Контрольная работа по "Математике"

                        ,

                        ,

                         .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .

      Разности разностей второго порядка  называются разностями третьего  порядка. Обозначаются     и выражаются через :

       ,

       ,                   

                      .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .

    Разности  обычно записывают в таблицу  разностей следующего вида:

 
 

                           
 
 
 
 
 
 

     Возвратимся к построению интерполяционного полинома в виде

         .

      Подставим  в полином значение , получим равенство

     .

Все слагаемые  в правой части, кроме первого, содержат множитель , поэтому , но , следовательно

     Чтобы  выразить  через , подставим , получим равенство

   .

Все слагаемые  в правой части, начиная с третьего, содержат множитель  , поэтому все они равны нулю и . Но , следовательно, , откуда  . Таким   

образом, 
 

     Чтобы  выразить  через , подставим , получим равенство

   . Так как ,  ,  , то имеем равенство  , откуда .

                        

     Продолжая  аналогичные вычисления, найдём  выражения для всех коэффициентов  интерполяционного полинома:

,       ,    .    .    .  ,

 

     Теперь  можно записать готовый интерполяционный  полином Ньютона:

.

     Обычно  интерполяционный полином Ньютона  преобразуют в другую форму  путём замены   . Выполним это преобразование.

      Запишем полином в виде:

 

.

     Последнее выражение и является обычным видом интерполяционного полинома Ньютона

     При  построении интерполяционного полинома  Ньютона используется

верхняя (подчёркнутая) строка таблицы разностей. Затем полагают .

     Если имеется неограниченная таблица значений функции , то степень интерполяционного полинома может быть любой. Практически в этом случае степень выбирают так, чтобы разности в столбце были постоянными (в пределах заданной точности).

     Если  таблица значений функции конечна,  то число  ограничено, а именно не может быть больше числа значений функции, уменьшенного на единицу.

     Исходной  точкой    может быть любая табличная точка, при этом для интерполяционного полинома потребуются только те точки, которые идут после этой начальной точки.  

   При замене  функции  многочленом возникает погрешность  

. 

    Пример. Построить интерполяционный полином для функции, заданной таблицей: 

	3.50	3.55	3.60	3.65	3.70
	33.115	34.813	36.598	38.475	40.447

 

   Найти . Оценить погрешность результата. 

    Решение. Составим таблицу разностей

3.50 3.55 3.60 3.65 3.70	33.115 34.813 36.598 38.475 40.447	1.698 1.785 1.877 1.972	0.087 0.092 0.095	0.005 0.003	-0.002

 
 
 
 
 
 
 
 

В столбце  разности с точностью до сотых постоянны, поэтому выбираем , тогда  .

;   ;    .

          .

.

Погрешность значения оценивается величиной  

                                                    

Задача 3.  Функция задана таблицей 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Найти значение для , используя интерполяционный полином Ньютона.  Оценить погрешность результата. 
 

4.  Численное интегрирование.

   Пусть требуется вычислить . Если непрерывна на отрезке и известна первообразная подинтегральной функции , то интеграл можно вычислить по формуле Ньютона−Лейбница  . Однако во многих случаях первообразную нельзя найти элементарными средствами, поэтому вычисление интеграла по формуле Ньютона−Лейбница  может быть затруднительным или даже практически невозможным, Кроме того, на практике подинтегральная функция часто задаётся таблично, тогда само понятие первообразной теряет смысл. Поэтому необходимо иметь приближённые и в первую очередь численные методы вычисления определённых интегралов.

     Задача численного интегрирования заключается в вычислении значения  определённого интеграла на основе ряда значений подинтегральной функции.

    Обычный приём построения алгоритмов численного интегрирования состоит в том, что подитегральную функцию на отрезке интегрирования заменяют интерполяционным полиномом и затем полагают  . Интеграл от полинома легко вычисляется и получается алгоритм численного интегрирования.

     Построим алгоритм парабол (алгоритм Симпсона) численного интегрирования.

    Промежуток интегрирования разобьём на чётное число частей , тогда где    . Интеграл на промежутке от      до    вычислим следующим способом. Возьмём два первых частичных промежутка  от   до  , заменим подинтегральную функцию интерполяционным полиномом и вычислим интеграл. Так как на промежуток от   до  попадают только три точки:  ,    и , то на взятом промежутке можно построить полином не выше второй степени  . Вычисляем:

 

                       

.

     Для вычисления интегралов выполним замену   ,    ;  новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . 

.

    Для двух следующих интервалов от   до  таким же способом получим   .  Для третьей пары интервалов от   до         и   т.д.  Чтобы получить приближённое численное значение интеграла на всём промежутке , необходимо просуммировать правые части полученных формул, тогда

              .

     Эта формула называется алгоритмом  парабол (алгоритмом Симпсона) численного  интегрирования.

     Для оценки погрешности полученного значения интеграла на практике часто начинают вычисление с некоторым чётным , затем повторяют вычисление с удвоенным значением . Считают, что совпадающие десятичные знаки обоих результатов принадлежат точному значению интеграла, и за приближённое значение интеграла берут любое из найденных значений. Если точность недостаточна, снова удваивают значение .