Николай Иванович Лобачевский

НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ 
 
Б.Л. Лаптев, 
профессор Казанского государственного университета¹ 

     Создание  первой неевклидовой геометрии Лобачевским  оказало самое существенное воздействие  на развитие математики, на переход  ее на новые современные основы. Лобачевского сравнивают и с Колумбом, открывателем новых земель, и с Коперником, преобразовавшим взгляды современников на строение Вселенной, лишившим землю ее центрального неподвижного положения. По существу новая геометрия произвела коренной переворот в установившихся на протяжении тысячелетий взглядах на пространство: она отняла у евклидовой геометрии ее привилегированное положение единственной геометрической системы, открыла путь теориям кривых пространств. Существование различных геометрических систем поставило проблему теоретического обоснования математики. С другой стороны, потребовались экспериментальные исследования глубоких свойств реального физического пространства. Сам Лобачевский проверял применимость своей геометрии к физическому пространству, опираясь на известные в его время данные точнейших астрономических наблюдений, а также ее действенность в других разделах математики. Он высказал замечательные мысли, что геометрические свойства должны находиться в зависимости от движения материи и действующих сил. Эти предвидения получили впоследствии обоснование в общей теории относительности Эйнштейна.

     Гениальный  ученый был в то же время выдающимся деятелем высшего образования и  просвещения. Он вел обширную преподавательскую  и организаторскую деятельность на протяжении более сорока лет. Громадный труд он вложил в развитие и строительство Казанского университета, в улучшение университетского образования, в постановку и совершенствование преподавания в гимназиях, училищах и начальных школах. Во всестороннем развитии науки и культуры он видел свой главный долг, долг ученого перед народом. Несмотря на множество различных дел и обязанностей, основной линией его жизни была неутомимая борьба за научную истину, за новые геометрические идеи, оставшиеся непризнанными при его жизни, но принесшие ему посмертно великую славу и вместе с тем великую славу русской науке.

     Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября (1 декабря" н. с.) 1792 г. в Нижнем Новгороде  в семье губернского регистратора межевой конторы Ивана Максимовича Лобачевского. У Н.И. Лобачевского было два брата: старший Александр и младший Алексей. Мать – Прасковья Александровна в 1802 году привезла своих сыновей в Казань и устроила их учиться в гимназии на казенный счет (тогда это была единственная гимназия в громадном учебном округе). В старших классах его учителями были Н.М. Ибрагимов и Г.И. Корташевский. Лобачевского считали одним из лучших учеников и в 1806 г. после окончания учебного года он был награжден похвальным листом и намечен к переводу в студенты университета. Однако отобранных учеников оставили в гимназии до декабря 1806 г. для усовершенствования в языках и только после экзамена их перевели в студенты. С января 1807 г. четырнадцатилетний Лобачевский значится казенным студентом Казанского университета, начавшего третий год своего существования (указ об открытии – 5(17) ноября 1804 г., начало занятий – февраль 1805 г.). Здесь Лобачевский проявил особую склонность к физико-математическим наукам и, по отзывам М.Ф. Бартельса, И.А. Литтрова, Ф.К. Броннера и других профессоров, обнаружил выдающиеся способности. Но его живой характер и независимое поведение не раз вызывали раздражение администрации, он получал выговоры, бывал заключен в карцер, его имя вносилось на черную доску провинившихся. В итоге, после окончания университета в 1811 году, он не оказался в числе лучших студентов, проводимых в магистры. Только совместное заступничество его учителей изменило положение.

     В качестве магистра он изучает под  руководством М.Ф. Бартельса классические работы Гаусса по теории чисел и Лапласа – по небесной механике. Представив в 1814 г. два научных исследования, он становится адъюнкт-профессором, что эквивалентно современному доценту, и начинает вести самостоятельно преподавание, а в 1816 г. он получает звание экстраординарного профессора, и расширяет круг своего преподавания.

Однако  вскоре в университете создалась  очень тяжелая для работы обстановка. В целях борьбы с революционными настроениями и свободомыслием, развивавшимися в те годы в среде интеллигенции, правительство Александра I все больше опирается на религию, на мистико-христианские учения и с этих позиций религиозности и верноподданичества подвергает проверке деятельность университетов. В 1819 г. обследование Казанского университета проводил М.Л. Магницкий, в прошлом сторонник прогрессивных реформ, а в эти годы уже реакционер и карьерист, который нашел, что университет "причиняет общественный вред полуученостью образуемых им воспитанников..., особенно же противном религии их духом деизма". В своем заключении он рекомендовал университет закрыть, однако вместо этого Александр I назначил М.Л. Магницкого попечителем Казанского учебного округа и поручил ему "обновление университета". Семь лет длилось в университете действие созданной им церковно-полицейской системы. Многие профессора были уволены, ряд книг изъят из библиотеки для сожжения, введено преподавание "богопознания и христианского учения", в аудиториях были вывешены религиозные тексты. Были присланы инструкции для преподавания всех наук в религиозном духе.

