Математические модели

Третий этап — выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена — все параметры её были заданы, — то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвёртый этап — последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники, данные об изучаемых явлениях, всё более и более уточняются, и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей математической модели, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необходимость построения новой, более совершенной математической модели. Математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в -образном сосуде, изменение силы тока в колебательном контуре или колебания популяций биологических видов. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений.

Существует два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются известными, и нам остается только исследовать ее поведение. Например, определение частоты колебаний гармонического осциллятора при известном значении параметра - прямая задача математического моделирования. Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны (например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя поведение реальной системы с ее моделью. Еще одна обратная задача: подобрать параметры модели таким образом, чтобы она удовлетворяла каким-то заданным условиям — такие задачи требуется решать при проектировании систем.

1.3. Основные требования моделей

Сформулируем требования, предъявляемые к моделям.

Первым требованием является ингерентность модели, то есть достаточная степень согласованности создаваемой модели со средой, чтобы создаваемая модель была согласована со средой, в которой ей предстоит функционировать, входила бы в эту среду не как чужеродный элемент, а как естественная составная часть. Средой прагматических моделей является реальный мир, тогда как для познавательных моделей, как правило, требуется согласование с более общими моделями, теориями и парадигмами.

Ингерентность прагматических моделей состоит еще и в том, что в них должны быть предусмотрены не только «стыковочные узлы» со средой («интерфейсы»), но, и, что не менее важно, в самой среде должны быть созданы предпосылки, обеспечивающие функционирование будущей системы. То есть не только модель должна приспосабливаться к среде, но и среду необходимо приспосабливать к будущей системе.

Второе требование – простота модели. Простота модели – ее неизбежное свойство: в модели невозможно зафиксировать все многообразие реальных ситуаций. Простота прагматической модели неизбежна из-за необходимости оперирования с ней, использования ее как рабочего инструмента, который должен быть обозрим и понятен, доступен каждому, кто будет участвовать в реализации модели.

Существует еще один, довольно интересный и непонятный пока аспект требования простоты модели, который заключается в том, что чем проще модель, тем она ближе к моделируемой реальности и тем удобнее для использования. Классический пример – геоцентрическая модель Птолемея и гелиоцентрическая модель Коперника.

Обе модели позволяют с достаточной точностью вычислять движение планет, предсказывать затмения солнца и т.п. Но модель Коперника истинна и намного проще для использования, чем модель Птолемея. Ведь недаром древние подметили, что простота – печать истины. У физиков, математиков есть довольно интересный критерий оценки решения задач: если уравнение и/или его решение простое и «красивое» – то оно, скорее всего, истинно.

Можно привести и такой пример. В книге нобелевского лауреата Г.Саймона рассматривается следующая ситуация. Предположим, что мы наблюдаем за тем, как муравей движется по песку из одной точки в другую. Целью муравья может быть стремление минимизировать затраты своей энергии, поэтому он огибает горки песка. Его «целевая функция» характеризует зависимость затрат энергии, которые он хочет минимизировать, от рельефа (внешней среды), и от его траектории (действия). Пусть мы наблюдаем только

проекцию на горизонтальную плоскость траектории муравья. Если рельеф, по которому двигался муравей, неизвестен, то объяснить поведение муравья (сложную, петляющую траекторию) довольно непросто, и придется строить весьма хитроумные модели. Но если «угадать», что цель муравья проста, и включить в модель «рельеф», то все существенно упростится. По аналогии Г.Саймон выдвигает гипотезу, что наблюдаемое разнообразие и сложность поведения людей объясняются не сложностью принципов принятия ими решений (выбора действий), которые сами по себе просты, а разнообразием ситуаций (состояний внешней среды), в которых принимаются решения. С этим мнением вполне можно согласиться. Вопрос только в том, как найти эти простые принципы? В этой связи можно высказать (фантастическую) гипотезу об эволюции законов природы, в результате которой «отбираются» наиболее эффективные из них (т.е. имеющие наиболее простой вид при заданной функциональности).

Однако, такая «сложная» простота модели, сохраняющая ее познавательную ценность, достигается лишь на базе развитой методологии моделирования, высокой квалификации и искусности исследователя.

Наконец, третье требование, предъявляемое к модели – ее адекватность. Адекватность модели означает возможность с ее помощью достичь поставленной цели моделирования в соответствии со сформулированными критериями. Адекватность модели означает, в частности, что она достаточно полна, точна и устойчива. Достаточно не вообще, а именно в той мере, которая позволяет достичь поставленной цели. Иногда удается (и это желательно) ввести некоторую меру адекватности модели, то есть определить способ сравнения разных моделей по степени успешности достижения цели с их помощью.

