Обучение учащихся методам геометрических преобразований в контексте укрупнения дидактических единиц

Приведенный пример позволяет выделить еще одно специфическое преобразование теории УДЕ, направленное на установление внутрипредметных и межпредметных связей. Оно находит свое отражение в хорошо известной идее фузионизма, предполагающей совместное изучение планиметрии и стереометрии, и даже в документах, регламентирующий процесс обучения в средней школе. Поскольку в последних изданиях базисного плана образовательных учреждений Российской Федерации имеют место так называемые образовательные области, включающие в себя несколько учебных предметов на основе различных связей между ними.

Таким образом, теория укрупнения дидактических  единиц с момента зарождения идеи укрупнения в целом прошла долгий путь своего развития, претерпевая различные изменения. Условно этот путь можно разделить на несколько основных этапов, наглядно представленных на рисунке 1 (двойными стрелками указаны переходы от одного этапа к другому):

1. неосознанное восприятие проблемы УДЕ;
2. ее четкое осознание как методической проблемы, разработка теории УДЕ;
3. совершенствование основных положений теории УДЕ.

В современный период с учетом вышесказанного можно выделить новый акцент в  совершенствовании научных положений  теории УДЕ. В большинстве ранних работ, связанных с исследованием  различных аспектов данной теории, как правило, либо она сама выступает  в качестве объекта исследования, либо, в противном случае, все  варианты ее использования в учебном  процессе рассматриваются через содержание изучаемых предметов. Тогда как в последнее время предметное содержание нередко характеризуется действиями. Например, содержание предмета математики может быть представлено совокупностью таких компонентов, как задачи, теоремы, математические понятия, методы решения задач и т.д., каждому из которых соответствует система конкретных действий. Подобные взгляды способствуют появлению работ, в которых реализуется укрупненный подход к формированию действий. Это позволяет сегодня рассматривать теорию УДЕ как динамичную и вариативную конструкцию обучения, которая еще не исчерпала своего творческого, исследовательского потенциала.

Действительно, подобные взгляды привели И. В. Ульяновой деятельностной концепции УДЕ, реализующей в обучении укрупнённый подход к формированию действий, адекватных изучаемым содержательным компонентам обучения математике. В соответствии с данной концепцией основным средством формирования у учащихся соответствующих укрупнённых действий выступают блоки укрупнённых задач. Их можно легко образовывать, в частности, развивая тему решаемой задачи на заключительной стадии работы с ней. Этот этап – хороший полигон для развития творческой инициативы учащихся, вариативности и самостоятельности их мышления, поскольку его реализация, кроме всего прочего, предполагает составление новых задач, в том числе укрупняющих действия по решению исходной задачи. Остановимся на таких блоках более подробно.

В 1912 году на первом съезде преподавателей математиков в докладе К. Ф. Лебединцева [14] отмечалось, что «если пересмотреть сборники задач по всем отделам математики, то можно убедиться, что входящие в них задачи состоят из ряда вопросов, чисто механически связанных в одно целое». Впервые связать разрозненный задачный материал по математике попытался П. Цветков, уже спустя пару-тройку лет опубликовав сборник задач, расположенных по «новой системе», и методические рекомендации по их решению [18; 9], Под «новой системой» автор понимал задачи, взаимосвязанные между собой содержанием и решением. Построение данной системы П. Цветков осуществлял на основе простой задачи с решением в одно действие. Затем одно из данных этой задачи автор делал неизвестным, но при этом для его нахождения добавлял ряд утверждений. Таким образом, возникала новая задача . Для составления других задач такой процесс повторялся нужное количество раз, при этом каждая последующая задача опиралась на результат решения предыдущей. В итоге подобных преобразований возникает целый цикл взаимосвязанных задач, процесс конструирования которых наглядно можно изобразить в виде схемы, представленной на рисунке 2.

Приведем пример цикла задач 1.1-1.3, образованных по данной схеме.

