Математические чудеса и тайны

     В какой руке монета?

     Вот старинный фокус, в котором используется числовое значение монеты. Попросите кого-нибудь взять в один кулак гривенник, а в другой — копейку. Затем предложите умножить числовое значение монеты, лежащей в правом кулаке, на восемь (или любое другое четное число), а числовое значение другой монеты на пять (или любое нечетное число, какое вам захочется). Сложив эти два числа, зритель должен сказать вам, четное или нечетное число получилось. После этого вы говорите ему, какая монета у него в какой руке.

     Объяснение. Если сумма четная, то в правой руке — копейка; если нечетная — гривенник. 

3. Фокусы  с исчезновением  фигур

     Рассмотрим  геометрические парадоксы. Все они начинаются с разрезания фигуры на куски и заканчиваются составлением из этих кусков новой фигуры. При этом создается впечатление, что часть первоначальной фигуры (это может быть часть площади фигуры или один из нескольких изображенных на ней рисунков) бесследно исчезла. Когда же куски возвращаются на свои первоначальные места, исчезнувшая часть площади или рисунок таинственным образом возникают вновь. Геометрический характер этих любопытных исчезновений и появлений оправдывает причисление этих парадоксов к разряду математических головоломок.

     Перейдем  к описанию способов, при помощи которых парадокс с линиями можно  сделать более интересным и занимательным. Этого можно, например, достигнуть, заменив исчезновение и появление линий таким же исчезновением и появлением плоских фигур. Здесь особенно подойдут изображения карандашей, папирос, кирпичей, шляп с высокой тульей, стаканов с водой и других вертикально протяженных предметов, характер изображения которых до и после сдвига остается одинаковым. При некоторой художественной изобретательности можно брать и более сложные предметы.

     Посмотрите, например, на исчезающее лицо на рис. 1.

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     При сдвиге нижней полосы на верхней части  рисунка влево все шляпы остаются незатронутыми, однако одно лицо полностью  исчезает! (см. нижнюю часть рисунка). Бессмысленно спрашивать, какое именно лицо, так как при сдвиге четыре лица разделяются на две части. Эти части затем перераспределяются, причем каждое лицо получает несколько добавочных черт: одно, например, более длинный нос, другое — более вытянутый подбородок и т.д. Однако эти маленькие перераспределения остроумно скрыты, а исчезновение всего лица, конечно, поражает гораздо сильнее, чем исчезновение кусочка линии. 

4. Фокусы  с обычными числами.

       Рассмотрим фокусы с числами, для демонстрации которых не нужно никаких вспомогательных средств, за исключением карандаша и бумаги или, может быть, доски и куска мела. Фокусы подобного рода можно разбить на три основные категории: мгновенные устные вычисления, предсказания и номера с чтением мыслей.

• Число-загадка.

     Попросите зрителя написать любое трехзначное  число, но только такое, чтобы крайние  цифры отличались друг от друга на число, которое укажет фокусник. Пусть  затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится  еще одно число. Далее предложите зрителю вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и фокусник может всегда сказать наперед, каким будет частное от деления этой разности на 9.

     Частное же равняется указанной  фокусником разности между крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если сначала взять число 845, то 845-548=279; 279/9=33=11·(8-5).

     Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное число  можно представить в виде 100a+10b+с, тогда число с переставленными цифрами будет равно 100c+10b+a.

     Вычитая второе из первого  и деля его на 9, имеем:

     100a+10b+с-(100c+10b+a)/9=99(a-c)/9=11(a-c)

• Фокус с запиской.

     Напишите  на бумажке число 1089, вложите бумажку  в конверт и запечатайте его. Затем предложите кому-нибудь написать на этом конверте любое трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние числа, и получившееся число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к удивлению, и есть полученное им число.

     Секрет  этого фокуса заключается в том, что разность между любым трехзначным числом, полученным из него перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. (см. предыдущий фокус). Так как крайние цифры отличаются  более чем на единицу, то эта разность обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее 100k+10l+m.

     Имеем: 100k+10l+m=99k+(10l+m+k).

     Так как разность делится  на 99, то это равенство  показывает, что обязательно: 10l+m+k=99, откуда вытекает, что l=9, m+k=9. Число с переставленными крайними цифрами имеет вид 100k+10l+k, и сумма равняется: 100k+10l+m+100m+10l+k=100(k+m)+20l+(m+k)=100·9+20·9+9=1089. 