     Но  эта удручающая обстановка не сломила молодого профессора. Он занимается и педагогической, и административной, и научной деятельностью. В связи с отъездом М.Ф. Бартельса и Ф.К. Броннера он ведет и математические курсы, и физику, и механику. Когда астроном И.М. Симонов отправляется с экспедицией Беллинсгаузена в Антарктику, Лобачевскому приходится заведовать обсерваторией и читать астрономические курсы. Его избирают деканом факультета, ему поручают упорядочение библиотеки и он отправляется в Петербург для отбора и закупки новейших книг для библиотеки и научной аппаратуры для физического кабинета. Он активный член, а затем и председатель строительного комитета (в эти годы строился главный корпус университета). Его ценят как разностороннего деятельного эрудированного ученого. Однако поскольку Лобачевский стоял на строго научных позициях, не желая подчиняться проникнутым религиозным духом указаниям, а также присоединяться к всеобщим восхвалениям попечителя, у него в этот период учащаются столкновения с Магницким. Лобачевского обвиняют в своеволии, в неподчинении инструкциям.

     Несмотря  на обилие дел и обязанностей, на необходимость подготовки к новым  лекционным курсам и создавшуюся  сложную обстановку, Лобачевский  продолжал неустанно работать над  строгим построением начал геометрии. Первые следы этих исследований видны в студенческих записях лекций Лобачевского по геометрии за 1817год. В 1823 г. он составил учебник "Геометрия", где отказался от попыток доказательства постулата параллельности Евклида, и "Обозрение преподавания чистой математики" на 1822-1823 и на 1824-1825 гг., где он писал, что "параллелизм линий представляет трудность до сих пор непобедимую", однако в обозрении 1824-1825 гг. он обошел этот вопрос молчанием. Наконец, преодолев тысячелетние традиции, Лобачевский приходит к созданию новой геометрии, более общей, чем евклидова. Он представил рукопись своего сочинения для публикации на французском языке и сделал о нем доклад. Сочинение называлось "Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теории о параллельных". Опубликовано оно было позднее в "Казанском вестнике" в 1829 и 1830 гг. в дополненном виде под названием "О началах геометрии". Это был первый в мировой литературе труд по неевклидовой геометрии.

     Обычная геометрия, которую преподают в школах, как известно, называется евклидовой по имени древнегреческого математика Евклида, составившего стройное, логически связное изложение основных математических знаний своего времени под названием "Начала" (3 век до н. э.). Более двух тысяч лет "Начала" Евклида служили образцом дедуктивного изложения. Дав определение основных понятий и сформулировав аксиомы и постулаты (в них выражены основные свойства геометрических элементов и величин), он выводит путем логических рассуждений-доказательств разнообразные соотношения и теоремы, характеризующие свойства геометрических фигур. Геометры с давних времен высоко ценили труд Евклида и старались внести в него лишь некоторые улучшения. Но одна из аксиом – аксиома (или постулат) параллельности привлекала особое внимание. Легко показать, что на плоскости существуют непересекающиеся прямые. Например, два перпендикуляра к одной прямой. Такие прямые Евклид назвал параллельными. На плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (например, опустить из этой точки перпендикуляр на данную прямую, а затем в этой точке восстановить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру). Однако предположение, что параллель к данной прямой через данную точку проходит только одна, принято у Евклида за аксиому. Это так называемый пятый постулат, который формулирует требование, чтобы на плоскости две прямые, пересеченные третьей, пересекались друг с другом, если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых углов, т. е. меньше 180°. Многие ученые предполагали, что это можно доказать, исходя из остальных аксиом, а Евклид только не сумел это сделать. Так возникла проблема параллельных. Попытки найти такое доказательство делались начиная с древности сотни раз, но впоследствии всегда обнаруживались ошибки: явно или скрытно использовалась какая-нибудь дополнительная аксиома, равносильная аксиоме параллельности, либо не все возможные случаи подвергались изучению, либо автор совершал грубую логическую ошибку. Лобачевский получил гениальное решение проблемы, создав новую геометрию, в которой нет этой аксиомы. Он доказал, что в основу теории параллелей можно положить более общую аксиому, согласно которой на плоскости имеется бесконечное множество прямых, проходящих через данную точку и не пересекающих данную прямую.

