Методические приёмы обучения младших школьников решению текстовых задач на пропорциональную зависимость между величинами

     В вазе 10 яблок. Сколько  яблок останется, если возьмут 2 яблока? 3 яблока? 5 яблок? Запиши решение в таблице. От чего зависит результат? На сколько единиц он изменяется? Почему?

     В данной задаче фактически представлена функция у = 10 – х, где переменная х принимает значения 2, 3, 5. В результате выполнения данного задания учащиеся должны сделать вывод: чем больше вычитаемое, тем меньше значение разности.

     Идея  функционального соответствия присутствует и в упражнениях вида:

     Соедини стрелкой математические выражения и соответствующие  численные значения: 

     15 + 6  18 + 9  21 – 4  38 – 19

     27  19  17  21  35  40  15 

     Введение  буквенной символики позволяет познакомить учащихся с важнейшими понятиями современной математики – переменная, уравнение, неравенство, что способствует развитию функционального мышления, поскольку с ними тесно связана идея функциональной зависимости. При работе с переменной школьники осознают, что буквы, входящие в выражение, могут принимать различные числовые значения, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений.

     Одни  из примеров системного использования  буквенной символики являются задачи, представленные в блиц-турнирах. Отсутствие конкретных чисел заставляет учеников искать путь решения задачи, опираясь на существенные связи между данными  и искомыми. Эта модель задачи –  знаковая, она более абстрактна, чем числовое выражение. При этом ученик не может вычислить промежуточные  результаты, а должен представлять всю цепочку связей между величинами и выстраивать соответствующую  последовательность действий. Исследование решения задач с буквенными данными  предполагает рассмотрение различных  соотношений между значениями букв, а так же выявление возможности  или невозможности принятия буквой конкретных числовых значений, установление влияния числовых значений переменных на количество способов решения задачи.

     Огромное  пропедевтическое значение имеет опыт общения учащихся с упражнениями на установление закономерностей в числовых последовательностях и их продолжение: 

     1, 2, 3, 4… (у = х + 1)

     1, 3, 5, 7… (у = 2 · х + 1) 

     Понятие величины, наряду с понятием числа, является основным понятием начального курса математики. Материал данного раздела является богатейшим источником для осуществления опосредованной функциональной пропедевтики. Во-первых, это зависимость (обратнопропорциональная) между выбранной единицей величины (меркой) и ее численным значением (мерой) – чем больше мерка, тем число, полученное в результате измерения величины данной меркой, меньше. Поэтому важно, чтобы при работе с каждой величиной (длиной, массой, площадью, объемом и пр.) учащиеся приобретали опыт измерения величин разными мерками с целью осознанного выбора сначала удобной, а затем и единой мерки.

     Во-вторых, при изучении величин, характеризующих  процессы движения, работы, купли-продажи  формируются представления о  зависимости между скоростью, временем и расстоянием, ценой, количеством  и стоимостью в процессе решения  текстовых задач следующих видов  – на приведение к единице (нахождение четвертого пропорционального), нахождение неизвестного по двум разностям, пропорциональное деление.

     Особую  сложность для учащихся представляет осознание взаимосвязи между  этими величинами, поскольку понятие  «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения. В программе Л.Г. Петерсон методически эта проблема решается за счет использования следующих  приемов:

     - Решение задач  с недостающими  данными («открытым»  условием):

     Васе  от дома до школы  540 м, а Паше – 480 м. Кто ближе живет? Кто быстрее дойдет?

     - Фиксация условия задач не только в таблице (как это предложено в классической методике), но и в виде схемы. Это позволяет «визуализировать» зависимости, рассматриваемые в задаче. Так, если одно и тоже расстояние в 12 км движущиеся объекты проходят за разное время (2 ч, 3 ч, 4 ч, 6 ч), то с помощью схемы наглядно интерпретируется обратная зависимость – чем больше частей (время), тем меньше каждая часть (скорость).

     - Изменение одного  из данных задачи  и сравнение результатов  решения задач.

     В школьную столовую привезли 48 кг яблок. Сколько ящиков могли привезти, если во всех ящиках яблок было поровну? Здесь полезно обратить внимание на кратное отношение рассматриваемых величин – во сколько раз больше одна из величин, во столько же раз больше (меньше) другая при постоянной третьей.

     В начальной школе учащиеся в неявном виде знакомятся с табличным, аналитическим, словесным, графическим способами задания функций.

     Так, например, зависимость между скоростью, временем и расстоянием можно  выразить:

     а) словесно: «чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время»;

      б) аналитически: s= u ·t;

     в) таблично: u =5 км/ч

     г) графически (с помощью координатного  луча или угла).

