Лекции по "Математике"

Для вектора с  координатами ( косинусы равны

Сумма квадратов  этих косинусов дает 1. 

Линейная  зависимость векторов – Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно , то есть Если же только при =0 , то векторы называются линейно зависимыми.  

Свойство 1. Если среди векторов   есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. 

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система так же будет линейно зависимой.  

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда,  когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию других векторов. 

Свойство 4. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы и наоборот - два линейно зависимых векторов коллинеарны. 

  Свойство 5. Любые три комлпанарных вектора линейно зависимы и наоборот – любые три линейно зависимых вектора комлпанарны.  

 Свойство 6. Любые четыре вектора линейно зависимы. 

Базис векторов – множество векторов в векторном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.

То есть чтобы  доказать что данные векторы образуют базис, нужно доказать что они  линейно независимы. Линейно независимы они в случае если определитель не равен нулю.

Скалярное произведение векторов – произведение модулей двух векторов на косинус угла между ними                                 

Обозначается как (а.b). Косинус угла между двумя векторами:

Свойства:

 
 

Косинус угла между  векторами вычисляется по формуле  
 

Векторное произведение обозначается [a,b] и вычисляется по формуле

1. Векторное произведение векторов равно нулю, если векторы коллинеарны или один из них равен нулю.
2. При перестановке сомножителей знак произведения меняется на противоположный.
3. Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма.

Векторное произведение в координатной форме  вычисляется по форле:

 при решении строка 1 вычеркивается.

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из координат векторов.

  
 
 

Уравнение прямой на линии плоскости  – общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, где А, В, С – произвольные числа, причем А и В не равны нулю.

- уравнение прямой с угловым  коэффициентом k. 

Уравнение прямой в отрезках 

Нормальное уравнение прямой                                                           где p – длинна перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат.  

 Уравнение прямой проходящей  через две заданные точки – 

 

Уравнение прямой, проходящей через одну точку:  

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярную данному вектору:

 

Уравнение прямой в полярных координатах:  

Условия параллельности двух прямых для уравнений с  угловым коэффициентом состоит в том, чтобы угловые коэффициенты этих прямых были равны. Если задано уравнение в общем виде, то необходимо и достаточно чтобы коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны:      

 

Условия перпендикулярности двух прямых – для того чтобы две прямые, заданные уравнением с угловым коэффициентом, были перпендикулярны, необходимо и достаточно чтобы их угловые коэффициенты были противоположны по знаку и значению:      

Это условие может  быть записано в виде           

Если уравнение  заданно в общем виде, то условие перпендикулярности выполняется при равенстве            

Расстояние  от точки до прямой вычисляется по формуле d=

Общее уравнение плоскости  выглядит так: .

Если D=0, то плоскость проходит через начало координат.

Если С=0, то плоскость  параллельна Oz; если B=0 то плоскость параллельна Oy; если A=0 то параллельна Ox.

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через  данную точку М() и перпендикулярную вектору n(A;B;C). Вектор n называется нормальным вектором плоскости. 

Нормальный  вектор плоскости  – имеет вид N(A;B;C) и перпендикулярен плоскости.

Уравнение плоскости параллельной двум данным векторам имеет вид:

                                   

Уравнение плоскости  проходящей через  три точки имеет вид  
 
 
 
 

Нормальное  уравнение плоскости имеет вид

Каноническое  уравнение прямой в пространстве –  

Где координаты точки, точки М, лежащей на прямой, m n p – координаты вектора, коллинеарные этой прямой 

Параметрическое уравнение прямой имеет вид:  
 
 

Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид =

Условие параллельности плоскостей. Две плоскости называются параллельными если не имеют общих точек. 

Свойства параллельности:

1. Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости β, то эти плоскости параллельны.
2. Если две параллельные плоскости пересечены третей, то их линии пересечения параллельны.
3. Через точку вне плоскости можно провесит только одну параллельную плоскость.