1. В четырехугольнике ABCD AD=BC, Докажите, что (Структура задачи -
2. В четырехугольнике ABCD отрезок BD пересекает диагональ AC в её середине O. Докажите, что , если . (Новая структура - , так как здесь равенство «AD=BC» заменяется утверждением, что «BD пересекает AC в её середине O». Из этого легко вытекает равенство треугольников AOD и BOC, приводящее решающего к замененному равенству).
3. В четырехугольнике ABCD диагонали точки пересечения делятся пополам. Докажите, что , так как исходные равенства сторон AD, BC и углов CAD, ACB, замененных, соответственно, неявными утверждениями, что AO=OC, а BO=OD, легко находятся из ставшего очевидным равенства треугольников BOC и AOD).

С течением времени циклы взаимосвязанных  задач, именуемые авторами блоками, системами, совокупностями и т.д., не раз становились объектами исследования. Сегодня примеры таких блоков можно встретить в работах Э. Г. Готмана, Г. В. Дорофеева, Т. М. Калинкиной, Е. С. Канина, И. Я. Куприяновой, И. Я. Кушнира, Н. С. Мельник, Г. И. Саранцева, Г. В. Токмазова, И. В. Ульяновой, Б. Ф. Харитонова, П. М. Эрдниева и многих других. В основу составления циклов таких задач авторами кладется либо содержательный аспект взаимосвязи между задачами, либо деятельностный (на основе деятельности, но их решению).

Первый аспект оказывается более  распространенным. Многие исследователя  при составлении задачных блоков опираются именно на непрерывность  линии содержания. Хотя используемые ими при этом принципы объединения  задач в такие блоки нередко  различаются. Это может быть общая конфигурация, встречающаяся в каждой задаче и являющаяся ключом к ее решению (Б. Ф. Харитонов), или различные вариации одной и той же конфигурации (Э. Г. Готман, И. А. Кушнир), или одна и та же «окрестность» задач, то есть определенный круг понятий, теорем, методов рассуждений и т.д.

Наиболее популярной основой объединения  задач в блоки выступает принцип  «рассмотрения и составления  задач, порожденных данной, или, иначе  говоря, задач, развивающих тему одной  задачи» (И. Е. Дразнин, Т. М. Калинкина, Е. С. Канин, Г. В. Токмазов, П. М. Эрдниев и др.). Действительно, если рассмотреть, к примеру, укрупненное упражнение П. М. Эрдниева - «главное оружие теории УДЕ» [20], представляющее собой «многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, по психологически состыкованных в некоторую целостность частей, например: а) решение обычной «готовой» задачи; б) составление обратной задачи и ее решение; в) составление аналогичной задачи по данной формуле (тождеству) или уравнению и решение ее; г) составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей; д) решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным параметрам исходной задачи», то нетрудно заметить, что оно представляет собой блок взаимосвязанных задач, в котором одна задача («готовая») является основной, а другие - ее производными, полученными на ее основе. При этом автор явно не выделяет приемы образования новых задач, но они четко прослеживаются из указанных пунктов б) - д).

Подобно П. М. Эрдниеву, некоторые авторы, приводя примеры готовых блоков взаимосвязанных задач, также не раскрывают механизма их получения (Н. С. Мельник). Однако в ряде научно-методических работ такие приемы прописаны достаточно четко. Например, Е. С. Канин выделяет следующие приемы составления новых задач [5]:

1. замена части данных в исходной задаче другими данными без замены заключения задачи;
2. обобщение данных или исходных;
3. специализация данных или исходных;
4. добавление новых заключений при сохранении данных;
5. замена части данных исходной задачи ее искомыми (часть данных принимается за искомые, а некоторые искомые считаются данными), т.е. путем обращения задачи.

