Ортогональні многочлени

 

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Рівненський державний гуманітарний університет

Кафедра вищої математики

 

 

 

 

 

 

Ортогональні многочлени

 

 

 

Курсова робота  

студентки ІІІ курсу

групи МЕФІ-31

факультету математики

та інформатики

Смулки Ірини Петрівни

 

Науковий керівний:

доц. Сапіліді Тамара Михайлівна

д

 

 

 

Рівне 2012

Зміст

     Вступ………………………………………………………………………....3

1. Теорема існування і критерій ортогональності………………………4
2. Алгебраїчні властивості ортогональних многочленів………………13
3. Ряди Фур’є по ортогональних многочленах…………………………19

Висновки……………………………………………………………………26

Список  використаної літератури………………………………………….27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Ортогональні многочлени займають центральне місце в сучасному математичному аналізі. Вони слугують потужним апаратом при розв’язуванні різних задач, охоплюючи широкий круг запитань, таких як апроксимація аналітичних функції, неперервні дроби, діофантові наближення, спектральна теорія диференціальних і різницевих операторів, проблема моментів та інші. 

У зв’язку з цим у багатьох підручниках з вищої математики класичним ортогональним многочленам  приділяється все більше уваги.

З іншого боку, класичні ортогональні многочлени можна розглядати як найбільш прості спеціальні функції математичної фізики.  Тому найбільш важливе теоретичне, а також прикладне значення мають  такі системи класичних ортогональних  многочленів: многочлени Чебишева першого та другого роду, многочлени Лежандра, многочлени Якобі,  многочлени Чебишева-Ерміта та Чебишева-Лагерра.

Особлива увага в даній роботі приділяється алгебраїчним властивостям класичних ортогональних многочленів.  У курсовій роботі наведено з доведенням теорему про існування і єдиність системи ортогональних многочленів, а також необхідна і достатня умова ортогональності многочленів.

Об’єктом даної роботи є вивчення класичних ортогональних многочленів, їх властивостей  і застосування.

Предметом є використання класичних  ортогональних многочленів у  вищій математиці.

Метою роботи є зя’сувати можливості ортогональних многочленів, розглянути теорему про існування і критерій ортогональності многочленів та їх властивості.                                           

 

Теорема існування і критерій ортогональності.

Функція h(x)називається ваговою функцією  на скінченному інтервалі (а,b), якщо на цьому інтервалі вона неперервна,  інтегровна  і її інтеграл додатній, якщо і виконуються умова

 

Якщо ж інтервал (а,b) нескінченний, то, крім того, повинні абсолютно сходитись інтеграли

 

які називаються степеневим моментом функції h(x).

Нехай задано послідовність многочленів

 

в якій кожен многочлен    має степінь n. Якщо для будь-яких двох многочленів із цієї системи виконується умова

 

то многочлени (3) називаються ортогональними з ваговою функцією  h(x) на інтервалі (а,b). При цьому інтервал (а,b)називається інтервал ортогональності, а у випадку, коли обидва числа а і b скінченні, зазвичай говорять про сегмент ортогональності [а,b].

Система ортогональних многочленів (3) називається ортонормованою, якщо кожний многочлен має додатній старший  коефіцієнт і його норма з вагою h(x) рівна 1.

 

Таким чином, умова ортонормованості системи многочленів (3) має вид

 

Вагова функція h(x) в більшості випадків рахується неперервною на інтервалі (а,b) скрізь, крім скінченного числа точок, в околі яких вона обмежена або графік її має вертикальні асимптоти. В нуль функція h(x) може перетворитися в скінченному числі точок або в тотожність на деяких інтервалах, розміщених в середині сегмента ортогональності. При цьому нулем вагової функції h(x) ми будемо вважати таку точку, в якій ця функція неперервна і рівна нулю. Регулярними точками вагової функції називаються такі точки інтервалу (а,b), в  яких функція h(x) неперервна і додатна, а особливими – всі решта точок і, зокрема, нулі функції h(x).

Перед тим як довести теорему  про існування, встановимо два допоміжні  твердження, які часто будемо використовувати  в подальшому.

Лема1.1. Якщо в системі (n+1) многочленів

          (5)

кожний  многочлен  має степінь k, то всякий многочлен степеня n можна єдиним способом представити у виді

 

Доведення. Вводячи позначення  

 

для визначення невідомих коефіцієнтів отримаємо систему рівнянь

 

 

 

…………………………………………..

 

 

Визначник цієї системи дорівнює добутку  відмінних від нуля  чисел  і тому відмінний від нуля. Слідує, що числа в формулі (6) визначаються однозначно.

Таким чином  лема1.1. доведена.

Лема1.2. Якщо многочлен степеня невід’ємний на інтервалі (а,b), то виконується умова

 

де  - вагова функція.

Доведення. Спочатку відмітимо два простих випадки, коли твердження леми очевидно. По-перше, якщо функція має тільки скінченне число особливих точок, то поза цими точками добуток додатній і неперервний, і тому інтеграл із (7) додатній. По-друге, якщо многочлен додатній на (а,b), то, позначивши через А>0 його мінімум, одержимо нерівність

 

і твердження леми в цьому випадку  також доведено.

В загальному випадку представимо, що многочлен  має нулі на інтервалі (а,b). Тоді в силу умови (1) інтеграл від вагової функції додатній хоча б на одному з сегментів .

Для такого сегмента маємо

 

З цього слідує, що при достатньо  малому інтеграл від функції на сегменті [додатній. Але на цьому сегменті многочлен не має нулів, і тому аналогічно (8) маємо нерівність

 

в  якій через    позначено   мінімум   многочлена       на     сегменті

[. Законність граничного переходу (9) очевидна, якщо функція обмежена в околах точок і , а в протилежному випадку ця функція є визначенням інтеграла, який стоїть в правій частині (9).

У випадку нескінченного пів сегмента [замість (9) достатньо розглянути граничну рівність

 

А для пів інтервалу (- відповідні інтеграли будуть поширені на сегментах [ і (-

Таким чином лема 1.2 доведена.

А тепер доведемо основну теорему  про існування та єдиність системи ортонормованих многочленів, відповідних даній ваговій функції.

Теорема 1.1. Для будь-якої вагової функції існує єдина послідовність многочленів {, яка має додатній старший коефіцієнт і задовольняє умові ортонормованості (4).

Доведення. Позначимо старший коефіцієнт многочлена і будемо доводити теорему методом індукції. Так як , то  умова (4) має тут вигляд

 

і в силу (1) многочлен  визначений.

Далі, нехай визначені многочлени

 

які задовольняють умовам (4). Оскільки кожний многочлен із системи (10) має степінь точно , то, добавляючи в систему (10) многочлен , можна невідомий нам поки що многочлен в силу леми 1.1 єдиним способом представити у виді

 

де числа і { потрібно вибирати так, щоб виконувалися умови (4). Так як ці умови в силу індуктивного представлення виконуються для системи (10), то при  повинно бути

 

Де через  позначено останній інтеграл. З цього слідує що, якщо в розкладі (11) покласти , то умови (4) виконуються при . Таким чином, замість (11) маємо формулу

 

яка визначає ортогональний многочлен степеня з довільним множником , так як цей многочлен є ортогональним до всіх многочленів системи (10), і залишається вибрати так, щоб виконувались умови (4) при . Підставляючи (12) в (4), отримаємо рівність

 

яка дійсно визначає коефіцієнт , або інтеграл в правій частині рівності в силу леми 1.2 відмінний від нуля.

Таким чином теорема 1.1 доведена.

Послідовність многочленів (3) визначається однозначно і в більш загальному випадку, коли вагова функція  лише сумована на сегменті [а,b] і не еквівалентна нулю. Більше того, замість диференціальної ваги можна розглядати так звану інтегральну вагу , де  - обмежена спадна функція. В такому випадку замість (1) і (4) будемо мати умови

 

 

в яких інтеграл розуміється в сенсі Лебега-Стілтьєса.

Встановимо деякі необхідні  і достатні умови ортогональності  многочлена , які будуть часто застосовуватись в подальшому.

