Математические методы

 

Содержание

Аннотация………………………………………………………………………………3

Введение………………………………………………………………………………..4

Глава 1. Теоретическая часть………………………………………………………….6

1.1 История возникновения линейного программирования………………………6-8

1.2 Основные теоремы линейного программирования………………………………9

1.3 Основные понятия линейного программирования………………………….10-11

1.4 Методы решения задач линейного программирования..................................12-16

1.5 Алгоритм симплексного метода……………………………………………...17-18

1.6 Реализация симплексного метода.........................................................................19

Глава 2. Практическая часть……………………………………………………...20-27

2.1 Решение задачи линейного программирования симплексным методом......20-24

2.2 Решение задачи линейного программирования с помощью электронных таблиц………………………………………………………………………………….25

2.3 Решение задачи линейного программирования с помощью программы......26-27

Заключение…………………………………………………………………………….28

Список литературы……………………………………………………………………29

Приложение. Код программы…………………………………………………….30-38

 

Аннотация

Пояснительная записка к  курсовой работе по математическим методам  на тему «Реализация симплекс-метода в случае произвольных случайных  членов».

В курсовой работе содержится 37 листов, и рассматриваются такие  вопросы как «Алгоритм симплексного метода». Также данная курсовая содержит практическую часть, где порешена задача симплексным методом и с помощью  электронных таблиц Excel.

 

Введение

В последние годы в прикладной математике большое внимание уделяется  новому классу задач оптимизации, заключающихся  в нахождении в заданной области  точек наибольшего или наименьшего  значения некоторой функции, зависящей  от большого числа переменных. Это  так называемые задачи математического  программирования, возникающие в  самых разнообразных областях человеческой деятельности и прежде всего в  экономических исследованиях, в  практике планирования и организации  производства. Изучение этого круга  задач и методов их решения  привело к созданию новой научной  дисциплины, получившей позднее название линейного программирования. В конце 40-х годов американским математиком  Дж. Данцигом был разработан эффективный  метод решения данного класса задач – симплекс-метод. К задачам, решаемых этим методом в рамках математического  программирования относятся такие  типичные экономические задачи как  «Определение наилучшего состава смеси», «Задача об оптимальном плане  выпуска продукции», «Оптимизация межотраслевых  потоков», « Задача о выборе производственной программы», «Транспортная задача», «Задача размещения», «Модель Неймана  расширяющейся экономики» и другие. Решение таких задач дает большие  выгоды как народному хозяйству  в целом, так и отдельным его  отраслям.

Решение задач математического  программирования при помощи симплекс-метода традиционными способами требует  затрат большого количества времени. В  связи с бурным развитием компьютерной техники в последние десятилетия  естественно было ожидать, что вычислительная мощность современных ЭВМ будет  применена для решения указанного круга задач.

Линейное программирование наука о методах исследования и отыскания экстремальных значений линейной функции, на параметры которой  наложены линейные ограничения.

Симплекс-метод. Этот один из первых специализированных методов  оптимизации, нацеленный на решение  задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут  быть применены для  решения практически  любой задачи оптимизации. Он был  предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Симплекс-метод состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 История возникновения линейного программирования

Временем рождения линейного  программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра  Леонида Витальевича Канторовича "Математические методы организации  и планирования производства". Поскольку  методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти  не замеченной.

Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение  линейным программированием, вызвавшее  в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и  американец профессор Т.Купманс  получили Нобелевскую премию по экономическим  наукам за "вклад в разработку теории и оптимального использования  ресурсов в экономике".

Эти премии получили свое название в честь их учредителя - известного химика и изобретателя Альфреда Нобеля, они должны были присуждаться за научные  открытия в области физики, химии, физиологии или медицины, за литературные произведения, "отражающие человеческие идеалы", а так же тем, кто "внесет весомый вклад в сплочение  народов, уничтожение рабства, снижение численности существующих армий  и содействие мирной договоренности". Математикам премия не предназначалась. Однако в 1969 году Шведский банк по случаю 300-летия со дня своего образования  учредил премию памяти А.Нобеля - по экономическим наукам. Она то и  была присуждена в 1975 году Л.В.Канторовичу  и Т.Купмансу за создание новой математической науки (получившей название линейного  программирования) и применение этой теории в экономике.

