Математические чудеса и тайны

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение  
средняя общеобразовательная школа №91

с углубленным  изучением отдельных предметов

Ленинского  района г.Н.Новгорода 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Научное общество учащихся

«Математические чудеса и тайны». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила ученица

5Б  класса Винник Влада 

Научный руководитель

учитель математики

Ефимова Е.В. 
 
 
 
 
 
 

Нижний  Новгород

2012г.

Содержание:

1. Введение………………………………………………………..3
2. Математические тайны и чудеса
1. Что такое математический фокус?.....................................4
2. Фокусы с мелкими предметами……………………….….5
3. Фокусы с исчезновением фигур………………………….8
4. Фокусы с обычными числами………………………..…10
5. Фокусы с уравнениями…………………..………………13
6. Математический фокус Дэвида Копперфильда……….16
3. Заключение…………………………………………………..20
4. Список литературы………………………………………….21

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Введение

 

     Каждый  из нас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумайте число, прибавьте 2, умножьте на 3, отнимите 5, отнимите задуманное число и т. д. всего пяток, а то и десяток каких – либо действий. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.

     Удивительной  для непосвященных кажется, способность  человека отгадывать задуманные другими числа. Но если узнать секрет математических фокусов, то можно не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения, где выполнены действия, получаем секрет отгадывания чисел.

     Я решила больше узнать о математических фокусах, выяснить их секрет для этого  я поставила перед собой ряд  задач, которые помогут мне в  этом справиться.

     Цель: Доказать, что математические фокусы - это ни что иное как решение математических задач, завуалированные в особую форму.  

     Задачи: 

1. Узнать, что такое фокус с точки зрения математики.
2. Изучить некоторые виды фокусов:

• Фокусы с мелкими предметами;

• Фокусы с исчезновением фигур;
• Фокусы с обычными числами;
• Фокусы с уравнениями
• Математический фокус Дэвида Копперфильда

3. Обобщить материал и сделать вывод 
   

   2. Математические тайны и чудеса

2.1 Что такое математический фокус?

     Фокусы? Да, если хотите; а лучше сказать  — эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел и лишь облеченные в несколько экстравагантную форму. И понять суть того или иного эксперимента — это значит понять пусть небольшую, но точную математическую закономерность.

     Математические  фокусы — очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей.

     Если  при учебном изложении стремятся  к возможно большему раскрытию идеи, то здесь для достижения эффективности  и занимательности, наоборот, как  можно хитрее маскируют суть дела. Именно поэтому вместо отвлеченных чисел так часто используются различные предметы или наборы предметов, связанные с числами: домино, спички, часы, календарь, монеты и даже карты (разумеется, такое использование карт не имеет ничего общего с бессмысленным времяпровождением азартных игроков; как указывает автор, здесь карты рассматриваются просто как одинаковые предметы, которые удобно считать; имеющиеся на них изображения не играют при этом никакой роли-»).

     Подобно многим другим предметам, находящимся  на стыке двух дисциплин, математические фокусы не пользуются особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Первые склонны рассматривать их как пустую забаву, вторые пренебрегают ими как слишком скучным делом. Математические фокусы, скажем прямо, не принадлежат к той категории фокусов, которая может держать зачарованной аудиторию из неискушенных в математике зрителей; такие фокусы обычно отнимают много времени, и они не слишком эффектны; с другой стороны, вряд ли найдется человек, собирающийся черпать глубокие математические истины из их созерцания.

     И все-таки математические фокусы, подобно  шахматам, имеют свою особую прелесть. В шахматах объединено изящество  математических построений с удовольствием, которое может доставить игра. В математических же фокусах изящество  математических построений соединяется с занимательностью. Неудивительно поэтому, что наибольшее наслаждение они приносят тому, кто одновременно знаком с обеими этими областями. 

2. Фокусы  с мелкими предметами

     Пожалуй, почти каждый мелкий предмет, так  или иначе связанный с числами или счетом, использовался для показа фокусов математического характера или для математических головоломок и задач. Мы рассмотрим математические фокусы с мелкими предметами и проиллюстрируем различные принципы, на которых они основаны.

• ДОМИНО

     Домино  встречается в математических фокусах гораздо реже, чем карты и игральные кости. Весьма широко известен следующий фокус.

     Фокусник  предлагает желающему задумать какую-либо косточку, после чего говорит: «Умножьте  число очков одной половины на 2, к произведению прибавьте  7 и сумму умножьте на 5; теперь прибавьте к результату число очков другой половины косточки и скажите, что у вас получилось». Фокусник же скажет, какое число вы задумали. .

     Объяснение  Так как же фокусник определил, какое число вы задумали? Для этого надо от сказанного задумавшим результата отнять 35, тогда цифры полученного двузначного числа будут указывать на соответствующие числа очков задуманной косточки домино.

     Действительно, если a и b – числа очков задуманной косточки домино, то мы последовательно производим над ними следующие действия.

     2а;

     2а+7;

     10а+35;

     10а+35+b.

     Отнимая от окончательного результата 35, получим двузначное число 10а+b, цифрами которого будут а и b, т.е. число очков на косточке домино.

       Само собой разумеется, что мы можем предложить к произведению прибавить не 7, а любое другое число, которое мы обозначим через m, тогда от окончательного результата надо будет отнять уже не 35, а 5m. Этот же прием можно применить к угадыванию двузначных чисел.

• КАЛЕНДАРИ

     Можно придать много интересных фокусов с использованием календаря. Вот некоторые наиболее интересные из них.

     Таинственные  квадраты

     Показывающий  стоит, повернувшись спиной к зрителям, а один из них выбирает на помесячном календаре любой месяц и отмечает на нем какой-нибудь квадрат, содержащий 9 чисел. Теперь достаточно зрителю назвать наименьшее из них, чтобы показывающий тут же, после быстрого подсчета, объявил сумму этих девяти чисел.

     Объяснение. Показывающему нужно прибавить к названному числу 8 и результат умножить на 9).

     Предсказание

     Предупредив зрителей, что вы обладаете даром  прорицания и умеете проводить в  уме быстрое сложение нескольких чисел, попросите кого-то обвести на настенном календаре в любом месте любой квадрат из 16 чисел. Бегло посмотрев на обведенную фигуру, вы записываете на листке предсказание, кладете его в конверт и отдаете на хранение зрителю. Затем просите зрителя выбрать любое число в этом квадрате, обвести его кружком и вычеркнуть все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбике, что и обведенное число. В качестве второго числа зритель может обвести кружком любое число, оставшееся не зачеркнутым. После этого он должен вычеркнуть все числа, стоящие в одной строчке и в одном столбике со вторым обведенным числом. Так же выбирается третье число, а соответствующие столбик и строчка вычеркиваются. В результате этих операций останется не зачеркнутым одно единственное число. Его тоже нужно обвести кружком и подсчитать сумму четырех чисел, выбранных абсолютно случайным образом.

  В финале эффектно предлагаете достать из конверта листок и убедиться, что на нем заранее была написана именно эта сумма.

Чтобы это сделать, нужно  было сложить два числа, находящихся на двух диагонально противоположных углах квадрата (безразлично какая пара из двух возможных берется) и удвоить найденную сумму.

Сумма чисел, выбранных  по одному из каждой строки и каждого  столбца квадрата, равно сумме чисел  на диагонали. Эта последняя есть сумма четырех членов арифметической прогрессии с разностью 8 и равна, в силу известной формулы, удвоенной суммы первого и последнего членов.

Например, рисунок приведенный выше. После  вычеркивания и обведения трех чисел  осталось число 12. Найдем сумму: 3+18+23+12=56. Также, если мы (5+23)*2=56 

• СПИЧКИ

     Существует  много математических фокусов, в  которых мелкие предметы используются просто как счетные единицы. Сейчас мы опишем несколько фокусов, для  которых особенно удобны спички, хотя годятся и другие мелкие предметы, например монеты, камешки или листочки бумаги.

     Три кучки спичек

     Показывающий  поворачивается спиной к аудитории, а кто-нибудь из присутствующих кладет на стол три кучки спичек так, чтобы  число спичек в кучках было одинаковым и большим трех в каждой. Зритель называет какое-нибудь число от 1 до 12. Показывающий просит зрителя перераспределить некоторым (специальным) образом спички в кучках. При этом, хотя показывающий и не знал первоначального числа спичек в кучках, в средней кучке оказывается заданное количество спичек.

     Объяснение. Вначале зрителя просят взять по три спички из крайних кучек и перенести их в среднюю. Затем он должен сосчитать оставшиеся спички в одной из крайних кучек, взять это число спичек из средней кучки и перенести их в любую крайнюю. Так как после этого в средней кучке всегда остается 9 спичек16), то теперь уже совсем просто получить в ней заданное число спичек (для этого потребуется только одна передвижка).

• МОНЕТЫ

     Монеты  обладают тремя свойствами, которые  делают их удобными для демонстрации математических фокусов. Их можно использовать как счетные единицы, они обладают определенным числовым значением и, наконец, у них есть лицевая и обратная стороны.