Ортогональні многочлени

 

В деяких часткових  випадках послідовності {} і {} легко визначаються, а тоді ортогональні многочлени {} можна обчислювати послідовно.

Поряд з многочленами {}, які ортонормовані на інтервалі (а,b) з вагою , часто розглядають ортогональні многочлени з одиничним старшим коефіцієнтом

 

Для яких рекурентне співвідношення має вигляд

 

Лема 1.3. Якщо сегмент [а,b] скінченний, то послідовність {} обмежена, причому

 

Доведення. Із  очевидної рівності

 

застосовуючи нерівність Коші-Буняковського, отримаємо

 

В першому інтегралі  величина не перебільшує , де визначається рівністю (8). Після винесення множника обидва інтеграли із (10) стають рівні одиниці.

Цим лему 1.3 доведено.

Теорема 1.5. Для ортонормованих многочленів має місце формула  Крістоффеля-Дарбу

 

Доведення.Домножимо рівність (4) на 

 

поміняємо місцями  і :

 

і віднімемо почленно від першої рівності другу

 

Підсумовуючи  ці рівності почленно для номерів і добавляючи ще одну рівність

 

отримаємо формулу (11). Таким чином, теорему 1.5 доведено.

 

Перейдемо тепер  до виведення формули, яка представляє  ортогональний многочлен через  моменти вагової функції , яка була визначена рівністю (1.2).  Для цього розглянемо так званий визначник Грама

 

Доведемо, що цей  визначник відмінний від нуля. Припустимо, навпаки, що . Тоді система лінійних однорідних рівнянь

 

 

                                            ………………………….                            (13)

 

Має хоча б один не тривіальний  розв’язок , тобто існує система чисел , в якій хоча б одне число відмінне від нуля і яка є розв’язком системи (13). Для цих чисел за допомогою формули (1.2) систему (13) можна записати в такому вигляді

 

 

…………………………………………

 

Домножимо першу  з цих рівностей на , другу – на ,…, останню – на і почленно додамо.  В результаті отримаємо

 

Але в силу леми 1.2 ця рівність не може існувати, тому що тут хоча б одне з чисел відмінне від нуля. Таким чином, , тобто визначник Грама відмінний від нуля при будь-якому .

Теорема 1.6. Для ортогональних многочленів при має місце представлення через момент вагової функції

 

Доведення. Розглянемо многочлен

 
 
Доведемо, що він ортогональний  з вагою  на сегменті [а,b]. Насправді, домножимо рівність (15) почленно на  , і проінтегруємо по сегменту [а,b]. В результаті цього в силу формули (1.2) з права отримаємо визначник з двома однаковими рядками. З цього слідує, що

 

Із цих рівностей  не важко отримати умову

 

де  - довільний многочлен степеня . А із цієї умови на основі теореми 1.2 робимо висновок, що  тільки множником може відрізнятись від ортогонального многочлена .

Підрахуємо вагову норму цього многочлена. Користуючись ортогональністю і формулою (15), отримаємо 

 

Так як , то маємо, що . А щоб отримати ортонормований многочлен , потрібно многочлен розділити на його вагову норму . Таким чином, формула (14) дійсно має місце і теорему 1.6 доведено.

Із рівності (14) слідує, що для старшого коефіцієнта  ортогонального многочлена справедлива формула

 

з допомогою якої в силу (5) отримаємо представлення коефіцієнта з рекурентної формули

 

 

Вважаючи за визначенням  можна вважати формули (16) і (17) поширеними і на випадок . А замість (14) в силу рівності з умови нормованості (1.4) маємо

 

 

Ряди Фур’є по ортогональних многочленах.

Нехай функція  визначена на сегменті [а,b] і квадрат цієї функції інтегрований з вагою по цьому сегменті. Звичайно, множина таких функцій буде позначатись або інколи більш коротко. Будь-якій функції класу ставиться у відповідність вагова норма

 

Для будь-якої функції  із простору можна визначити коефіцієнт Фур’є

 

і розглядати ряд Фур’є по ортогональних многочленах

 

Як і у будь-яких ортогональних  рядів, частинні суми ряду (3) є в деякому  розумінні найкращим наближенням  функції в метриці простору

 

Насправді, для довільного многочлена степеня 

 

як  правило, маємо

 

 

Зокрема, для часткових сум ряду (3)

 

отримаємо рівність

 

із якої в силу (5) находимо

 

Таким чином, при кожному  часткова сума (6) дає найкраще середне квадратичне наближення функції в порівнянні з усіма многочленами (4) степені не вище .