Условие: Если плоскости                                                         и                                                           параллельны, то

То нормальные векторы                             и                                коллинеарны (и обратно).  Поэтому  существует необходимое и достаточное  условие параллельности 

Условие перпендикулярности плоскостей состоит в необходимости и достаточности того, чтобы косинус угла между плоскостями был равен нулю, то есть 

 Либо высчитывая косинус угла между плоскостями: 
 

 

Расстояние  от точки до плоскости  вычисляется по формуле 
 

Условие параллельности прямых состоит в пропорциональности координат их направляющих

векторов: ||  

Условие перпендикулярности прямых заключается в том, чтобы косинус угла между этими прямыми был равен нулю, то есть

То есть чтобы  был равен нулю числитель дроби 
 
 
 
 
 
 

Угол между двумя  плоскостями вычисляется по формуле

Если числитель  равен нулю, то плоскости перпендикулярны. 

Угол между двумя  прямыми равен углу между их направляющими векторами и вычисляется по формуле  
 

Условие параллельности прямой и плоскости состоит в том, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

 

Условие перпендикулярности прямой и плоскости  заключается в том, что необходимо и достаточно чтобы нормаль к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарных  (были параллельны или совпадали).

 

Угол  между прямой и  плоскостью. Если прямая и плоскость заданны уравнениями  

То угол между ними вычисляется  по формуле  
 
 
 

Уравнение прямой как  линии пересечения  двух плоскостей имеет вид:  
 
 
 

При условии что  не выполняется равенство 

 

Направляющий вектор вычисляется по формуле 

 

 

Квадратичная  форма – функция, задаваемая однородным многочленом второй степени.

Кривые  второго порядка  – линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат. Их классификация:

Окружность – описывается уравнением

Эллипс – описывается уравнением ; ε= ; a, b – большая и малая полуось; с – половина расстояния между фокусами.

Гипербола – описывается уравнением ; Имеет асимптоты, вычисляемые по формулам:   и   ; ε= – эксцентриситет гиперболы.

Парабола  -  
 
 
 
 
 
 

Эллипс – хернь, похожая на сплющенную окружность. Уравнение

Где a и b – большая и малая полуось.

Эксцентриситет  – степень вытянутости эллипса – , где с – половина расстояния между фокусами.

Директрисы  эллипса вычисляются

При b=a, а так же при ε=0 Эллипс превращается в окружность.

Гипербола - уравнение такое же как и у эллипса – только с минусом.

Вершинами гиперболы, как и у параболы, называются точки, откуда гипербола выходит (место изгиба).

Действительная  ось – прямая, проведенная от одной вершины к другой.

Мнимая  ось – прямая, перпендикулярная действительной оси.

Если полуоси a и b гиперболы равны, то она называется равносторонней и её каноническое уравнение выглядит как , её асимптоты равны y=x и y=-x.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен .

Сопряженными  гиперболами называются гиперболы, имеющие общие асимптоты.

Парабола – задается уравнением

Если степень четная, значит парабола симметрична относительно оси Х.

Если p>0, то парабола расположена справа от оси Y.

При x=0 парабола проходит через начало координат.

Фокальный радиус для  любой фигуры – расстояние от фокуса до произвольной точки М.

Уравнения прямых и кривых в  параметрическом  виде и в полярной системе координат.

Для окружности

ДОПИСАТЬ  ЭТО.

Комплексное число – выражение вида , где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, .  Если х = 0, то число называется чисто мнимым, если y=0, то число x+iy=x отождествляется с действительным числом x.

Число x называется действительной частью комплексного числа z, а y – мнимой.

 Два комплексных числа равны, когда равны их действительные и мнимые части.

Комплексное число  равно нулю, когда 

Комплексные числа  называются сопряженными, когда они отличаются только знаком мнимой части. 

Всякое комплексное  число z можно изобразить точкой M(x,y). При этом плоскость, на которо изображена точка, будет называться комплексной плоскостью, Ох – действительной осью, а Оу – мнимой осью (на ней лежат чисто мнимые числа).

Модуль комплексного числа – эта длинна вектора, изображающего это мнимое число на плоскости и проведенного из начала координат в точку М.

Аргумент комплексного числа – это величина угла между вектором и положительным направлением действительной оси

Геометрический  смысл комплексного числа заключается в том, что любое комплексное число z можно изобразить на плоскости в виде вектора, проведенного из начала координат в точку М с координатами х и y, которые являются действительной и мнимой частью этого комплексного числа. При это плоскость, в которой лежат вектор и точка, называется комплексной плоскостью,  модулем – длинна этого вектора, а аргументом – величина угла между этим вектором и положительным направлением действительной оси.