условии справедливо следующее утверждение: l=πT(λ) — интегральная кривая уравиашя (2.1.1) <=> 1) функция , имеет непрерывную обратную функцию , 2) функция обладает свойствами: , т. е.

. (2.2.20)

Доказательство.

1) Необходимость (→) По условию уравнения (2.19) определяют параметрически функцию , класса С¹, причем .Из этого следует, что 1)функция , имеет непрерывную обратную функцию , 2) функция  . Покажем, что  . Действительно, по условию функция , — решение уравнения (2.2.13) и, следовательно, обращает равенство (2.2.12) в тождество относительно u ∊ I. Из этого тождества следует:

                (2.2.21)

Необходимость доказана.

2) Достаточность (←).По условию при , имеет место равенство (2.2.20). Но L ⊂ S, а потому из равенства (2.2.20) вытекает тождество

 

Следовательно,  — интегральная кривая уравнения (2.1.1). □

Теорема 2.2.1. Если интегральная кривая уравнения (2.3.13) λ⊂∑\ æ, то кривая является интегральной кривой уравнения (2.1.1).

Доказательство. Докажем эту теорему, опираясь на лемму 2.3.3, а именно, покажем, что при условиях данной теоремы для выполняется критерий интегральной кривой уравнения (2.1.1), доставляемый этой леммой. По условию (в силу (2.2.14) и (2.2.15))  . Учитывая это и (2.2.16), заключаем, что на  .

Вычисляя производную  функции х = f(w(u)) f(u,v(u)), и I, (с учетом того, что v(u), u , — решение уравнения (2.13)) получаем:

 

Но λ⊂∑\æ, а потому (см. (2.2.11)) и (см. (2.2.22)) . Следовательно, функция , имеет обратную функцию , причем Из этого следует, что функция у(х)≡g(w(u(x)))≡g(u(x),v(u(x))) ∊ C^l(J), причем для нее справедливо тождество (2.2.21). Таким образом, при условиях данной теоремы для кривой выполняются условия 1),2) леммы 2.2.3, а потому — интегральная кривая уравнения (2.1.1). □

Теорема 2.2.2. Пусть интегральная кривая уравнения (2.3.13). Если функция , строго монотонна, причем ее производная х'(и) имеет в I разве лишь изолированные нули, то кривая является интегральной кривой уравнения (2.1.1).

Доказательство. Покажем, что при условиях данной теоремы выполняются условия 1),2) леммы 2.2.3. Из условий теоремы следует, что функция , и ∊ I, имеет непрерывную обратную функцию и = u(х), х ∊ J , т.е. выполняется условие 1) леммы 2.2.3. Поэтому функции (х)≡g((и(х))) и (х) = непрерывны в J. Покажем, что при условиях теоремы .

Пусть — интервал, на котором .Тогда , причем, поскольку то (в силу (2.2.14)) на

(2.2.24)

Пусть  — граница интервалов , на каждом из которых , а Тогда — граница интервалов к = 1,2, на каждом из которых для фукции выполняется тождество (2.2.24), т.е. Отсюда (в силу непрерывности на J) следует: при . Из этого (по теореме из математического анализа о пределе производной) следует, что в точке существует производная . То же самое имеет место для односторонней производной  , если — граничная точка J.

Из этого и вытекает, что функция т.е. выполняется условие 2) леммы 2.2.3.На основании этой леммы заключаем: — интегральная кривая уравнения (1.1). Но по условию λ ⊂. Следовательно (по лемме 2.2.2),

Следствие 2.2.1. Пусть интегральная кривая (2.2.16) уравнения (2.2.13). Если функция удовлетворяет условиям теоремы 2.2.2 на а в точке имеет экстремум , то

1)кривые являются интегральными кривыми уравнения (1.1) с общей граничной точкой (см. (2.2.19)),

1. для кривой точка является точкой возврата.

