Контрольная работа по "Математике"

Самуйлов  Александр Захарович

     

Контрольная работа по вычислительной математике 

  Выбор варианта. В условие задачи включена величина , где – две последние цифры номера зачётной книжки. Это и есть индивидуальный вариант задачи.

    Оформление решения. При решении можно использовать любую вычислительную технику, в том числе и системы компьютерной математики (MATLAB, MathCAD и другие), однако целью курса является  не ответ, а изучение алгоритма вычислений, поэтому необходимо представить последовательность операций и все промежуточные результаты.  

1. Алгоритмы вычислительной математики.

 

       Основным  понятием вычислительной математики является алгоритм    

     решения задачи.

    Результатом решения задачи в вычислительной математике должны быть числа. Например, в теоретической математике ответом может быть . В вычислительной математике это не ответ, потому что −не число, ответом может быть или , или в зависимости от требуемой точности представления результата извлечения квадратного корня из .

   Вычислительная математика разрабатывает методы доведения до числового результата решений основных задач математического анализа, алгебры и геометрии. Эти методы называются численными методами.

    Численные методы имеют свой  язык записи. Чтобы численный  метод давал в результате число,  он должен быть представлен в виде чисел и арифметических операций над числами. Однако задачи формулируются обычно на математическом языке (языке уравнений, функций, производных, интегралов и т. п.). Поэтому разработка численного метода  состоит в том, чтобы решение исходной задачи представить в виде последовательности арифметических операций над числами. Такая последовательность действий называется вычислительным алгоритмом.

  Построим алгоритм решения уравнения .

   Пусть известно приближённое значение корня  и требуется найти более точное  его значение  .    Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :

                         

   Отбросим  в разложении  все слагаемые,  содержащие производные выше  первого порядка, тогда получим  приближённое равенство 

                                 .

   Следующее приближение к корню обозначим и подставим его в приближённое равенство вместо x, получим:  

                             .

 

  Так как – корень,  то , следовательно,  правая часть

  .  Если  найти из уравнения , то его можно считать приближённым решением уравнения , и это приближенное  решение    определяется по формуле

                                       

   Это и  есть алгоритм  решения уравнения (алгоритм Ньютона).

  Для начала вычислений по алгоритму Ньютона необходимо иметь начальное приближение . Начальное приближение можно определить либо по графику левой части уравнения, либо по свойству: если можно найти два значения и таких, что и имеют противоположные знаки, то на промежутке имеется корень (возможно, не один).

   Придавая значения    получим последовательность приближённых значений корня, которая, при определённых условиях, сходится к точному значению корня, когда .    Практически уточнения корня производят, пока выполняется неравенство , где − заданная точность вычисления корня.  

Пример.  

Вычислить по алгоритму Ньютона с точностью больший корень уравнения  .  

Решение. Построим график левой части уравнения: 

 

    Корни уравнения – это точки пересечения графика с осью абсцисс. Так как полиномиальное уравнение третьей степени не может иметь больше трёх действительных корней и на графике имеются три точки пересечения с осью абсцисс, то для большего  корня можно взять начальное приближение 

    Проводим уточнение  корня по алгоритму

                             

                                    

             

                  

    , точность не достигнута. 

        

             

              

            , точность не достигнута. 

         

         

               

             , точность не достигнута.

       

           

                

                 

                   , точность

  достигнута.

    Больший корень  уравнения  с  точностью равен 0.7025

     Проверка:

                              

   Задача 1.

Вычислить по алгоритму Ньютона с точностью меньший корень уравнения

                                      .    
 

2. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений.

 

   Рассмотрим алгоритм исключения неизвестных (алгоритм  Гаусса) решения системы линейных уравнений на примере решения системы трёх  уравнений с тремя неизвестными

                           
 
 

   Алгоритм исключения неизвестных даёт точное решение системы, поэтому нет необходимости включать в него параметр .

    Алгоритм состоит из следующих элементарных операций:  

   1) Найти уравнение, содержащее наибольший по абсолютной величине коэффициент; в данном примере это будет второе уравнение.

   2) Переставить уравнения, чтобы первым было уравнение с наибольшим коэффициентом:

   3) Переставить  столбцы левой части системы,  чтобы переменная с наибольшим коэффициентом разместилась на диагонали:

   4) Первое уравнение делим на наибольший коэффициент, чтобы коэффициент при неизвестной на диагонали сделать равным 1:

   5) Из  всех уравнений, кроме первого,  исключаем неизвестные первого  столбца. Чтобы исключить неизвестную из второго  уравнения, первое уравнение умножим на коэффициент при , т.е. на 2, и вычтем первое уравнение из второго: 
 
 
 
 
 

  6) Аналогично исключаем     из третьего уравнения: первое уравнение умножим на коэффициент при , т.е. на -1, и вычтем первое уравнение из второго:

                                                                                               

       
 
 

  После этих преобразований получим следующую систему,  эквивалентную исходной системе: 

   7) Далее рассматриваем систему  без первого уравнения     и для её преобразования переходим к пункту 1).

Окончательно  получим систему

 
 
 
 
 

Подставим  в предпоследнее уравнение, находим , затем из первого уравнения получим , и система решена. 

   Задача 2. Решить систему по алгоритму исключения неизвестных  

                      
 

   3.  Интерполирование функций.  

    Задача интерполирования заключается в замене некоторой функции  другой, более простой функцией . Функция  может быть задана таблицей значений; если задана аналитическим выражением, то для интерполирования необходимо вычислить таблицу её значений.

    В качестве  обычно используют полином, тогда его называют интерполяционным. Использование полинома вместо для вычисления значений функции называется интерполированием функции .

     Теоретическое обоснование замены данной функции полиномом  опирается на теорему Вейерштрасса: любую непрерывную в интервале   функцию можно заменить в нём с любой степенью точности полиномом, т.е. можно построить такой полином , что для каждого значения , где − произвольная положительная величина.

     Пусть функция  имеет значения при значениях аргумента , тогда по этим значениям можно построить полином степени не выше :

                                   .

      Полином будет построен, если  его коэффициенты  выразить через   и .  Такое выражение возможно при условии, что полином проходит через те же точки, что и функция , т.е. при условии

                                                                                  

    На практике используется много  различных интерполяционных 

полиномов. Рассмотрим построение одного из них − интерполяционного   полинома Ньютона для функции ,   заданной значениями

в равноотстоящих точках  , так что . Коэффициенты полинома вычисляются проще, если полином записывать в виде

         .

     Для  дальнейшего построения интерполяционного  полинома потребуются разности  различных порядков значений функции .

     Величины  называются разностями первого порядка. Обозначим эти разности :

                       .

     Разности разностей первого порядка называются разностями второго порядка. Обозначим разности второго порядка     и выразим их через :

                        ,