1.4. Способы использования математических моделей в задачах управления

Вплоть до недавнего времени математические модели использовались в практике управления только как источник входных данных для систем управления. С начала XIX в. они и применялись в задачах управления (навигации) как источник "опорных данных" для ведения процесса. Типичным примером такой задачи управления служит наведение телескопа на небесный объект. Моделирование технических систем на этапе проектирования для оптимизации их структуры и параметров продолжает эту традицию.

Но развитие техники (прежде всего - появление компьютерных технологий) во многих дисциплинарных областях сделало возможным непосредственное включение моделей в "работающие системы". Необходимые для работы данные в этом случае считаются в режиме реального времени (on-line) на основе динамической модели. Это относится не только к полетам космических кораблей. В мультимедийных астрономических программах Redshift виртуальная картина неба на экране монитора, наблюдаемая с любого небесного тела в любой момент исторического времени, вычисляется on-line посредством решения модельной задачи двух тел или численного интегрирования законов движения.

Вообще говоря, каждый из двух рассмотренных выше типов моделей имеет свои традиционные области применения. В практике управления отдельными технологическими процессами широко используются феноменологические модели. Простые по структуре, такие модели (обычно при числе переменных менее 10) достаточно хорошо отражают истинное поведение объекта в окрестности отдельных "режимов работы". В задачах управления, где цель управления часто состоит в компенсации возмущающих воздействий, уводящих процесс от желаемой рабочей точки, это вполне допустимо.

Во многих других задачах принципиально применимы только системные модели. Во многих случаях модель может входить в систему управления в форме блока, вычисляющего выходы некоторого объекта по ее входам. Часто в этом случае речь идет о развитии так называемого имитационного моделирования - динамическом моделировании объекта. Динамическое моделирование характерно для различных задач реального времени, прежде всего, для компьютерных тренажеров.

Так, в процессе тренажерного обучения действия оператора интерпретируются как входы модели системы (технологической, транспортной и т.п.), а выходы модели преобразуются в аудио-визуальный образ реакций системы на действия оператора. Такое моделирование осуществляется в реальном времени, что позволяет использовать его результаты в различных технологиях реального времени (от обнаружения неисправностей до интерактивного тренинга операторов).

Особую область моделирования представляет собой создание "виртуальной реальности". Компьютерные игры, один из стабильно развивающихся секторов компьютерного рынка, стали мощным поставщиком идей и потребителем методов моделирования.

1.5. Задача. Математическая модель

В задаче по аналитической геометрии необходимо создать приложение для нахождения расстояния от данной точки до ближайшей стороны заданного треугольника. Для этого нужно рассмотреть уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные координатами (х1, у1) и (х2, у2) в общем виде

Ax + By + C=0,                                                                                                                                     (1)

А= у2 - у1,                                                                                                                                                   (2)

В= х1 - х2,                                                                                                                                                    (3)

С= - х1∙ (у2 - у1) + у1∙ (х2 - х1).                                                                                                        (4)

Расстояние от точки, заданной координатами (х4, у4), до прямой, заданной уравнением (1), может быть определено так

d = .                                                                                                                       (5)

В задаче задаются вершины треугольника (х1, у1), (х2, у2), (х3, у3) значит формулу (5) нужно применить, для нахождения расстояния к трем сторонам треугольника. А затем определить наименьшее из значений, что и будет искомым расстоянием.

Пусть стороны треугольника обозначим a,b,c. Найдем параметры уравнений сторон треугольника по формулам (2), (3), (4).

Для стороны а: a1=y2-y1; b1=x1-x2; c1= (-x1) ∙ (y2-y1) +y1∙ (x2-x1).

Для стороны b: a2=y3-y2; b2=x2-x3; c2= (-x2) ∙ (y3-y2) +y2∙ (x3-x2).

Для стороны c: a3=y1-y3; b1=x3-x1; c3= (-x3) ∙ (y1-y3) +y3∙ (x1-x3).

Расстояние от точки, заданной координатами (х4, у4), до сторон треугольника a, b, c может быть определено по формуле (5)

d1 =;

d2 =;

d3 =.

Определим систему ограничений для решения данной задачи. Если рассмотреть на формулу (5) нахождения расстояния от точки, заданной координатами (х4, у4), до прямой, заданной уравнением (1), то необходимым и достаточным условием существования выражения является неравенство

≠ 0.                                                                                                                                     (6)

Таким образом, применяя формулу (6) для решения задачи запишем систему ограничений

.                                                                                                                       (7)

По условию задачи исходными данными являются координаты вершин треугольника, поэтому систему ограничений для данной задачи дополним условием существования треугольника

.                                                                                                                                     (8)

Определим длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками

d=.                                                                                                        (9)

Для треугольника со сторонами a,b,c формула (9) имеет вид