• «Сколько братьев и сестер…»

Вы сможете  угадать, сколько братьев, сестер, дедушек и бабушек у вашего приятеля, после того как он выполнит несколько арифметических действий на калькуляторе!

Допустим,  у  вашего приятеля:  братьев   —  4; сестер — 3; бабушек и дедушек  — 2.

Предложите  приятелю:

Набрать на калькуляторе цифру, соответствующую количеству братьев– 4

Умножить это число на 2.             4´2=8

Прибавить к произведению 3                 8  +   3=11

Умножить  полученную сумму на 5.        11 ´ 5 = 55

4.Прибавить  к результату сестер.           55 + 3 = 58

5. Умножить  полученную сумму на 10         58 ´ 10 = 580

6.  Прибавить  бабушек и дедушек.                    580  + 2 = 582

7. И,  наконец, прибавить 125.                         582 + 125 = 707 

Закончив  вычисления, попросите у приятеля калькулятор с результатом на табло. Вычтите из него 275, и на табло  чудесным образом появится количество братьев, сестер и бабушек с дедушками!

Для нашего примера 707 – 275 = братья ® 432 ¬ бабушки и дедушки

                                      ­

                                    сестры

Исключения:

1. Если  после вычитания числа 275 на  табло появится двузначное число, значит, у вашего приятеля нет братьев.

Пример 12 = 012; следовательно, число братьев равно 0.

2.Если  после вычитания числа 275 на  табло явится, лишь одна цифра, значит, у вашего приятеля нет ни братьев, ни сестер.

Пример 2 = 002;

Следовательно, число братьев равно нулю и  число сестер также равно нулю. 

• Фокус с книгой.

Попросите приятеля открыть книгу и загадать какое-либо слово на любой странице. Совершив магические действия, вы без  труда найдете это тайное слово  из тысячи слов этой книги.

Предложите  приятелю выбрать любую страницу в книге и записать номер страницы, не показывая вам. (Стр.47). Пусть он выберет любую из первых девяти строк на этой странице, и запишет номер строки (строка 8). Попросите его в этой строке выбрать любое слово из первых девяти слов, и записать его номер от начала строки и само слово. (Слово 3: МАГИЯ). Дайте ему калькулятор, и попросите его выполнить следующие действия: 

 

Узнайте у приятеля окончательный результат. Стоит лишь вычесть из него 250 и вы назовете номер страницы, номер строки и место загадочного слова от начала строки. 5033 – 250 = 4783. 47 – страница, 8 – строка, 3 – слово. Найдите эту страницу в книге, отсчитайте столько строк и слов в этой строке и вы обнаружите загадочное слово МАГИЯ.

 Исключения:

1. Если друг выбрал страницу  с однозначным номером, то последнее  число будет состоять из 3 цифр.

Пример.      

2. если будет выбрана страница  с трехзначным номером, последнее  число будет состоять из пяти цифр.

 Пример.    

Объяснение  фокуса. а – номер страницы, b –  номер строки, с – номер слова.

Действия. 1. а;  2. 2а; 3. 10а; 4. 10а + 20; 5. 10а + 20 + b;  6. 10а + 25 + b; 

7. 100а  + 250 + 10b;  8. 100а + 250 + 10b + с – 250 = 100а + 10b + с. Это стандартный вид трехзначного числа. 
 
 
 

2.5  Фокусы с уравнениями. 

     В книге Я.И. Перельмана в главе  «язык алгебры» есть глава «искусство отгадывать числа». Здесь автор раскрывает секрет фокуса, который очень прост, и в основе его лежат все те же уравнения. Пусть фокусник предлагает вам выполнить программу действий. Затем он просит вас сообщить окончательный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает? Чтобы понять это, достаточно все команды перевести на язык алгебры.

      

     Из  первой колонки видно, что если вы задумали х, то после всех команд у вас должно получиться 4 х+1. Зная это, нетрудно отгадать задуманное число. Пусть зритель задумал число 12, то после всех выполненных команд он получает число 49. Фокусник мысленно решает простое уравнение:4 х+1=49;  От результата вычитает 1 и делит полученное число на 4. После сообщает вам, что вы задумали 12.(х=(49-1)/4=12). Как видно все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число.  Вам предлагается несколько вариантов этих фокусов.