Автор: Пользователь скрыл имя, 29 Ноября 2011 в 23:02, курсовая работа
Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен своего возникновения пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вбирает в себя большое количество математических методов.
В настоящее время приходится часто прибегать к описыванию экономического состояния с помощью математических моделей. Поэтому, при изучении линейной алгебры, одной из важнейших в приложениях часть алгебры, не должно складываться впечатления оторванности этой темы от экономики. Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно актуальным этот вопрос стал при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.
ВВЕДЕНИЕ 4
1. Теоретическая часть 5
1.1 Уравнение AX = BX 5
1.2 Уравнение AX – XB = C 10
1.3 Полное исследование решения матричного уравнения AX – XB = C 11
2. Математическое описание балансовой модели 14
Расчетно-аналитическая часть 17
3. Применение матричного уравнения вида AX+XB = C при нахождении решения балансовой системы уравнений . 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 19
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 20
Будем считать, что матрица описывает технологию при единичной интенсивности работы всех отраслей. Допустим, что в промежуток времени [ , T] все отрасли будут работать таким образом, что отрасль с номером j произведет объем валового выпуска своей продукции, j = 1, 2, …, n. Скажем, что j-я отрасль при этом работает с интенсивностью . Обозначим через х вектор валового выпуска (интенсивностей), х = ( ). Воспользовавшись предположением о линейности можно посчитать часть общего валового выпуска, израсходованную на производственные нужды в процессе выпуска эта часть описывается вектором
.
Переходя к матричным обозначениям, видим, что вектор производственных затрат равен Ax. Тогда свободный остаток, равный c = x – Ax, будет использован на непроизводственные цели и накопление. [3; c. 22-23]
Исходя из формулы, видно, что потребление – это разность x – Ax между валовым выпуском x и его частью Ax, использованной на производственные нужды. При включение матрицы l – матрица трудовых затрат, можно говорить о модели производства с учетом потребления. [8; с. 43] Пусть матрица С описывает паек, предназначенный для оплаты труда одного работника. При заданном векторе интенсивности x материальные затраты на производство составят величину Ax + LС, где L – общее число нанятых рабочих. Условие соблюдения баланса как материальных, так и трудовых затрат приводит к следующей системе неравенств:
Ах+LС х, <x, l> L, x 0.
Допустим, что <x, l> = L. Отсюда, xL = С. Теперь, используя матричное уравнение Ax+xl = С, где C – матрица оплаты труда одного работника, мы можем найти необходимый валовой выпуск, при заданных трудовых затратах и оплаты труда.
Рассмотрим решение данного уравнения.
Рассмотрим конкретный числовой пример с использованием матричного уравнения Ax+xl = С.
Для того чтобы рассчитать необходимый валовой выпуск, требуется для начала решить уравнение Ax+xl=0, где необходимо будет установить жордановы формы матрицы прямых затрат A и матрицы трудовых затрат l. Затем выяснить имеют ли они общие характеристические числа, от чего зависит последующее решение матричного уравнения.
Для нахождения нужно составить матрицу прямых затрат, матрицу трудовых затрат и матрицу оплаты труда.
Имеющаяся матрица прямых затрат A.
Таблица 2.
| 3 | 6 |
| 0 | 3 |
Матрица трудовых затрат l.
Таблица 3.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 2 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
Матрица оплаты труда C.
Таблица 4.
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 2 |
Построим жордановы формы матриц A и l, которые будут иметь вид.
Жорданова форма матрицы A.
Таблица 5.
| 3 | 1 |
| 0 | 3 |
Жорданова форма матрицы l.
Таблица 6.
| 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 2 |
Так
как в жордановых формах на главной
диагонали стоят
В ходе работы был проведен анализ матричного уравнения AX + XB = C. На основе проведенного исследования можно сделать заключение, что решение уравнение заключается в нахождении матрицы X при трех заданных остальных. Решение уравнение базируется на отыскании жордановых форм матриц A и B, от анализа которых зависит дальнейшее решение.
Также было исследовано экономическое применение уравнения AX + XB = C, исходя из чего, можно утверждать, что уравнение является одним из методов решения задач, составленных на основе балансовых моделей. В работе была рассмотрена модель производства с учетом потребления, где благодаря уравнению может быть найден необходимый валовой продукт, при имеющихся матрицах прямых затрат, трудовых затрат и оплаты труда.
Приведенный в работе числовой пример позволил получить приемлемое решение изучаемым методом. При этом выявлены его достоинства и недостатки, непосредственно касающиеся его решения.
Главным преимуществом метода является несложность решения. Однако можно сказать, что результат неоднозначен. Он либо является нулевым, при отсутствии общих характеристических чисел у заданных матриц, либо представляет собой систему линейно независимых решений. Следовательно, метод не предоставляет точного значения.
Несмотря на аргументы, изложенные выше, матричные уравнения находят широкое применение в различных звеньях экономики для плановых и статистических расчётов, организации внутрипроизводственного хозрасчёта и для экономического анализа. Несомненно, данный метод является удобным расчётным плановым и аналитическим инструментом.