Карл Фридрих Гаусс

     Симметрии в множестве корней уравнения (6). Прежде всего, задача о корнях из единицы тесно связана с арифметикой остатков от деления на n (по модулю n). Действительно, если εⁿ = 1, то ε^k – также корень n-й степени из единицы, причем число ε^k зависит только от остатка до деления k на n. Положим ε = ε₁; тогда ε_k есть просто ε в степени k, поэтому ε_k × ε_l = ε_k+l, где сумма берется по модулю n (остаток от деления на n); в частности ε_k × ε_n-k = ε₀ = 1.

     Задача 1. Если р – просто число и δ – любой комплексный корень р-й степени из единицы, то множество δ^k , k = 0, 1, … , р – 1, содержит все корни р-й степени из единицы.

     Указание. Нужно доказать, что в этом случае для всякого 0 < m < p среди остатков от деления чисел km, k = 0, 1, … , р – 1, на р содержатся все числа 0, 1, … , р – 1.

     Обозначим через Т_k следующее преобразование (возведение в степень k): Т_kε_l = (ε₁)^h = ε_lk.

     Задача 2. Доказать, что если n = p – просто число, то каждое из преобразований Т_k (k = 1, 2, … , р – 1) осуществляет взаимно однозначное отображение множества корней на себя (т.е. множество {Т_kε₀, Т_kε₁, … , Т_kε_р-1} совпадает с множеством всех корней {ε₀, ε₁, … , ε_р-1}).

     Задача 1 показывает, что для всякого 1≤l≤р – 1 множество { Т₀ε_l , Т₁ε_l , … , Т_p-1ε_l } совпадает с множеством всех корней. Из задач 1 и 2 следует такой вывод: составим таблицу, в которой на пересечении k-й строки и l-го столбца стоит Т_kε₁ , 1≤k, l≤р – 1; тогда в каждой строке и каждом столбце стоят все корни ε₀, ε₁, … , ε_р-1 в некотором порядке без повторений. Отметим, что Т_p-1ε_l = ε_-l = (ε_l)^-1 .

     Далее рассмотрим случай р = 17. Будем говорить, что множество корней М инвариантно  относительно преобразования Т_k , если Т_kε_{1 М  для всем} ε_{1 М. Относительно всех преобразований Тk} инвариантно лишь множество всех корней {ε₁, … ,  ε₁₆}.

     Кардинальная  догадка заключается в том, что  группа корней тем «лучше», чем большее  число преобразований оставляет  эту группу инвариантной.

     Введем  для Т_k еще одну нумерацию Т_[l] , как это было сделано для ε_k : Т_[l] = Т_k , k = 3^l. В новых обозначениях

     (сумму  в квадратных скобках надо  брать по модулю 16).

     Задача 3. Доказать, что если некоторое множество корней инвариантно относительно некоторого Т_[k] , где k нечетно, то это множество инвариантно относительно всех преобразований Т_[m] , т.е. если оно не пусто, то совпадает с множеством всех корней.

     Указание. Достаточно показать, что если k нечетно, то существует такое m, что km дает при делении на 16 остаток 1.

     С другой стороны имеются две группы корней, инвариантные относительно всех Т_[k] с четным k: корни ε_[l] с четными l и корни с нечетными l. Их суммы обозначим через σ_2,0 , σ_2,1.

     Ясно, что σ_2,0 + σ_2,1 =  – 1. Исследуем   σ_2,0 × σ_2,1 . Это произведение является суммой попарных произведений ε_[k]× ε_[l] , где k – четное, l – нечетное, каждое из которых является некоторым корнем ε_[m] , а всего – 64 слагаемых. Мы покажем, что среди них каждый из корней  ε_[0], ε_[1], … , ε_[15] встречается одинаковое число раз (четыре раза), а в результате σ_2,0 × σ_2,1 = – 4. Воспользуемся тем, что преобразования Т_[k] сохраняют группы корней при k четном и переводят их одна в другую при k нечетном. Каждое слагаемое в σ_2,0 × σ_2,1 однозначно представимо в виде ε_[m] ε_[m+r] , где 0≤m≤15, r = 1, 3, 5, 7. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми r. Полученные суммы будут иметь вид

     Мы  воспользовались тем, что 

     И уже упоминавшимися свойствами Т_[m] .

     Значения  σ_2,0 , σ_2,1 найдены выше.

     Переходим к следующему шагу. Мы хотим ввести в рассмотрение новые, меньшие группы корней, инвариантные  относительно каких-нибудь Т_[k] . По аналогии с задачей 3 можно показать, что при этом k обязательно должно делиться на 4. Поэтому имеется четыре группы корней, инвариантные всех Т_[4l] и меньшие, чем уже рассмотренные; запишем суммы корней в каждой группе: σ_4,0 , σ_4,1 , σ_4,2 , σ_4,3. Мы уже отмечали, что σ_4,0 + σ_4,2 = σ_2,0; σ_4,1+ σ_4,3 = σ_2,1.

