в виде суммы нескольких  форм  различных степеней

                ,     

Если теперь

                ,  

то, видно

               

откуда  . По теореме 1 из , следует , т.е. .                                                          ■ 
 

     § 3. Разложение в кольце многочленов.

     Пусть произвольное целостное кольцо. Обратимые элементы в называются делителями единицы, часто их называют еще регулярными элементами. Видно, что многочлен обратим (регулярен) в точности тогда, когда и - обратимый элемент кольца , поскольку .

     Говорят, что элемент  делится на (или кратен ), если существует такой элемент , что (это обозначается ).

     Если  и , то и называются ассоциированными элементами. Тогда , где . В силу сделанного выше замечания ассоциированность многочленов означает, что они отличаются лишь обратимым множителем из .

     Определение. Элемент называется простым (или неразложимым), если необратим и его нельзя представить в виде , где - обратимые элементы.

     В поле каждый ненулевой элемент обратим и в нет простых элементов.

     Простой элемент кольца называется неприводимым многочленом.

     Отметим следующие основные свойства отношения  делимости в целостном кольце .

1. Если , то .
2. Если и , то .
3. Если , то .
4. Если каждый из элементов делится на , то на будет делиться также элемент , где - произвольные элементы.

     Определение. Говорят, что целостное кольцо - кольцо с однозначным разложением на простые множители (или - факториальное кольцо), если любой элемент из можно представить в виде

                ,                                                                            (1)

где - обратимый элемент, а - простые элементы, причем из существования другого такого разложения следует, что и при надлежащей нумерации элементов и будет

                ,

где - обратимые элементы.

     Допуская  в равенстве (1) значение , мы принимаем соглашение, что обратимые элементы в тоже имеют разложение на простые множители. Ясно, что если - простой, а - обратимый элемент, то ассоциированный с элемент тоже простой. В кольце с обратимыми элементами 1 и -1 отношение порядка дает возможность выделить положительное простое число из двух возможных простых элементов . В кольце удобно рассматривать нормализованные неприводимые многочлены.

     Справедлива следующая общая теорема:

     Теорема. Пусть - произвольное целое кольцо с разложением на простые множители. Однозначность разложения в (факториальность ) имеет место тогда и только тогда, когда любой простой элемент , делящий произведение , делит по крайней мере один из множителей . 
 
 
 
 

     § 4. Факториальность евклидовых колец.

     Алгоритм  деления с остатком в  и делает естественным рассмотрение целостного кольца, в которой каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное целое число , т.е. определено отображение

     

так, что при  этом выполняются условия:

     А) для всех из ;

     В) каковы бы ни были , , найдутся ( - «частное», - «остаток»), для которых

           ;       или .                                     (1)

     Определение. Целостное кольцо  обладающее свойствами А), В) называется евклидовым кольцом.

     Полагая для и для , приходим к выводу, что и - евклидовы кольца.

     В евклидовых кольцах существует способ нахождения НОД , называемый алгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида, который заключается в следующем. Пусть даны ненулевые элементы евклидова кольца . Применяя достаточно большое число раз условие В, мы получим систему равенств типа (1) с последним нулевым остатком:

      ,            ,

      ,           ,

      ,          ,

     …                                                                                                   (2)

      ,    ,

      ,             .

     Это действительно так, поскольку строго убывающая цепочка неотрицательных чисел должна оборваться, а обрыв

может произойти  только за счет обращения в нуль одного из остатков.

     Последний отличный от нуля остаток  является как раз наибольшим общим делителем элементов и . В самом деле, по условию . Двигаясь в системе (2) снизу вверх и используя свойство 4 отношения делимости, получим цепочку и, наконец, . Значит, - общий делитель элементов и .

     Обратно: пусть  - любой другой делитель тех же элементов, тогда . Двигаясь в системе (2) сверху вниз, получим цепочку отношений делимости . Последнее из них окончательно убеждает нас в том, что НОД существует, причем

                .                                                                             (3)

     Обратим внимание на то, что каждый остаток  , в системе (2) выражается в виде линейной комбинации с коэффициентами в двух предыдущих остатков и . При этом выражается через и : , а , выражаясь через и , опять является линейной комбинацией и . Последовательная подстановка в выражений через и даст нам при выражение

                                                                                                    (4)

с какими-то элементами .

