Метод оптимальных решений

Задача 1. Решить графически:

Решение:

Построим многоугольник решений (см. рис. 1). Для этого на плоскости в системе координат x1Ox2 изобразим граничные прямые: (I) 2x1+x2=2, (II) 3x1+4x2=12. С учетом условий, многоугольник решений будет иметь вид фигуры, заштрихованной на рис. 1. Далее строим линию уровня целевой функции F. При F=0 линия уровня проходит через начало координат. Затем, например, построим линию уровня F=2, т.е. 3x1+2x2=2. Ее расположение указывает на направление возрастания целевой функции (градиент целевой функции, вектор ). Двигая линию уровня, т.е. прямую, целевой функции в направлении вектора , найдем ее самое крайнее положение.

Далее двигаем целевую функцию до крайней точки. Получаем, что максимальное значение функция принимает в точке А, находящейся на пересечении прямых (I) и (x1=0), т.е. координаты точки  А определяются решением системы уравнений.

Отсюда находим, А. Максимальное значение целевой функции равно

Задача 2.

Для производства четырех видов продукции используется 3 вида сырья Нормы расхода сырья (кг) запасы (кг) его ценности от реализации единицы продукции заданы таблицей.

Составить план выпуска продукции, обеспечивающей получение максимальной прибыли, используя симплексный метод, а также построить двойственную задачу и решить ее симплекс методом.

Решение.

Запишем математическую формулировку задачи: , целевая функция .

Решим задачу симплекс-методом. Для этого введем дополнительные переменные со знаком «+» в каждое неравенство.

, целевая функция .