Введение.

     Теория  многочленов играет большую роль в математике. Эта теория

применяется как  внутри алгебры , так и в других математических дисциплинах, как, например, математический анализ (приближение  функций многочленами), дискретная математика (многочлены Жегалкина). В данном реферате рассматриваются некоторые общие вопросы связанные с теорией многочленов, а также изучаются целозначные многочлены.

     В первом параграфе рассматривается  понятие кольца многочленов от одной  переменной, а в следующем –  от многих переменных. Также во втором параграфе рассматривается понятие целостного кольца и приводится теорема о целостности кольца . В третьем параграфе изучаются основные свойства делимости в целостном кольце и разложения на множители в кольце многочленов. В четвертом параграфе рассматривается определение евклидова кольца и приводятся основные теоремы об евклидовых кольцах. Неприводимые многочлены изучаются в пятом параграфе. Исследованию целозначных многочленов посвящены параграфы шесть и семь. В шестом рассматривается базис целозначных многочленов, приводится доказательство теоремы о рациональной функции , принимающей целые значения при всех целых . Седьмой параграф посвящен целозначным многочленам от многих переменных. Так же в нем рассматривается q-аналог целозначных многочленов. 
 
 
 
 
 
 
 

     § 1. Кольцо многочленов

     Пусть - коммутативное кольцо с единицей 1, - некоторое его подкольцо, содержащее 1. Если , то наименьшее подкольцо в , содержащее и , будет состоять из элементов вида

                 ,                                                    (1)

где . Мы обозначим его и назовем кольцом, полученным из присоединением элемента , а выражение (1)- многочленом от с коэффициентами в . Что понимать под суммой и произведением многочленов, видно из простейших примеров, например при :

     Видно, что приведение подобных членов основано на попарной перестановочности всех элементов . 

     Пусть - произвольное коммутативное кольцо с единицей. Построим новое кольцо , элементами которого являются бесконечные упорядоченные последовательности

                               ,                                                  (1)

такие, что все  , кроме конечного их числа, равны нулю. Определим на множестве операции сложения и умножения, полагая

     

      ,

где  , 

     Ясно, что в результате сложения и умножения  получаются снова последовательности вида (1) с конечным числом отличных от нуля членов, т.е. элементы из . Проверка всех аксиом кольца, кроме аксиомы ассоциативности, очевидна. В самом деле, поскольку сложение двух элементов из сводится к сложению конечного числа элементов из кольца то  является коммутативной группой с нулевым элементом и элементом , обратным к произвольному Далее, коммутативность умножения следует непосредственно из симметричности выражения элементов через и . Это же выражение показывает, что в выполнен закон дистрибутивности  . Что касается ассоциативности операции умножения, то пусть - три произвольных элемента множества . Тогда где , , а , где . Вычисление дает тот же результат. Итак, - коммутативное ассоциативное кольцо с единицей .

     Последовательности  складываются и умножаются так же, как и элементы кольца . Это позволяет отождествить такие последовательности с соответствующими элементами из , т.е. положить для всех . Тем самым становится подкольцом кольца . Обозначим далее через и назовем переменной (или неизвестной) над . Используя введенную на операцию умножения, находим, что

               

                                                                                        (2)

               …

               

Кроме того, ввиду (2) и в виду включения  имеем

               

     Итак, если - последний отличный от нуля член последовательности      , то в новых обозначениях

                                                                                (3) 
           Такое представление элемента однозначно, поскольку в правой части (3) – это члены последовательности , которая равна нулю тогда и только тогда, когда .

     Введенное выше кольцо обозначается через и называется кольцом многочленов над от одной переменной , а его элементы – многочленами (или полиномами).

     Элементы  (и ) называются коэффициентами многочлена . Многочлен нулевой, когда все его коэффициенты равны нулю.

     Коэффициент при в нулевой степени называется постоянным многочленом.

     Если  , то называют старшим коэффициентом, а - степенью многочлена и пишут .

     Нулевому  многочлену приписывается степень  ( для каждого ).

     Многочлены  степени 1, 2, 3,… называются соответственно линейными, квадратичными (или квадратными), кубичными и т.д.

     Роль  единицы кольца играет единичный элемент 1 кольца , рассматриваемый как многочлен нулевой степени. Непосредственно из определения операций умножения и сложения в следует, что для любых двух многочленов

      ,                               (4)

степеней  и соответственно имеют места неравенства

      ,                           (5)

Второе из неравенств (5) на самом деле заменяется неравенством

     

всякий раз, когда  произведение старших коэффициентов многочленов (4) отлично от нуля, поскольку

                                       (6)

Но это значит, что верна следующая теорема.