     Теорема 1. В евклидовом кольце любые два элемента имеют наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. При помощи алгоритма Евклида можно найти такие , что будет выполнено соотношение

                .

     В частности, элементы взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют элементы , для которых

                .

     Следствие. Пусть - элементы евклидова кольца .

1. Если и , то .
2. Если и , то .
3. Если и , то .

     Доказательство. 1. согласно теореме 1 имеем равенства , . Перемножая их правые и левые части, получаем , что и дает нужное утверждение.

     2. Имеем  , откуда . Но , поэтому , т.е. .

     3. Согласно свойству  НОК получаем  , поскольку и по условию.                 ■

     Непосредственным  шагом к установлению факториальности  евклидова кольца служит следующая лемма.

     Лемма. Всякое евклидово кольцо является кольцом с разложением.

     Доказательство. Пусть элемент обладает собственным делителем : , где и - необратимые элементы. Докажем, что .

     В самом деле, согласно В) непосредственно  имеем  . Предположив выполнение равенства , мы воспользуемся условием В) и найдем с , где или же . Случай отпадает ввиду неассоциированности и . По той же причине . Снова воспользуемся В) и получим - противоречие. Итак, .

     Если  теперь , где все необратимы, то - собственный делитель и по доказанному

      .

     Эта строго убывающая цепочка неотрицательных  целых чисел имеет длину  . Значит, для элемента имеется разложение максимальной длины, которое и будет разложением на простые множители.                             ■

     Теорема 2. Всякое евклидово кольцо факториально (т.е. обладает свойством однозначности разложения на простые множители)

     Доказательство. С учетом предыдущей леммы и критерия факториальности, содержащегося в теореме предыдущего параграфа, остается показать, что если - простой элемент кольца , делящий произведение каких-то элементов , то делит либо , либо .

     Действительно, при  или очевидно. Если же и , то , будучи делителем простого элемента , либо равен 1 (точнее, является делителем 1), либо ассоциированным с . В первом случае и  оказываются взаимно простыми, и утверждение 2 следствия позволяет заключить, что . Во втором случае и, значит, .                  ■

     Следствие. Кольца и факториальны ( - произвольное поле). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     § 5. Неприводимые многочлены.

     Определение. Многочлен ненулевой степени из кольца называется неприводимым в (или неприводимым над полем ), если он не делится ни на какой многочлен , у которого .

     В частности, всякий многочлен первой степени неприводим.

     Как простых чисел в  , так и нормализованных неприводимых многочленов над произвольным полем бесконечно много.

     Если  же поле конечно, то годится рассуждение Евклида. Именно, пусть уже найдены неприводимых многочленов . Многочлен имеет хотя бы один нормализованный простой делитель, поскольку . Обозначим его через . Он отличен от , поскольку из для какого-то следовало бы , т.е. .

     Так как многочленов заданной степени  над конечным полем конечное число, то можно сделать следующее заключение:

     Над любым конечным полем существуют неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени.

     Неприводимые  многочлены над полем  играют особую роль в теории полей алгебраических чисел. Так как умножением на подходящее натуральное число от многочлена из всегда можно перейти к многочлену из , то естественно уточнить сначала связь между свойствами приводимости над и над .

     Назовем содержанием многочлена наибольший общий делитель всех его коэффициентов.

     Если  - обратимый элемент в , то многочлен называют примитивным.

     Лемма Гаусса. Пусть - факториальное кольцо и . Тогда . В частности, произведение двух примитивных многочленов снова будет примитивным многочленом.

     Доказательство. Начнем с последнего утверждения. Пусть ,   - примитивные многочлены из , произведение которых не является примитивным. Существует простой элемент , делящий . Выберем наименьшие индексы , для которых не делит , не делит . Такие индексы найдутся в виду примитивности и . Коэффициентом при в будет . Так как и при делятся на по условию и по предположению, то мы имеем , из которого следует, что . В виду факториальности имеем или - противоречие, доказывающее наше утверждение.