Содержание

 

ВВЕДЕНИЕ

    Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен своего возникновения  пользуется разнообразными количественными  характеристиками, а потому вбирает в себя большое количество математических методов.

    В настоящее время приходится часто  прибегать к описыванию экономического состояния с помощью математических моделей. Поэтому, при изучении линейной алгебры, одной из важнейших в приложениях часть алгебры, не должно складываться впечатления оторванности этой темы от экономики. Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно актуальным этот вопрос стал при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

    Одним из способов, применяемых для решения  экономических задач, является матричное  уравнение. Существуют различные виды матричных уравнений. В данной работе мы будем рассматривать матричное уравнение вида AX + XB = C. 

    Изучение  будет проходить в следующей  форме. Для начала рассмотрим математическую трактовку матричных уравнений  в линейной алгебре. В данном разделе будет описана математическая модель метода. Также будет рассмотрена балансовая модель экономики и преимущества использования матричного уравнения для решения поставленных задач, где основная идея заключается в анализе эффективности данного метода. 

    1. Теоретическая часть

    1.1 Уравнение AX = BX

    Пусть дано уравнение

                                  AX = BX      (1)

    где A и B – две заданные квадратные матрицы (вообще говоря, разных порядков)

                             ,    ,

    а X – искомая прямоугольная матрица размером m×n:

       (j = 1, 2, …, m; k = 1, 2, …, n).                

    Выпишем элементарные делители матриц A и B (в поле комплексных чисел):

     (A): , , …,   ( …+ = m),

    (B): , , …,   ( …+ = n).

    В соответствии с этими элементарными  делителями приведем матрицы A и B к нормальной жордановой форме:

     ,    ,              (2)

     где U и V – квадратные неособенные матрицы соответственно порядка m и n, а  и

               = { , , …, },

     = { , …, }.             

    Подставляя  в уравнение (1) вместо A и B их выражения (2), получим:

     = .                         

    Умножим обе части этого равенства  слева на U, а справа – на V:

     = .

    Вводя вместо искомой матрицы X новую искомую матрицу (тех же размеров m×n)

       ,

    Мы  уравнение (4) запишем так:

          .     

    Мы  заменим матричное уравнение (1) уравнением (6) того же вида, но в котором заданные матрицы имеют нормальную жорданову форму. [5, с. 199-203]

    В соответствии с квазидиагональным  видом матриц A и B разобьём матрицу на блоки:

         = ( )   ( = 1, 2, …, u; = 1, 2, …, v)                

    здесь - прямоугольная матрица размером ; 2, …, u; , 2, …, v).

    Используя правило умножения блочной матрицы  на квазидиагональную, произведем умножение матриц в левой и правой частях уравнения (6). Тогда это уравнение распадается на uv матричных уравнений

    [ ] = [ ]

         ( = 1, 2, …, u; = 1, 2, …, v)            

    которые перепишем еще так:

        = -   ( = 1, 2, …, u; = 1, 2, …, v)    (7)    

       при этом мы ввели сокращенные обозначения

     = , =       ( = 1, 2, …, u; = 1, 2, …, v)         (8)

    Возьмем какое-нибудь из уравнений (7). Могут  представиться два случая:

    1. . Проитерируем r-1 раз равенство (7), т.е. обе части равенства (7) умножаем на ( ) и в каждом члене правой части заменяем ( ) на . Этот процесс повторяем r-1 раз. Получим:

    ( ) = .             (9)

    Заметим, что в силу (8)

     .       (10)

    Если  в (9) взять  , то в каждом члене суммы, стоящей в правой части равенства (9), выполняется по крайней мере одно из соотношений

     ,  ,

    и потому в силу (10) либо =0 , либо =0 . Так как, кроме того, в рассматриваемом случае , то из (9) находим:

     =0.

