Переходя  к общему случаю, запишем произвольные многочлены в виде , , где - примитивные многочлены. Так как и по доказанному ,то .                                                                                                   ■

     Следствие. Многочлен , неприводимый над , продолжает оставаться неприводимым и над ( ).

     Доказательство. Согласно следствию теоремы 2, - факториальное кольцо, поэтому к применима лемма Гаусса. Предположим, что , где , а . Умножая обе части этого равенства на наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов у и  , мы перепишем его в виде , где и - примитивные многочлены над . По лемме Гаусса , так что получается

разложение  над .  Остается вспомнить о неприводимости в .                                                                                                                     ■                                                                                         

     Критерий  неприводимости (Эйзенштейн). Пусть - нормализованный многочлен над , все коэффициенты которого делятся на некоторое простое число число , но не делился на . Тогда неприводим над .

     Доказательство. Предположим противное и воспользуемся следствием леммы Гаусса, запишем в виде произведения двух многочленов над :

      , . Это разложение сохранится и в кольце , элементы которого получаются из целочисленных многочленов взятием их коэффициентов по модулю . По условию , где - класс вычетов по модулю , соответствующий целому числу . Но кольцо факториально (по следствию теоремы 2). Сравнивая два разложения: , , приходим к тому, что , т.е. все коэффициенты делятся на . В таком случае делится на - противоречие, устанавливающее справедливость критерия Эйзенштейна.                                  ■ 
 
 
 
 
 
 
 

     § 6 Базис целозначных  многочленов

     Определение. Многочлен называют целозначным, если он принимает целые значения при всех целых .

     Индукцией по можно доказать, что многочлен

                 

целозначный. В  самом деле. При  это очевидно. Предположим теперь, что многочлен  целозначный. Проверим, что

               

     Следовательно, при всех целых  разность является целым числом. Заметим, что .

     В некотором смысле целозначные многочлены исчерпываются многочленами  ,  причем требование при всех можно существенно ослабить. А именно, справедливо следующее утверждение.

     Теорема. Пусть - многочлен степени , принимающий целые значения при для некоторого целого числа . Тогда

               

где - целые числа.

     Доказательство. Рассмотрим следующие многочлены

                    … .

Они образуют базис  в пространстве многочленов степени  не превосходящей  , поэтому можно представить в виде линейной комбинации

               

где  - некоторые числа. Нужно доказать, что они целые.

     Докажем это индукцией по . При многочлен принимает целое значение при , поэтому число целое. Предположим теперь, что требуемое утверждение доказано для многочленов степени не превосходящей . Пусть многочлен

               

принимает целые  значения при  . Рассмотрим многочлен

     

Он принимает  целые значения при  . Поэтому по индуктивному предположению числа целые, а значит число

               

тоже целое.                                                                                                              ■

     Теорема. Пусть - рациональная функция, принимающая целые значения при всех целых . Тогда - целозначный многочлен.

     Доказательство. Рациональную функцию можно записать в виде

                ,

где и - многочлены. Поделив на с остатком, получим

                ,

где - многочлен степени , а при . Таким образом, при больших значения мало отличаются от целых чисел. Покажем, что - целозначный многочлен. Это делается почти так же, как и при доказательстве предыдущей теоремы.

     Запишем многочлен  в виде

               

При  число должно сколь угодно мало отличаться от целого числа, поэтому . Многочлен

               

при больших  целых  тоже принимает почти целые значения, а его степень равна . Применив к нему предположение индукции, получим, что числа целые. Ясно также, что число

               

тоже целое.

     Остается  доказать, что  . Как мы уже знаем, при и при . Следовательно, при всех достаточно больших целых . Но любая рациональная функция, имеющая бесконечно много нулей, тождественно равна нулю.                                                                    ■

     Следствие. Пусть и - многочлены с целыми коэффициентами, причем делится на при всех целых . Тогда

               

где - целые числа.

 
 
 
 
 
 

     § 7. Целозначные многочлены от многих переменных и q-аналог целозначных многочленов.

     Теорема. Многочлен , где - степень по переменной , принимает целые значения при

 тогда и только тогда,  когда

      ,

где - целые числа. В частности, такой многочлен принимает целые значения при всех целых .

     Биномиальным коэффициентом Гаусса или q-биномиальным коэффициентом, называют величину

     

При биномиальный коэффициент Гаусса переходит в обычный биномиальный коэффициент .  Биномиальный коэффициент Гаусса является одним из многочисленных q-аналогов элементарных и специальных функций.

       Тождество  имеет q-аналог вида

                                                                   ₍₁₎

Докажем это  равенство.

+ =

     Дальше  будем считать, что  и - целые числа, причем и . В таком случае индукция по на основе формулы (1) показывает, что - целое число.

     Рассмотрим  многочлены , где и

               

при .

Проверим, что  при     и                             (2)

     

_Теперь

     

     Кроме того, при . В частности, при всех натуральных число целое.

     Теорема. Многочлен степени принимает целые значения при тогда и только тогда, когда

                       ,                      (3)     

где - целые числа. В частности, такой многочлен принимает целые значения при всех .

     Доказательство. Многочлены образуют базис линейного пространства многочленов степени не выше , поэтому равенство (3) выполняется при некоторых . Нужно лишь проверить, что . Формулы (2) показывают, что

               

               

               

               ………….

               

Поэтому последовательность получаем

                       … .                                                ■

       
 
 

     Литература.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры / А.И. Кострикин. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 272 с.
2. Прасолов В.В. Многочлены / В.В. Прасолов. – М. : МЦНМО,

2001. – 336 с.