     Вычислим  произведение σ_4,0 × σ_4,2 ; оно представляется в виде суммы слагаемых вида ε_[4l] ε_[4l+2]. Каждое такое слагаемое однозначно записывается в виде ε_[2m] ε_[2m+2r] , r = 1, 3, m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сгруппируем слагаемые с одним r и заметим, что ε_[0] ε_[2]= ε₁ ε₉= ε₁₀ = ε_[3], ε_[0] ε_[6] = ε₁ ε₁₅ = ε₁₆ = ε_[16]. При r = 1 получаем сумму

     при r = 3 – сумму = σ_2,0 , т.е. σ_4,0 × σ_4,2 = σ_2,0 + σ_2,1 = – 1 . Решая квадратные уравнения, мы нашли σ_4,0 , σ_4,2.

     На  последнем шаге мы рассмотрим группы корней, инвариантные относительно Т_[8]; их восемь. В частности, σ_8,0 × σ_8,4 = σ_4,0.  Вычислим σ_8,0 × σ_8,4 . Учитывая, что ε_[0] ε_[4]= ε₁ ε₁₃= ε₁₄ = ε_[9], получаем σ_8,0 × σ_8,4 = Т_[0]ε_[9] + Т_[4]ε_[9] + Т_[8]ε_[9] + Т_[12]ε_[9]= σ_4,1. Это позволило найти σ_8,0 = 2cos (2π/17) и тем самым закончить решение.

     Мы  видела, что рассуждение Гаусса целиком  построено на использовании преобразований, переставляющих корни. Первым, кто обратил внимание на роль таких преобразований в вопросах разрешимости уравнений, был Лагранж (1736 – 1813). Вероятно, Гаусс в этот период еще не был знаком с работами Лагранжа. Позднее, Галуа (1811 – 1832) положил изучение этих преобразований в основу замечательной теории, ныне носящей его имя. По существу для уравнения деления круга Гаусс построил теорию Галуа в полном объеме.

     Возможные обобщения и простые  числа Ферма. Если не стремиться получить явное выражение для корней, а доказывать лишь их квадратичную иррациональность, то выкладки можно почти полностью опустить, обыгрывая, лишь соображения инвариантности. Именно, σ_2,0, σ_2,1 – сумма каких-то корней ε_[l] ,  а поскольку эта сумма переходит в себя под действием всех преобразований Т_[k], все корни входят в нее одинаковое число раз, а значит σ_2,0 × σ_2,1 – целое число. Аналогично, σ_4,0 × σ_4,2 не меняется при всех преобразованиях вида Т_[2k], а потому является комбинацией σ_2,j ; σ_8,0 × σ_8,4 сохраняется всеми Т_[4k], а значит, является комбинацией σ_4,j.

     Это сокращенное рассуждение позволяет  выявить, на какие простые р обобщается доказательство Гаусса квадратичной иррациональности корней р-й степени из 1. Анализ показывает, что мы пользовались лишь тем, что  р – 1 = 2^k (на каждом шаге группы делились пополам), и нумерацией корней, опирающейся на первообразность 3 для простого числа 17. Для нумерации можно было пользоваться любым первообразным корней. Как мы уже отмечали, для любого простого р хотя бы один первообразный корень существует (кстати, можно показать, что 3 является первообразным корнем для всех р вида 2^k + 1). Заметим также, что если р = 2^k + 1 – простое число, то k = 2^r . Итак, доказана возможность построения циркулем и линейкой правильного n-угольника для всех простых р вида

     Простые числа вида имеют свою историю. Эти простые числа принято называть числами Ферма. Ферма предполагал, что все числа такого рода являются простыми. Действительно, при r = 0 получаем 3, при r = 1 – 5, при r = 2 – 17. Далее при r = 3 получается 257, при r = 4 – 65537. Оба эти числа простые. При r  = 5 получается число 4294967297. Ферма и у него не обнаружил простых делителей, но Эйлер выяснил, что Ферма «просмотрел» делитель 641. Сейчас известно, что числа Ферма являются составными при r = 6,7,8,9,11,12,15,18,23,36,38,73 (например, при r = 73 имеется простой делитель 5×2⁷⁵ + 1). Имеется гипотеза, что существует лишь конечное число простых чисел Ферма.

