Контрольная работа по "Математике"

    Пример. Вычислить интеграл с точностью  

    Решение. Интеграл не выражается через известные функции, поэтому его значение можно получить только численными методами. Для применения численных методов необходимо получить таблицу подынтегральной функции. Возьмём Вычисляем таблицу подинтегральной функции :

                                                        

2.00
2.25
2.50
2.75
3.00

 
 
 
 
 
 
 
 

   Вычисляем интеграл по алгоритму парабол:

                    

    Чтобы оценить точность полученного результата, удвоим , вычислим таблицу   при новых значениях аргумента и интеграл по алгоритму парабол.

2.00
2.125
2.25
2.375
2.50
2.625
2.75
2.875
3.00

    Вычисляем таблицу при , тогда : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

           

    

 

    В и совпадают только цифры десятых, поэтому точность значения интеграла недостаточна и необходимо снова удвоить .

Итак, , строим таблицу значений подынтегральной функции, затем вычисляем интеграл 

      

  
 
 
 
 
 
 

2.00
2.0625
2.125
2.1875
2.25
2.3125
2.375
2.4375
2.50
2.5625
2.625
2.6875
2.75
2.8125
2.875
2.9375
3.00

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Точность и на этот раз оказывается недостаточной, поэтому выбираем , рассчитываем новую таблицу и вычисляем

             

   В S3 и  S4 совпадают цифры десятых и сотых, поэтому заданная точность достигнута, ответом будет

                               

  с точностью . 

 Задача 4. Вычислить  интеграл с точностью   по алгоритму парабол.  

5.  Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

 

   Рассмотрим задачу: найти решение дифференциального уравнения

                                              

при условии       .

   Получить  точное решение этой задачи в аналитическом виде удаётся редко, тогда прибегают к приближённому (чаще всего численному) решению. Из численных методов обычно используют методы Рунге–Кутты, мы–же рассмотрим метод Эйлера ввиду его простоты и наглядности.

   Пусть  требуется найти решение на  промежутке  .  Разделим промежуток на  частей, получим точки . Найдём приближённые значения решения в точках  , для этого в уравнении     производную заменим приближённой формулой

, тогда  для вычисления  получим формулу метода Эйлера

                       

           Погрешность значения , вычисленного по формуле Эйлера, имеет

       порядок величины  .

            Пример. Решить методом Эйлера на промежутке задачу

                                              .

             Решение.  Разделим промежуток интегрирования на 5 частей, тогда

              ,     

                  

                

                   

                 
 

    Литература.

1. Соболь Б. В. Практикум по вычислительной математике / Б. В. Соболь, Б. Ч. Месхи,

 И. М. Пешхоев   – Ростов-на-Дону, «Феникс», 2008

2. Демидович Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Марон  – М: Наука, 1970

3. Копчёнова Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н. В. Копчёнова, И. А. Марон – М.: Наука, 1972