     Эти прямые заполняют часть пучка  прямых с общим центром (которая  может быть очень мала по угловым  размерам). Крайние из этих прямых и  называются параллелями в точке  прямой соответственно в двух ее направлениях. Угол (наклон параллели к перпендикуляру) называется углом параллельности; он одинаков для обеих параллелей. Если параллели и сливаются (предельный случай – прямой угол), получаем геометрию Евклида. Если же параллели различны, то получаем геометрию Лобачевского, в которой непересекающихся прямых бесконечное множество (остальные непересекающиеся называются расходящимися). Эта геометрия богаче по содержанию и сложнее евклидовой.

     Лобачевский детально разработал свою геометрию, нашел  тригонометрические соотношения между  сторонами и углами треугольника, изучил простейшие кривые – аналоги окружностей – предельную линию (окружность бесконечно большого радиуса) и эквидистанту (образована точками, удаленными от прямой на постоянное расстояние), ввел различные системы координат, нашел формулы для вычисления площадей и объемов.

     В соответствии со своим материалистическим подходом к изучению природы он сделал вывод, что только научный опыт может  выявить, какая из логически возможных  геометрий действует в физическом пространстве. Появление новой геометрии опровергло идеалистическую философскую трактовку Кантом пространства как формы нашего восприятия. Согласно Канту человек постигает свойства пространства единственно по законам евклидовой геометрии. Подтвердилось положение материалистической философии – пространство является объективной формой существования материи и требуется изучать, какая геометрия эти свойства правильно описывает.

     Лобачевский использовал новейшие данные астрономических  наблюдений годичных параллаксов звезд (впервые измеренных в эти годы), позволяющие определять расстояния от Земли до звезд. Но даже в треугольниках космических размеров отклонения от геометрии Евклида не проявились, или точнее, если они и существуют, то лежат в пределах ошибок измерений. Поэтому для практических целей вполне пригодна более простая геометрия Евклида.

     Но  вместе с тем Лобачевский показал, как его геометрия может применяться  в математическом анализе при  вычислении определенных интегралов, которые нужны и в механике, и в физике, и в технике, обеспечив  этим ее право на существование, поскольку она приносит уже пользу в математике.

     Новая геометрия была создана на основе глубокого анализа самых начальных  положений науки, на основе разработки общей теории параллельных прямых, когда ограничение Евклида – пятый постулат – отброшено.

     Лобачевский не только в геометрии, но и в других областях математики получил важные новые результаты: он четко разграничил  непрерывность и дифференцируемость функции, рассмотрел понятие функции  во всей его общности, провел тонкие исследования по сходимости рядов и по тригонометрическим рядам; им получены также ценные результаты в области алгебры (в частности, новый способ вычисления корней уравнений) и теории вероятностей.

     Доклад  о новой геометрии совпал по времени  с падением Магницкого: он был смещен и выслан после ревизии, выявившей ряд злоупотреблений. Новый попечитель учебного округа М.Н. Мусин-Пушкин оценил деятельность и энергию Лобачевского, и в 1827 г. его избрали ректором университета. В этой должности он последовательно переизбирался на протяжении 19 лет, отдавая университету все свои силы и знания.

     Лобачевский стремился провести в жизнь передовую  программу университетского образования; Представление о его педагогических установках, о его философских  и общественных взглядах и о целях воспитания и высшего образования дает его замечательная речь "О важнейших предметах воспитания", произнесенная им через год после вступления на пост ректора. В ней высказаны в яркой впечатляющей форме глубокие мысли об общественном значении воспитания и образования, обрисована картина гармонического и всестороннего развития человеческой личности. Лобачевский резко осуждает нередко встречающееся невежество крепостнического дворянства и бюрократического чиновничества. Для невежд "мертва природа, ...чужды красоты поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, незанимательна история веков". И Лобачевский говорит: "Я утешаюсь мыслью, что из нашего университета не выйдут подобные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если, к несчастью, уже родились с таким назначением. Не войдут, повторяю, потому, что здесь продолжается любовь славы, чувство чести и внутреннего достоинства". Он отмечает особые "блистательные" успехи наук физических и математических, достигнутые в последнее время, называя их "славой нынешних веков, торжеством ума человеческого". Лобачевский объясняет эти успехи применением теоретико-экспериментального метода, изложенного им от лица Ф. Бэкона следующим образом: "Оставьте, говорил он, трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно". В заключение Лобачевский высказывает мысли о долге ученого перед своей страной и народом, о великом и счастливом будущем своего отечества.