В автобиографии, представленной в Нобелевский комитет, Леонид Витальевич Канторович рассказывает о событиях, случившихся в 1939 году. К нему, 26-летнему  профессору-математику, обратились за консультацией сотрудники лаборатории  планерного треста, которым нужно  было решить задачу о наиболее выгодном распределении материала между  станками. Эта задача сводилась к  нахождению максимума линейной функции, заданной на многограннике. Максимум такой  функции достигался в вершине, однако число вершин в этой задаче достигало  миллиарда… Поэтому простой перебор  вершин не годился. Леонид Витальевич писал: "оказалось, что эта задача не является случайной. Я обнаружил  большое число разнообразных  по содержанию задач, имеющих аналогичный  математический характер: наилучшее  использование посевных площадей, выбор  загрузки оборудования, рациональный раскрой материала, распределение  транспортных грузопотоков… Это  настойчиво побудило меня к поиску эффективного метода их решения". И  уже летом 1939 года была сдана в  набор книга Л.В.Канторовича "Математические методы организации и планирования производства", в которой закладывались  основания того, что ныне называется математической экономикой.

Но вернемся в 1939 год. Говорят, что истина рождается ересью и  увы, так случилось и с идеями Л.В.Канторовича в области экономики. Они не встретили понимания в  момент их зарождения, были объявлены  ересью, и его работа была прервана.

Концепции Леонида Витальевича  вскоре после войны были переоткрыты  на западе. Американский экономист  Т.Купманс в течении многих лет  привлекал внимание математиков  к ряду задач, связанных с военной  тематикой. Он активно способствовал  тому, чтобы был организован математический коллектив для разработки этих проблем. В итоге было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными  неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.

Американский математик  А.Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный  конкретный метод численного решения  задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в  течении пяти шести лет получили грандиозное распространение в  мире, и имена Купманса и Данцига  стали повсюду широко известны.

Примерно в это время  Купманс узнал, что еще до войны  в далекой России уже было сделано  нечто похожее на разработку начал  линейного программирования. Как  легко было бы Данцигу и Купмансу проигнорировать эту информацию! Маленькая книжица, изданная ничтожным  тиражом, обращенная даже не а экономистам, а к организаторам производства, с минимумом математики, без четко  описанных алгоритмов, без доказательств  теорем - словом, стоит ли принимать  такую книжку во внимание… Но Купманс  настаивает на переводе и издании  на западе книги Канторовича. Его  имя и идеи становятся известны всем. Воздадим должное благородству американского  ученого!

А самому Леониду Витальевичу - как естественно было бы ему, испытав  первые грозные удары ретроградов, остеречься от "грехов" молодости, забыть про всю эту экономику  и вернуться к математике. Но Л.В.Канторович продолжает писать математические работы, навеянные экономическими идеями, участвует  и в конкретных разработках на производстве. При этом (одновременно с Данцигом, но не зная его работ) он разрабатывает метод, позже названный  симплекс-методом. Как только в 50-е  годы образуется маленький просвет  и кое что из запретного становится возможным, он организует группу студентов  на экономическом факультете ЛГУ  для обучения методам оптимального планирования. А начиная с 1960 года Леонид Витальевич занимается только экономической и связанной с  нею математической проблемами. Его  вклад в этой области был отмечен  Ленинской премией в 1965 году (присуждена ему совместно с В.С.Немчиновым и В.В.Новожиловым) и, как уже говорилось, Нобелевской премией в 1975 году.

 

 

 

 

 

1.2 Основные теоремы линейного программирования

Теорема 1: Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования,  является выпуклым.

Теорема 2: Если существует, и при том единственное,  оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из угловых точек множества допустимых решений. Если линейная форма принимает минимальное (максимальное) значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Из теоремы 2 следует, что  поиски оптимального решения можно  ограничить перебором конечного  числа угловых точек (их  число меньше   , где n -  число неизвестных , а m – число ограничений), однако построение возможно только для двух и трёхмерных пространств, поэтому нужны аналитические методы, позволяющие находить координаты угловых точек. 

Теорема 3: Если известно, что система векторов   в разложении   линейно независима и такова, что  , где    , то точка   является угловой точкой многогранника решений.

Теорема 4: Если   - угловая точка многогранника решений, то векторы  в разложении  , соответствующие положительным , являются линейно независимыми.

Следствие 1: Так как векторы  имеют размерность m, то угловая точка многогранника решений имеет не более m  положительных компонент  .

Следствие 2: Каждой угловой точке многогранника решений соответствует    линейно независимых векторов системы векторов  .

 

 

 

1.3 Основные понятия линейного программирования

Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений  в виде линейных уравнений или  линейных неравенств относятся к  задачам линейного программирования.

Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования. Это объясняется следующим:

• математические модели очень большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;
• эти типы задач в настоящее время наиболее изучены;
• для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на ЭВМ;
• многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;
• некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Итак, Линейное программирование – это направление математического  программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые  характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие  ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего  или наименьшего значения некоторой  функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы  и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное  множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе  ограничений, называется допустимым планомзадачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой  определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором  достигается максимум или минимум  функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями  производства. Задачей линейного  программирования (ЗЛП) является выбор  из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).