Теорема 1.2. Для того, щоб многочлен степеня був ортогональним з вагою , необхідно і достатньо, щоб для будь-якого многочлена степеня виконувалася умова

 

Доведення. Нехай многочлен є ортогональним тільки якщо входить в систему многочленів {}, ортогональних з ваговою функцією . За лемою1.1 для довільного многочлена маємо розклад

 

який при підстановці в інтеграл (13) в силу ортогональності многочлена перетворює в рівність (13).

Нехай, навпаки, задана вагова функція  і деякий многочлен задовольняє умовам (13). Тоді замість можна підставити будь-який многочлен системи (10), і з цього слідує, що для многочлена , який задовольняє умовам (13), має місце формула (12), тільки якщо цей многочлен відрізняється від ортонормованого многочлена степеня одним множником, а це і стверджує достатність умови (13).

Таким чином, теорему 1.2 доведено.

Теорема 1.3.Якщо сегмент ортогональності симетричний відносно початку координат, а вагова функція парна, то кожний ортогональний многочлен має тільки ті степені , які мають однакову з номером парність, тільки якщо має місце тотожність

 

Доведення. Нехай і ортогональний на сегменті [-а,а], де а. Тоді в силу теореми 1.2 необхідна і достатня умова має вигляд

 

Заміною змінної   умова зводиться до виду

 

Оскільки многочлен  - довільний, то також довільний многочлен степеня . Тому в силу теореми 1.2 многочлен   являється ортогональним і може тільки множником відрізнятись від многочлена , . Але якщо розглядати ортонормовані многочлени, то отримаємо умову ||=1. Тоді, прирівнявши старші коефіцієнти цих двох многочленів, отримаємо =, і з цього слідує, що тотожність (14) доведена. А ця тотожність означає , що многочлен має тільки парні або тільки непарні степені в залежності від парності або непарності .

Таким чином, теорему 1.3 доведено.

Отже, за теоремою існування і єдиності – теоремою 1.1 – будь-яка вагова функція  однозначно визначає систему ортонормованих многочленів {}, яка задовольняє умову (4).

Найбільш важливе теоретичне і  прикладне значення мають наступні системи класичних ортогональних  многочленів:

1. Многочлени Чебишева першого роду {}, ортогональні на сегменті [-1,1] з ваговою функцією

 

2. Многочлени Чебишева другого роду {}, ортогональні на сегменті [-1,1] з вагою

 

3. Многочлени Лежандра {}, ортогональні на такому ж сегменті з вагою

 

4. Многочлени Якобі {}, ортогональні на сегменті [-1,1] з ваговою функцією

 

де  і . У випадку співпадання індексів, при умові , многочлени Якобі називаються ультрасферичними і позначаються {}.

Найбільш вивченими  і важливими частковими випадками  многочленів Якобі є многочлени Чебишева і Лежандра, які з урахуванням вищезгаданого позначення можна записати у вигляді

      (17)

5. Многочлени Чебишева-Ерміта {}, ортогональні на всій осі з ваговою функцією

 

6. Многочлени Чебишева-Лагерра {}, ортогональні на півосі з вагою

 

 

Алгебраїчні властивості ортогональних многочленів.

Розглянемо основні  алгебраїчні властивості загальних  ортогональних многочленів, а саме: трьохчленну рекурентну формулу, формулу Крістоффеля-Дарбу і представлення многочленів {} через моменти вагової функції.

Теорема 1.4. Для будь-яких трьох сусідніх ортогональних многочленів справедлива трьохчленна рекурентна формула

 

Доведення. В силу леми 1.1 маємо розклад

 

При домножимо (2) на і проінтегруємо на інтервалі (а,b). Оскільки є многочлен степеня , то в силу теореми 1.2 ліва частина перетворюється в нуль, і отримаємо

 

Тому у формулі (2) перших  ( коефіцієнтів будуть ріні нулю і дана формула набуде вигляду

 

Для визначення коефіцієнта  домножимо (3) на і про інтегруємо по [а,b]. В результаті цього отримаємо

 

Перепозначивши  , із (3) отримаємо формулу (1).

Таким чином, теорему 1.4 доведено.

Рекурентне співвідношення (1) можна записати у більш зручній  формі:

 

де  для стислості покладено