     В курсе Л.Г. Петерсон учащиеся в неявном  виде знакомятся с линейной зависимостью, как частным случаем функции. Эту функцию можно задать формулой вида у = kх + b, где х – независимая переменная, k и b – числа. Ее областью определения являются множество всех действительных чисел.

     Пройдя  350 километров, поезд стал идти в течение t часов со скоростью 60 км/ч. Сколько всего километров прошел поезд? (350 + 60 · t)

     Выполняя  задания с именованными числами, учащиеся осознают зависимость численного значения величин от использования различных единиц измерения.

     Один  и тот же отрезок  измерили сначала  в сантиметрах, затем  в дециметрах. В  первом случае получили число на 135 больше, чем во втором. Какова длина отрезка  в сантиметрах? (Зависимость  у = 10 · х)

     В курсе математики 3–4 классов значительное внимание уделено обучению учащихся использованию формул, их самостоятельному выводу. Здесь важно научить учащихся представлять одну и ту же информацию в различной форме – графически и аналитически, предоставив школьникам право выбора формы в соответствии с их познавательными стилями.

     Чтобы сформировать у учащихся способность  к выводу формул, нужно научить  их записывать различные утверждения  на математическом языке (в виде равенств):

     - ручка в три раза дороже  карандаша (р = к + 3);

     - число а при делении на 5 дает в остатке 2 (а = 5 · b + 2);

     - длина прямоугольника на 12 см больше ширины (а = b + 12).

     Обязательным  условием является обсуждение возможных  вариантов значений данных величин  с заполнением соответствующих  таблиц.

     Особое  место в курсе Л.Г. Петерсон занимают задания, связанные с математическими исследованиями:

     Представь число 16 в виде произведения двух множителей разными  способами. Для каждого  способа найди  сумму множителей. В каком случае получилась меньшая  сумма? Проделай это  же с числами 36 и 48. Каково предположение?

     При выполнении подобных заданий (на исследование зависимости между количеством  углов многоугольника и суммарным  значением градусных мер углов, между значением периметра различных  по форме фигур с одинаковой площадью и пр.) учащиеся совершенствуют навыки работы с таблицей, так как решение удобно фиксировать в таблице. Кроме этого табличный способ фиксации решения используется при решении нестандартных математических задач методом упорядоченного перебора или рационального подбора.

     В классе 13 детей. У  мальчиков столько  зубов, сколько у  девочек пальцев  на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько  девочек? (У каждого  мальчика ровно 32 зуба).

     Обучение  математике по программе Л.Г. Петерсон обеспечивает усвоение учащимися взаимосвязи  между результатами и компонентами арифметических действий, формируется  представление о «скорости» изменения результата арифметических действий в зависимости от изменения компонентов:

     - упражнения на состав числа;

     - частные приемы вычислений (36 + 19 = 35 + 20; 36 – 19 = 37 – 20; 12 · 5 = 12 ·  10 : 2);

     - оценка суммы, разности, произведения, частного.

Понятие функции в старших классах связано с системой координат. В курсе Л.Г. Петерсон содержится материал для пропедевтической работы в этом направлении:

     - числовой отрезок, числовой луч,  координатный луч;

     - таблица Пифагора, координаты на  плоскости (координатный угол);

     - графики движения;

     - круговые, столбчатые и линейные  диаграммы, наглядно представляющие  зависимость между дискретными  величинами.

     Обобщая, отметим, что основные цели изучения учебного содержания функциональной линии  курса Л.Г. Петерсон:

     1) развитие функционально-аналитического  мышления школьников, характеризующегося  способностью рассматривать объекты,  в том числе и математические, во взаимосвязи и взаимозависимости;

     2) формирование у учащихся способности  к выражению зависимости между  величинами разными способами  (таблично, аналитически, графически).

     Кроме этого, результатом пропедевтики функциональной зависимости должна стать высокая  умственная активность младших школьников, развитие интеллектуальных, общепредметных и специфических математических умений и навыков. Все это создает  прочную основу не только для решения  методических проблем начальной  математики – формирование вычислительных навыков, умения решать текстовые задачи и др., но и для реализации развивающих  возможностей математического содержания и, что не менее важно, для успешного  изучения функций в средней школе. 
 
 

Список  использованной литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. / Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. – М.: Педагогика, 1977. – 262
2. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: Педагогика, 1984. – 301 с.
3. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: Издательский центр «Академия», 1998. – 288 с.
4. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. Ч. 1, 2. Учебник для 4-летней начальной школы. – М.: «Баласс», 2001.