Далі, оскільки права частина (7) невід’ємна, то сума квадратів коефіцієнтів не перевищує квадрату норми функції , а звідси слідує нерівність Бесселя

 

із якої в свою чергу маємо

 

Ще раз  підкреслимо, що все вищеперераховане справедливе для будь-якої функції  з простору , де вагова функція може перетворюватись в нуль не деяких інтервалах, внутрішніх до сегменту ортогональності , причому останній може бути і нескінченним, але при цьому повинні існувати моменти (1.2) вагової функції.

Якщо сегмент  скінченний, а функція неперервна на сегменті , то за відомою теоремою Вейєрштрасса про наближення неперервної функції многочленами ([9],[15],[18]) для будь-якого існує такий многочлен , що має місце нерівність

 

З цього факту слідує, що для даної неперервної на функції існує послідовність многочленів {}, збіжна рівномірно до на . Але з рівності(8), враховуючи норму (1), в силу (11) маємо

 

Тоді, якщо функція  неперервна на сегменті , то послідовність часткових сум (6) її ряду Фур’є по ортогональних многочленах збігається до цієї функції в середньому, тобто в метриці простору . Аналогічне твердження має місце фактично для будь-якої функції з простору у випадку скінченного сегменту  .

Тепер розглянемо умови  збіжності ряду (3) до функції  в окремій точці сегменту ортогональності. Перш за все відмітимо, що це питання набагато складніше, ніж збіжність ряду (3) в середньому, або ряд по ортогональних многочленах, як і будь-який ортогональний ряд, конструктивно пристосований саме для збіжності в середньому, а, наприклад, рівномірна збіжність має місце далеко не завжди, або тут інша метрика.

Вводячи позначення

 

і використовуючи формулу  коефіцієнтів , часткову суму (6) представляємо у вигляді

 

Далі, домножуючи тотожність

 

на  і віднімаючи від неї почленно (13), отримаємо рівність

 

в якій суму (12) замінюємо за допомогою формули Крістофеля-Дарбу(2.11):

 

Будемо рахувати, що точка  зафіксована на сегменті . Покладемо

 

і нехай  сутність коефіцієнтів Фур’є допоміжної функції . Тоді із (15) маємо формулу

 

з допомогою якої вже можна сформувати достатні умови збіжності ряду Фур’є по ортогональних многочленах окремій точці.

Теорема 1.7. Якщо сегмент  скінченний і допоміжна функція при фіксованому, що належить класу , а послідовність ортонормованих многочленів {}  обмежена в точці , то ряд Фур’є по ортогональних многочленах функції збігається до неї в даній точці , тобто

 

Доведення. За лемою 1.3 послідовність {}  обмежена, а в силу  умови на основі (10) послідовність збігається до нуля. З іншої сторони, в теоремі дано, що послідовність ортонормованих многочленів обмежена в даній точці , тобто

 

З цього слідує, що права  частина (17) прямує до нуля, і теорема 1.7 доведена.

Таким чином, рівність (18) має  місце в такій точці , де ортогональні многочлени обмежені і виконується умова

 

Зокрема, це виконується, якщо функція  в деякому околі точки задовольняє умові Ліпшица порядку , тобто

 

Інтеграл (20) існує як невласний, якщо вагова функція  в деякому околі точки обмежена, а функція в цьому ж околі замість (21) задовольняє умові Ліпшица порядку , тобто

 

Що ж стосується нерівності (19), то її виконання залежить від властивостей вагової функції в околі точки .

Аналіз умови теореми 1.7 і її частинних випадків, які характеризуються нерівностями (21) і (22), показує, що при деяких загальних випадках збіжності ряду  Фур’є по ортогональних многочленах в даній точці залежить тільки від властивостей функції в околі цієї точки. Тому, як і для рядів Фур’є, по тригонометричній системі тут можна сформулювати деякий принцип локалізації умов збіжності, які безпосередньо слідують з теореми 1.7.