1. . В этом случае уравнение (7) принимает вид

     =

    В матрицах и элементы первой наддиагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Учитывая эту специфичную структуру матриц и и полагая

     =   (i = 1, 2, …, ; k=1, 2, …, ),

    мы заменим матричное уравнение (12) следующей эквивалентной ему системой скалярных соотношений:

      (i = 1, 2, …, ; k=1, 2, …, ).      (13)

    Следует заметить, что из структуры матриц и следует, что произведение получается из сдвигом всех строк на одно место вверх и заполнением последней строки нулями. Аналогично получается из сдвигом всех столбцов на одно место вправо и заполнением первого столбца нулями.

    Равенства (13) означают:

1. В матрице на каждой линии, параллельной главной диагонали, стоят равные между собой элементы,
2.            

    Пусть . В этом случае – квадратная матрица. Из 1), 2) следует, что в матрице все элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, все элементы, главной диагонали равны некоторому числу , все элементы первой наддиагонали равны некоторому числу и т. д., т. е.

    

    Здесь , , – произвольные параметры (уравнения (12) не накладывают никаких ограничений на значения этих параметров).

    Легко видеть, что при

     = ,              (15) 

    А при

     = .    (16) 

    Про матрицы (14), (15) и (16) мы будем говорить, что они имеют правильную верхнюю треугольную форму. Число произвольных параметров в равно наименьшему из чисел и . Приведенная ниже схема показывает структуру матрицы при (произвольные параметры здесь обозначены через a, b, c, d):

     Для того, чтобы при подсчете произвольных параметров в матрице охватить и случай 1, обозначим через наибольший общий делитель элементарных делителей и , а через – степень многочлена ( 2, …, u; , 2, …, v). В случае 1 =0; в случае 2 имеем: =min ( ). Таким образом, в обоих случаях число произвольных параметров в будет равно . Число произвольных параметров в определяется формулой

     .

    В дальнейшем нам удобно будет общее  уравнение (6) обозначить через  (до сих пор мы это решение обозначали буквой ).

    Полученные  в этой главе результаты можно  сформулировать в виде следующей  теоремы:

    Теорема 1. Общее решение матричного уравнения

                                  AX = BX,

    где

     = =U{ , …, } ,

     = =V{ , …, } ,

    задается  формулой

                                       .    (17)

    Здесь - общее решение уравнения = - имеет следующую структуру: разбивается на блоки

     = ( )}   ( = 1, 2, …, u; = 1, 2, …, v);        

    если  , то на месте стоит нулевая матрица, если же , то на месте стоит произвольная правильная верхняя треугольная матрица.

     , а следовательно, и X зависят линейно от N произвольных параметров , , …, :

     ,    (18)

    где N определяется формулой

        (19)

    [здесь обозначает степень наибольшего общего делителя и ].

    Заметим, что матрицы  , , …, , фигурирующие в формуле (18), суть решения исходного уравнения (1) матрица получается из X, если параметру дать значение единицы, а остальным параметрам нулевые значения; j = (1, 2, …, N). Эти решения линейно независимы, так как в противном случае при некоторых значениях параметров , , …, , не равных одновременно нулю, матрица X, а следовательно, и равнялись бы нулю, что невозможно. Таким образом, равенство (19) показывает, что любое решение исходного уравнения представляет собой линейную комбинацию N линейно независимых решений.

    Если  матрицы A и B не имеют общих характеристических чисел (характеристические многочлены и взаимно просты), то = 0 и, следовательно, X = 0, т.е. в этом случае уравнение (1) имеет только тривиальное нулевое решение X = 0.

    Замечание. Пусть элементы матриц A и B принадлежат некоторому числовому полю К. Тогда нельзя утверждать, что элементы матриц U, V, , фигурирующих в формуле (17), также принадлежат полю К. Элементы этих матриц можно выбрать в расширенном поле , которое получается из поля К путем приобщения к последнему корней характеристических уравнений = 0 и = 0. С такого рода расширением основного поля всегда приходится иметь дело, когда пользуются приведением заданных матриц к нормальной жордановой форме.

    Однако  матричное уравнение (1) эквивалентно системе mn линейных однородных уравнений, где неизвестными служат элементы (j = 1, 2, …, m; k = 1, 2, …, n) искомой матрицы X: