Лекции по "Математике"

Прямоугольные декартовы координаты – способ, позволяющий численно описать положение точки в пространстве.  Представляет собой систему координат на плоскости или в пространстве, состоящей из двух или трех осей (OX OY OZ) и задается координатами.

Длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Деление отрезка в заданном отношении – если координаты точки А, а   координаты точки В, то координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении   определяется по формулам    и     

Если λ=1 то точка  делит АВ пополам.

Если λ=0 то точки  А и С совпадают.

Если λ<0 то точка С лежит вне отрезка АВ 

Поворот системы координат – преобразование  координат, при котором оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Формула поворота осей: 
 
 

Матрица преобразования системы координат –    (матрица поворота). Поворот выполняется путем умножения матрицы поворота на вектор-столбец, описывающий вращаемую точку:  

Координаты в результате поворота точки (x, y) имеют вид:  

Определитель 3-его  порядка.

Матрицей порядка  (m n) называется матрица с m строк и n столбцов. Если m=n то матрица называется квадратной. Если m=n=3 то матрица называется матрицей 3-его порядка. Определитель матрицы А третьего порядка (или её детерминант – det A, |A| ΔA) вычисляется по правилу треугольника (правило Саррюса):

 

Det(A)= 

Вычисление  определителей .

Для матриц 1-ого порядка   

Для матриц 2-ого порядка  
 
 

 

Для матриц n-ого порядка 
 
 
 

Свойства  определителей –

1)Определитель останется  неизменным, если каждую строку  заменить столбцом, а столбец  – строкой.

2)Перестановка двух  строк или двух столбцов равносильна  умножения определителя на  -1

3)Определитель равен  нулю, если имеет хотя бы два  одинаковых столбца или две  одинаковые строки.

4) Умножение всех элементов строки или столбца на число k равносильно умножению определителя на это число k.

5)Если все элементы  строки или столбца равны нулю, то определитель равен нулю (частный  случай свойства 4 (при k=0))

6)Если соответствующие  элементы двух столбцов или  двух строк пропорциональны,  то определитель равен нулю.

7)Если каждый элементы  n-ого столбца или n-ой строки представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в виде двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же.   

8)Если к элементом  столбца или строки прибавить  соответствующие элементы другого  столбца или строки, умноженные  на любой общий множитель, то  величина определителя не изменится. 

 
 
 

Понятие матрицы – прямоугольная таблица чисел содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Числа называются элементами матрицы. Элементы, стоящие на

диагонали из верхнего угла, образуют главную диагональ. 

Матрицы равны между собой если равны все соответствующие элементы матрицы.

Матрица называется диагональной, если все элементы кроме элементов главной диагонали равны нулю.

Матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1.

Матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой  и обозначается буковой  О.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-столбец или вектор-строка).

Матрицы А и В  называются эквивалентными , если одна из них получается из другой путем элементарных преобразований и записываются как A~B.

Матрицу, у которой  в начале главной диагонали стоят  подряд несколько единиц, а все  остальные элементы равны нулю,  называют канонической.

Матрица, полученная из данной путем  замены каждой строки столбцом с тем  же номером, называется транспонированной.  
 
 
 

Определитель  матрицы – число det(A), |A| или ΔA матрицы порядка n называется её определителем.

Транспонирование  матриц – матрица полученная из данной матрицы путем замены каждой строки столбцом с тем же номером. Записывается как .

Линейные  операции над матрицами  и их свойства :

Сложение матриц применимо только к матрицам одинакового размера. Сложение осуществляется путем сложения соответствующих элементов слагаемых матриц. Так же осуществляется и вычитание матриц.

Умножение матрицы  на число – осуществляется путем умножения каждого элемента матрицы на это число.

Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами:

А+В=В+А

А+(В+С) = (А+В)+С

А+О=А

А-А=О

1*А=А

A(A+B)=aA+aB

(a+b)A=aA+bA

a(bA)=(ab)A

АВ ≠ ВА

A, B, C –матрицы. a, b – числа. 

Элементарные  преобразования матриц :

Перестановка местами  двух параллельных рядов матрицы.

Умножение всех элементов  ряда матрицы на число, отличной от нуля.

Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих  элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.  

Произведение матриц – применяется только когда число строк первой матрицы равно числу столбцов второй матрицы. Умножение производится путем умножения строки первой матрицы на столбец второй.  
 