Теорема 1.8. Якщо дві функції  і із простору співпадають на інтервалі, причому в точці ортонормовані многочлени обмежені, то в цій точці ряди Фур’є по ортогональних многочленах функцій і збігаються і розбігаються одночасно.

Доведення. Для різності часткових сум цих двох функцій в силу (2) і (6) маємо формулу

 

Оскільки функція  тотожно рівна нулю на малому інтервалі , то для цієї функції виконується умова (20), і з цього слідує, що її ряд Фур’є по ортогональних многочленах збігається до неї в точці .  Тому із (23) слідує граничне співвідношення

 

і, таким чином, якщо послідовність {} збігається до деякої границі, то до тієї ж границі збігається і друга послідовність {}. Навпаки, якщо перша послідовність розбіжна, то друга також розбіжна. Таким чином теорему 1.8 доведено.

Всі попередні результати встановлені при умові, що функція  входить до простору , тобто для цієї функції існує інтеграл (1). Але ряди Фур’є по ортогональних многочленах (3) інколи можна розглядати і в більш загальному випадку.

Позначимо через  множину функцій для яких існує інтеграл

 

Якщо сегмент  скінченний, то всі інтеграли (2) збіжні, і даній функції із класу можна поставити у відповідність ряд Фур’є по ортогональних многочленах (3). У випадку нескінченного інтервалу () формула (2) визначає коефіцієнти Фур’є функції за умови , що добуток має скінченні степеневі моменти. Зрозуміло, що при цих мінімальних умовах ми не можемо стверджувати, що часткові суми ряду Фур’є (3) мають екстремальні властивості, або що виконується властивість Бесселя (9), але граничне співвідношення (10) і розклад (18) при деяких додаткових припущеннях має місце.

Ми скрізь будемо допускати, що функція , яка розкладається в ряд, вимірна за Лебегом і задовольняє деяким умовам інтегрованості. Для конкретності можна вважати, що функція неперервна скрізь, крім точок, в яких вона може мати розрив першого або другого роду.

 

 

 

 

 

Висновки

У курсовій роботі розглядаються ортогональні многочлени, їх властивості та ряди Фур’є по ортогональних многочленах. А також будо виведено рекурентну формулу для трьох сусідніх ортогональних многочленів, доведено теорему про існування і критерій ортогональності, доведено справедливість формули Крістоффеля-Дарбу для ортогональних многочленів та представлення їх через момент вагової функції.

Важливим напрямком майбутніх  наукових досліджень може бути розробка практичного застосування ортогональних  многочленів, оскільки вони є ефективним методом відновлення оригіналу функції за її графіком.

Ознайомившись з даною роботою, можна стверджувати, що ортогональні многочлени посідають важливе місце  у математиці. Матеріал даної курсової роботи можна використовувати на лекційних та практичних заняттях студентів фізико-математичних факультетів, а також можливо використати як додатковий матеріал для проведення позаурочних або факультативних занять у класах з поглибленим вивченням математики ( рідше фізики ).

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  використаної літератури

1. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены, М.:Наука, 1976, 328с.
2. Геронимус Я.Л. Многочлены ортогональные на окружности и на отрезке, П.:Физматгиз, 1958.
3. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональне полиномы, М.:ИЛ,1948.
4. Качмаж С. Теория ортогональних рядов/ Г. Штейнгауз, П.:Физматгиз, 1958.
5. Никифоров А.Ф. Основы теории и специальных функций / В.Б. Уваров, М.:Наука, 1974.
6. Крилов В.И. Приближенное вычисление интегралов, М.:Наука, 1964.
7. Курант Р. Методы матиматической физики / Д.Гильберт, М.: Гостехиздат, 1951.
8. Ремез Е. Я. Основы численных методов чебышевского приближения, К.:Наукова думка, 1969.
9. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения, П.:Физматгиз, 1963.
10. Бари Н.К. Тригонометрические ряды, П.:Физматгиз,1961.
11. Янке Е. Специальные функции / Ф.Эмде, Ф.Лёш, М.:Наука, 1968.
12. Попов Г.Я. Рівняння математичної фізики. Метод ортогональних многочленів: навчальний посібник / В.В.Реут, М.Г.Мойсеєв, Н.Д.Вайсфельд, О.:Астропринт, 2010, 120с.