     Что касается правильных n-угольников для  составного n, то в силу обстоятельств, отмеченных выше, мы сразу получаем возможность искомого построения для  всех n>2 вида 2^kp₁p₂…p_l, где p₁p₂…p_l, - различные простые числа Ферма. Замечательно, что других n, для которых возможно построение, вообще не существует. Доказательство этого утверждения Гаусс не опубликовал: «Хотя границы нашего сочинения не позволяют провести этого доказательства, мы думаем, что надо все же на это указать для того, чтобы кто-либо не пытался искать других случаев, кроме тех, которые указаны нашей теорией, например, не надеялся бы свести на геометрические построения деление окружностей на 7, 11, 13, 19, … частей и не тратил бы зря своего времени». Из результата Гаусса следует принципиальная возможность построения правильного р-угольника при р=257 и 65537, однако вычисление корней, не говоря уже о явном описании построения, требует колоссальной, но совершенно автоматической работы. Замечательно, что нашлись желающие ее провести не только при р = 257 (Ришело это сделал в сочинении из 80 страниц; есть сведения, что это построение проделал и сам Гаусс), но и при р = 65537 (решение, полученное Гермесом, содержится в чемодане солидным размеров в Геттингене). Вот какую шутку придумал по этому поводу английский математик Дж. Литлвуд: «Один навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением».

     Заключительные  замечания. Мы уже отмечали, что день 30 марта 1796 года, когда было найдено построение правильного 17-угольника, решил судьбу Гаусса. Ф. Клейн пишет:

     «С  этой даты начинается дневник… Перед  нашими глазами проходит гордый ряд  великих открытий в арифметике, алгебре  и анализе… И среди всех этих проявлений, мощных порывов гениального  духа, можно сказать, трогательно  находить до мелочей добросовестно  выполненные ученические работы, от которых не освобождены и такие  люди как Гаусс. Мы находим здесь  записи добросовестных упражнений в  дифференцировании, и непосредственно  перед делением лемнискаты здесь  встречаются совершенно банальные  подстановки в интегралах, в которых  должен упражняться любой студент».

     Работа  Гаусса надолго становится недосягаемым образцом математического открытия. Один из создателей неевклидовской геометрии  Янош Бойяи (1802 – 1860) называл его  «самым блестящим открытием нашего времени или даже всех времен». Только трудно было это открытие постигнуть! Благодаря письмам на родину великого норвежского математика Абеля (1802 – 1829), доказавшего неразрешимость в  радикалах уравнений 5-й степени, мы знаем о трудном пути, который  он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 г. Абель пишет из Германии: «Если  даже Гаусс – величайший гений, он, очевидно, не стремился, чтобы все  это сразу поняли…» Он решает не встречаться с Гауссом, но позднее  пишет из Франции: «Мне, в конце  концов, удалось приподнять завесу таинственности, окружавшую до сих  пор теорию деления круга, созданную  Гауссом. Теперь ход его рассуждений  ясен мне, как божий день». Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построение теории, в которой «столько замечательных  теорем, что просто не верится». ОН собирается в Германию, чтобы «взять Гаусса штурмом». Несомненно влияние Гаусса и на Галуа.

     Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первому открытию на всю  жизнь:

     «Рассказывают, что Архимед завещал построить  над своей могилой памятник в  виде шара и цилиндра в память о  том, что он нашел отношение объемов  цилиндра и вписанного в него шара – 3:2. Подобно Архимеду Гаусс выразил  желание, чтобы в памятнике на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Это показывает, какое значение сам  Гаусс придавал своему открытию. На могильном камне Гаусса этого  рисунка нет, но памятник, воздвигнутый Гауссу в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольном постаменте, правда, едва заметном зрителю» (Г. Вебер).

     Золотая теорема.

     30 марта 1796 г., в день когда был  построен правильный 17-угольник, начинается  дневник Гаусса – летопись  его замечательных открытий. Следующая  запись в дневнике появилась  уже 8 апреля. В ней сообщалось  о доказательстве теоремы, которую  он назвал «золотой». Частные  случаи этого утверждения доказали  Ферма, Эйлер, Лагранж. Эйлер  сформулировал общую гипотезу, неполное  доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс еще не знал  о работах своих великих предшественников. Весь нелегкий путь к «золотой  теореме» он прошел самостоятельно!

     Все началось с детских наблюдений. Иногда, глядя на очень большое число, можно сразу сказать, что из него нельзя извлечь корень. Например, можно  воспользоваться тем, что квадраты целых чисел не могут оканчиваться ни на 2, ни на 3, ни на 7, ни на 8. А иногда можно воспользоваться тем, что  квадрат целого числа может либо делиться на 3, либо давать остаток 1 (но никогда 2). Оба эти свойства имеют  одну природу, поскольку последняя  цифра – это  остаток от деления  на 10. Гаусса интересует общая проблема: какими могут вообще быть остатки  от деления квадратов на различные  простые числа. Исследуем и мы этот вопрос.