Впервые наиболее полно методика использования  блоков взаимосвязанных задач в  обучении математике была исследована  и раскрыта в диссертационном  исследовании Т. М. Калинкиной «Динамические задачи как средство совершенствования процесса обучения геометрии в средней школе» [14]. Под динамическими задачами автор понимает совокупность задач, построение которых удовлетворяет одному или нескольким требованиям:

1. условие последующей задачи использует результат решения предыдущей;
2. в решении задачи используется результат предыдущей задачи;
3. задачи являются элементами основной задачи;
4. условия задачи одинаковы, а требования различны;
5. требования задач одинаковы, а условия задач являются производными от условия исходной задачи.

Данное определение обусловливает  совокупность выделяемых Т. М. Калинкиной приемов составления блоков динамических задач, в которую входит построение взаимообратных и противоположных задач, обобщение и конкретизация задач, рассмотрение задач-аналогов, расчленения условия и требования задачи на части и включение их в новые связи, составление задач на основе использования в них результата решения предыдущих задач.

Подробно исследуя различные аспекты  включения динамических задач в  учебный процесс, Т. М. Калинкина отмечает, что методика их использования на уроках геометрии предполагает организацию работы трех видов:

1. работу по готовым, составленным учителем, динамическим задачам;
2. совместную деятельность учителя и ученика по получению динамических задач;
3. организацию деятельности по самостоятельному составлению динамических задач учениками.

Дальнейшие исследования в области  разрешения проблемы использования блоков взаимосвязанных задач в обучении математике показали, что указанные этапы имеют смысл и для включения в процесс обучения учащихся задач, взаимосвязанных между собой в контексте деятельностного аспекта, т.е. на основе деятельности по их решению.

Попытки связать воедино несколько  задач, учитывая какую-либо взаимосвязь  между их решениями, встречались  в методической литературе неоднократно. Но, в целом, они сводились либо к использованию в условии или решении новой задачи результата решения предыдущей задачи, либо к объединению задач на основе общего метода, приема или способа их решения. Более глубоко, на наш взгляд, связь между решениями задач раскрывается лишь в блоках, так называемых укрупненных задач - конструкциях, содержащих в себе две или более задачи, взаимосвязанные между собой так, что решение каждой последующей из них включает в себя как составную часть решение одной из предшествующих ей задач, расширяя его (укрупняя) посредством выполнения одного или нескольких новых действий [15; 17]. Приемами образования таких блоков выступают [15; 16]:

1. замена требования задачи каким-либо новым требованием;
2. расширение чертежа задачи;
3. обращение задач;
4. замена условия задачи каким-либо новым условием.

Современные исследования показывают, что блоки укрупненных задач  можно использовать на уроках математики как средство достижения различных  образовательных целей: формирования у учащихся математических понятий, организации их работы с теоремой, осуществление контроля за уровнем  усвоения школьниками изучаемого учебного материала и др. Работа с такими блоками эффективно способствует активизации мыслительной деятельности обучаемых, воспитания у них многих положительных личностных качеств, систематизации и обобщения их знаний, умений и навыков и т.д. В соответствии с темой нашей курсовой работы ниже представим примеры таких блоков взаимосвязанных задач, предназначенных для формирования у учащихся действий, адекватных методам геометрических преобразований плоскости. Однако прежде на таких действиях остановимся подробно.

Метод геометрических преобразований

Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач  заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого задача может быть решена.

Процесс овладения умением  решать задачи методом преобразований требует не только знания самих преобразований, но и активного использования  общей геометрической и графической  культуры, что в свою очередь, оказывает  положительное влияние на развитие геометрической интуиции, необходимой  при решении любых задач.

Рассмотрим применение этого  метода по каждому отдельному геометрическому  преобразованию.

Метод геометрических преобразований делится на следующие методы:

1. метод параллельного переноса;
2. метод осевой симметрии;
3. метод поворота;
4. метод центральной симметрии;
5. метод подобия;
6. метод инверсии;
7. метод гомотетии.

В курсе основной школы  изучается лишь несколько методов, такие как: метод параллельного переноса, метод осевой и центральной симметрии, метод поворота.