Матричное уравнение AX+XB=C

     =    (i = 1, 2, …, m; k = 1, 2, …, n). (20)

    Нами  доказано, что эта система имеет  N линейно независимых решений, где N определяется формулой (19). Но известно, что базисные линейно независимые решения можно выбрать в основном поле К, которому принадлежат коэффициенты уравнений (20). Таким образом, в формуле (18) матрицы , , …, можно выбрать так, чтобы их элементы принадлежали полю К. Тогда, придавая в формуле (18) произвольным параметрам всевозможные значения из поля К, мы получим все матрицы X с элементами из К, удовлетворяющие уравнению (1). Стоит заметить, что матрицы и определяют линейный оператор в пространстве прямоугольных матриц Х с размером m n.

    1.2 Уравнение AX – XB = C

    Пусть дано матричное уравнение 

                                     AX – XB = C,         (21)

    где , - заданные квадратные матрицы порядков m и n, C= - заданная, а X= - искомая прямоугольная матрицы размером m×n. Уравнение (21) эквивалентно системе mn скалярных уравнений относительно элементов матрицы X:

      (i = 1, 2, …, m; k = 1, 2, …, n).    

    Соответствующая однородная система уравнений 

        (i = 1, 2, …, m; k = 1, 2, …, n)

    в матричном виде записывается так:

                                        AX – XB = 0.     (22)     

    Таким образом, если уравнение (22) имеет только нулевое решение, то уравнение (21) имеет  одно-единственное решение. Но в ранее было установлено, что уравнение (22) имеет только нулевое решение тогда и только тогда, когда матрицы A и В не имеют общих характеристических чисел, то уравнение (21) имеет одно и только одно решение; если же матрицы А и В имеют общие характеристические числа, то в зависимости от «свободного члена» C могут представиться два случая: либо уравнение (21) противоречиво, либо оно имеет бесчисленное множество решений, задаваемых формулой

     = ,

    где - фиксированное частное решение уравнения (21), - общее решение однородного уравнения (21), структура которого была выяснена в 1.1 [6, с. 213]  

    1.3 Полное исследование решения матричного уравнения AX – XB = C (при условии существования и единственности решения матричного уравнения AX – XB = C дается конечное выражение для X).

    Как выяснилось из 1.1, необходимым и достаточным условием существования и единственности решения уравнения

    АХ  — ХВ = С     (23)

является  отсутствие у А и В общих собственных чисел.

    Лемма. Если имеет место (23), то для целого положительного п справедливо соотношение

     ,     (24)

    если  выполнено хотя бы одно из следующих  условий:

    а) характеристика основного поля = 0 или больше п — 1;

    б) одна из матриц А или В обратима.

    Доказательство. а) Равенство (24) можно переписать также в виде

     .     (24')

    Докажем соотношение (23) методом индукции.

    1.) При п = 1 оно выполнено: АХ — ХВ = С.

    2.) Пусть теперь (23) имеет место для всех т <Z п. Тогда при всех т < п справедливы равенства

     ,

    (25)

     .

    Сложив  их, получим, что

           =(n-1) .

    б) Пусть матрица А обратима (доказательство, использующее обратимость матрицы В, проводится аналогично). Тогда

     ,

     ,

    ……………………………

     .

    Умножив обе части последнего равенства  на , получим (24). Введем обозначение

          (26)

    и положим  = 0 (это соответствует тому, что А°Х — ХВ° = ). 

    Теорема. 1) Если р (t) = — многочлен над основным полем, аннулирующий А, и выполняются условия леммы, то

    -Хр (В) = .     (27)

    2) Если р (t) = -  многочлен над основным полем, аннулирующий В, и выполняются условия леммы, то

    р(А)Х = .    (28)

    Доказательство. Сложив равенства

     ,

    …………………………

    

    

      получим, что

    Р(А)Х- ХР (В) =

    Следствие. Если матрицы А и В не имеют общих собственных чисел и (t) — характеристический многочлен матрицы А, то решение уравнения (23) имеет вид

    X = - ( )( (В)) .

    Доказательство. Если А и В не имеют общих собственных чисел, то А или В обратимы. Полагая в соотношении (27) р (t) = (t), получим

                            - Хр (В) = ,

    где р (В) — обратимая матрица.

    Заметим, что при выполнении условий теоремы  всякое решение уравнения (23) является решением уравнения (27) или (28), т. е. решения не теряются. [4, с. 49-51]

 

     2. Математическое  описание балансовой  модели

    Рассмотрим  применение матричного уравнения на одной из балансовых моделей экономики.

    Балансовая модель производства является одной из наиболее простых моделей. Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает с одной стороны как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель своей, и произведенной другими отраслями продукции. [2, с. 34]

    Пусть весь производственный сектор народного  хозяйства разбит на n чистых отраслей (т. е. продукция каждой из этих отраслей предполагается однородной). Предположим, что каждая отрасль выпускает продукт только  одного типа и разные отрасли выпускают разные продукты. Таким образом, в рассматриваемой нами производственно-экономической системе выпускается n видов продуктов. В процессе производства своего вида продуктов каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей.

    Допустим  также, что в некоторый момент времени, скажем, в году , составлен отчет по народному хозяйству по итоговым данным за фиксированный период времени (например, за прошедший год).

    Таблица 1. Балансовая модель.

    Число от 1 до n означают номера отраслей. Величина показывает объем продукции отрасли с номером i, израсходованной отраслью j в процессе производства за отчетный период. Число равно общему объему продукции (валовому выпуску) j-ой отрасли за тот же период.

    Числа  показывают распределение продукции отрасли i на производственные нужды других отраслей.

    Единицы измерения всех указанных величин могут быть либо натуральными, либо стоимостными, в зависимости от чего различают натуральный и стоимостный межотраслевой баланс.

    Если  все элементы j-го столбца таблицы разделить на величину , то число можно понимать как объем продукции i-ой отрасли, необходимый для производства одной единицы продукта с номером j.

    Числа в некотором смысле полностью характеризуют технологию j-ой отрасли в отчетный период: при данной структуре затрат и их объеме оказался возможным выпуск единицы продукции. Числа носят название коэффициентов прямых затрат отрасли с номером j. [3, c. 23-25]

    Матрица A = ( ) несет много информации о сложившейся структуре межотраслевых связей, о существующей технологии общественного производства, т.е матрица технологических коэффициентов отражает производственные возможности общества. Сравнивая такие матрицы, составленные в достаточно разнесенные моменты времени, можно проследить направления изменения и развития технологии.  Интересные возможности открываются в связи с идеей использования различных модификаций и методов в прогнозировании производства на основе модели межотраслевого баланса. [1, c. 60]

    Сделаем два важных предположение. Первое из них состоит в том, что мы будем считать сложившуюся технологию производства неизменной в течение некоторого промежутка времени [ , T], где Т > . В зависимости от постановки задачи промежуток [ , T] может быть равен одному календарному периоду (скажем, году) или нескольким.

    Второе  предположение состоит в постулировании свойства линейности существующей технологии. Будем считать, что для осуществления  объема валового выпуска продукции отрасли j необходимо и достаточно произвести затраты в объемах , i = 1, 2, …, n, продукции всех отраслей. Так, требование линейности означает, что каждая отрасль способна произвести любой объём своей продукции при условии, что ей будет обеспечено сырьё в необходимом количестве. [9, c. 78-79]