     Теорема. Если - целостное кольцо, то и кольцо является целостным.

     Место кольца многочленов среди коммутативных  колец отчасти поясняет следующая  теорема:

     Теорема. Пусть коммутативное кольцо содержит в качестве подкольца. Для каждого элемента существует единственный гомоморфизм колец такой, что

                ,                                            (7)

     Доказательство. Предположим сначала, что такой гомоморфизм существует. Так как для каждого коэффициента многочлена , записанного в стандартном виде (3), и , то

      ,                       (8)

т.е. определен однозначно и выражается формулой (8).

Обратно: задав  отображение  формулой (8), удовлетворим условию (7) и получим гомоморфизм колец. Это ясно для отображения аддитивных групп колец, а что касается умножения, то применение к произведению (6), а затем использование общего закона дистрибутивности дает

     

           

                                                                                                                             ■                                                                                     

      Результат применения отображения  , определенного формулой (8), к многочлену называется подстановкой в вместо или просто

значением при , так что .

     Элемент называется алгебраическим над , если для некоторого . Если же - изоморфное вложение (мономорфизм), то - трансцендентный над элемент.

     Гомоморфизм служит выражением универсального свойства кольца многочленов . Более полным образом универсальность кольца многочленов видна из следующей теоремы:

     Теорема. Пусть и - произвольные коммутативные кольца, - элемент из и - гомоморфизм. Тогда существует, и притом единственное, продолжение до гомоморфизма кольца многочленов в , переводящего переменную в . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     § 2. Многочлены от многих переменных.

     Если  в ситуации взять произвольные элементов и рассмотреть в пересечение всех подколец, содержащих , то мы получим кольцо . Формальная запись его элементов подсказывает, как и в случае , необходимость введения в обиход кольца многочленов от  переменных.

     Конструкция кольца включала произвольное коммутативное кольцо с единицей. Можем теперь заменить в конструкции кольцо на и построить кольцо , где - новая независимая переменная, играющая по отношению к ту же роль, что и по отношению к . Элементы из однозначно записываются в виде ,  , причем отождествляется с подкольцом в , а именно с множеством элементов . Так как - однозначная запись элементов , то любой элемент из имеет вид ,  . Причем подразумевается, что перестановочны с и  , а переменная перестановочна с . Кольцо называется кольцом многочленов над от двух независимых переменных и  .

     Повторив  достаточное число раз эту  конструкцию, мы получим кольцо многочленов (полиномов) над от независимых переменных (или неизвестных) .

     Набор из целых неотрицательных чисел , условимся сокращенно обозначать символом . Тогда любой элемент запишется в виде

                ,                                                            (9)

где - одночлен (или моном), так что - линейная комбинация одночленов с коэффициентами из . В соответствии с определением многочленов все коэффициенты в (9), за исключением конечного числа, равны нулю. Единственность записи (9) непосредственно вытекает из следующего утверждения.

     Многочлен равен нулю тогда и только тогда, когда равны нулю все его коэффициенты . При это уже отмечалось в ходе построения кольца , а при проще всего использовать индукцию по . Именно, мы можем записать

               

где    - многочлены от меньшего числа переменных. Утверждение для и предположение индукции показывают, что

       

     Будем считать два многочлена равными  , если совпадают их коэффициенты при одинаковых многочленах.

     Определение. Степенью многочлена относительно называется наибольшее целое число, обозначаемое , которое встречается в качестве показателя при в с .

     Определение. Целое число называется полной степенью одночлена .

     Степенью  (или полной степенью) многочлена будет максимальная из полных степеней его одночленов. Полагаем . О старшем по степени члене многочлена не имеет смысла говорить, поскольку таких членов (одночленов) может быть несколько.

     На  кольцо переносятся многие результаты, полученные для .

     Теорема 1. Если - целостное кольцо, то и кольцо является целостным. В частности, кольцо многочленов от переменных над любым полем целостно.

     Теорема 2. Пусть и - произвольные многочлены от переменных над целостным кольцом . Тогда .

     Доказательство. Назовем однородным многочленом или формой степени многочлен , все члены которого имеют одну и ту же полную степень . Формы степеней 1, 2, 3 называются соответственно линейной, квадратичной и кубичной формами. Объединяя вместе все входящие в одночлены одной и той же степени, мы однозначно представим многочлен