Доказательство. Пусть для определенности на на Пусть — функция, обратная для функции Тогда, как следует из теоремы 2.2.2, кривая — интегральная кривая уравнения (2.1.1), причем а левая производная , Это означает, что кривые имеют общую правую граничную точку , в которой они имеют один и тот же наклон . Из этого и следует, что для кривой точка возврата. □

Теорема 2.2.3. Если интегральная кривая уравнения(2.2.13) λ ⊂ æ \ω, то ее πТ-образ l не является интегральной кривой уравнения (2.1.1) : он вырождается в точку

Доказательство. Пусть, определяются соответственно уравнениями (2.2.16), (2.2.17) и (2.2.19). По условию на кривой согласно (2.2.11) и (2.2.14)

 

(2.2.26)

Пусть — любая точка, Как следует из условия 2.2.2, — ненулевая матрица. Пусть, для определенности, ; пусть — окрестность , на которой . Тогда, как следует из (2.3.25),

 

где . Но функция , — решение уравнения(2.13),а потому обращает его и равенство(2.2.12)в тождества относительно . Последнему (с учетом (2.2.27)) можно придать вид

 (2.2.28)

где,как следует из (2.2.20),. Из (2.2.28) и (2.2.27) следуют тождества: df(w(u)) = 0, dg(w(u))≡ 0 в . Hо — произвольная точка I, а потому эти тождества справедливы в I. Из них следует: f(w(u)) = const, = const, и ∊ I, что в силу (2.2.19) дает . Но □

2.5. Обыкновенные и особые решения уравнения (1.1)

Теорема 2.2.4. Если интегральная кривая уравнения (2.2.13) , то — обыкновенная интегральная кривая уравнения (2.1.1).

Доказательство. При условиях данной теоремы согласно теореме 2.3.1 кривая — интегральная кривая уравнения (2.1.1), а со гласно лемме 2.3.2 . Но (по лемме 2.3.1) G\d — область единственности для уравнения (2.1.1). Следовательно, — обыкновенная интегральная кривая уравнения (2.1.1). □

Теорема 2.2.5. Пусть интегральная кривая (2.2.16) уравнения (2.2.13) и такова, что — интегральная кривая уравнения (2.1.1) (см. теорему 2.2.2).

1) Если при этом через точку w(u)∊ λ проходит (с тем же или другим наклоном) интегральная кривая уравнения (2.3.13) , которая а) ни в какой окрестности точки w(u) не совпадает с λ, б) такова, что l_u = πТ() — интегральная кривая уравнения (2.1.1), то — особая интегральная кривая уравнения (2.1.1) (огибающая семейства его интегральных кривых

2) Если же ни через одну точку вышеописанная ип- тегральная кривая уравнения (2.3.13) не проходит, то

обыкновенная  интегральная кривая уравнения (1.1).

Доказательство. Пусть — произвольная точка,

1)При условиях первого утверждения теоремы через точку проходят интегральные кривые уравнения (2.2.13) и , которые а) не совпадают ни в какой окрестности точки , б) таковы, что — интегральные кривые уравнения (2.1.1). Последние имеют общую начальную точку , т.е. они проходят через точку и имеют в ней один и тот же наклон . Покажем, что крииые и не совпадают ни в какой окрестности U (⊂ G) точки р₀.

Согласно лемме 2.2.3 (см. (2.2.20)), если — интегральные кривые уравнения (2.1.1),то. Но и различны в любой окрестности W(⊂ ∑) точки Следовательно, в силу взаимной однозначности отображения не совпадают ни в какой окрестности V(⊂ S) точки . Из этого следует, что и l_uo не сопадают ни в какой окрестности U(⊂ G) точки (ибо, допустив противное, мы получим, что L и L_uo совпадают в некоторой окрестности точки ). Последнее означает, что при решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.3) неединственно. Но — произвольная точка λ. Следовательно, для любой точки решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.3) неединсгвенно. А это и означает, что -особая интегральная кривая уравнения (2.1.1), а именно огибающая семейства его интегральных кривых .