 
 
 

Умножение матрицы на вектор – равносильно умножения матрицы на матрицу, состоящую из одного столбца или строки. При этом если вектор-столбец умножается на матрицу справа, а вектор-строка слева.

Отыскание обратной матрицы. Обратная матрица – такая матрица ,при умножении на которую сходная матрица А дает в результате единичную матрицу Е.

Обратная матрица  существует только при det(A)≠0. 

 

                                 

Элементарные  преобразования матриц :

1.Перестановка местами  двух параллельных рядов матрицы.

2.Умножение всех  элементов ряда матрицы на  число, отличной от нуля.

3.Прибавление ко  всем элементам ряда матрицы  соответствующих элементов параллельного  ряда, умноженных на одно и  то же число. 

Матрицы, полученные из других матриц путем элементарных преобразований, называются эквивалентными и обозначаются A~BA~B

Ранг  матрицы - число ненулевых строк матрицы.

Базисный  минор матрицы А – любой ненулевой минор матрицы ранг которого равен рангу матрицы. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. Минор – это определитель матрицы, полученный вычеркиванием строк и столбцов.

Минор матрицы А  М(23) получен вычеркиванием 2 строки и 3 столбца. Данный минор является базисным.

 
 

Алгебраическое  дополнение элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс» если сумма «i+j» - четное число, и со знаком «минус» если нечетное.

Невырожденная матрица – это та матрица, детерминант которой не равен нулю. Все невырожденные матрицы имеют обратную. В противном случае она называется вырожденной.

Системы линейных уравнений, их исследование и  свойства. Системой линейных уравнений содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

Где числа  - коэффициенты системы, числа – свободными членами.

Такую систему удобно записывать в матричной форме: А×Х=В

Где А матрица  системы коэффициентов (основная матрица); X – вектор-столбец из неизвестных ; В – вектор-столбец из свободных членов

Расширенной матрицей называется матрица А, дополненная столбцом свободных членов b.

Решением системы называется n значений =, = при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Система является совместной если имеет хотя бы одно решение, и несовместной если нет ни одного решения. Система является определенной если она имеет единственное решение, и неопределенной если более одного решения. Система является однородной если все свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна.

Теорема Кронекера-Капелли – система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу расширенной матрицы, причем система имеет единственное решение когда ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений если ранг меньше числа неизвестных.

Метод Крамера – способ решения систем линейных уравнений с ненулевым детерминантом. 

 
 
 

Метод Гаусса – метод решения системы линейных уравнений, основанный на последовательном исключении переменных, когда матрица путем элементарных преобразований приводится к равносильной системы ступенчатого (или треугольного), из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся остальные переменные. ДОПИСАТЬ МЕТОД ГАУССА.

Матричный метод  - метод решения матриц с ненулевым определителем. X = × B, где Х и В – столбцы решений системы и свободных членов соответственно.

Алгоритм матричного метода: записать пример в виде X = × B, затем найдем определитель матрицы .  
 
 

Далее найдем миноры данной матрицы:

   
 
 
 
 

Затем найдем элементы обратной матрицы:

 
 

Далее запишем саму обратную матрицу(можно сделать проверку умножив A на - должно получиться Е)

Далее умножим обратную матрицу  на столбец свободных членов. Их произведение

И будет ответом.

Системы линейных однородных уравнений (когда свободные члены равны нулю) имеют ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы меньше числа неизвестных n. ДОПИСАТЬ. 

Орт вектора, или единичный вектор – вектор, длина которого равна единице. Вектор – отрезок, имеющий длину и определенное направление. Если А – начало вектора, а В – его конец, то вектор записывается как АВ. Длинной (модулем) вектора называется длинна отрезка и обозначается как |AB|. Если длинна вектора равна нулю, то это нулевой вектор и он не имеет направления.  Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора α, называется ортой вектора α и записывается как -

1. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых и записывается как α||. Эти векторы могут быть как сонаправленны, так и разнонаправлены.
2. Два вектора называется равными, если они коллинеарны, сонаправленны и имеют одинаковые модули.
3. Три вектора в пространстве называются компланарными если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов есть один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

Направляющие  косинусы векторов. Направляющие вектора в пространстве образуют углы с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими.