Изучение неравенств в школьном курсе математики основной школы

   Два неравенства называют равносильными, если они имеют одни и те же решения.

   При решении неравенств чаще всего применяются следующие равносильные преобразования.

1.      Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число или выражение с переменной, принимающее только положительные значения.

2.      Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число или на выражение с переменной, принимающее только отрицательные значения с одновременной заменой знака неравенства на противоположный.

3.      Перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака этих слагаемых.

4.      Изменение знаков у обеих частей с одновременной заменой знака неравенства на противоположный.

Рассмотрим, как применяются эти свойства в решении линейных неравенств.         

Пример 1. Решить неравенство:

         3 (х-2) – 4 (х+1) < 2(х-3) -2,

Упростим левую и правую части неравенства:

         3х – 6 – 4х – 4 < 2х – 6 – 2,

                     - х – 10 < 2х – 6 – 2,

                           - 3х < 2,

                               х > - 2/3

    Множество чисел х, удовлетворяющих неравенству  х > - 2/3, на числовой оси изображается лучом (рис. 5). Точка х = - 2/3 не принадлежит этому лучу, на рисунке 2 она изображена светлым кружком, а луч отмечен штриховкой.

  Множеству чисел х,  удовлетворяющих, например, неравенству х ≥ 2, также называют лучом. Точка х=2 принадлежит этому лучу, поэтому на рисунке 6 эта точка изображена темным кружком.

                   Ответ: х > - 2/3

Пример 2. Решить неравенство:

                 3(2-х) – 2 > 5 – 3х

Упростим левую часть неравенства:

                 6 – 3х – 2 > 5 – 3х,

                       4 – 3х > 5 – 3х,

                   - 3х + 3х > 5 – 4,

                           0 х >1

    Неравенство не имеет решение, так как левая часть неравенства при любом значении х равна нулю, а неравенство 0 х >1 неверно. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

                  Ответ: решений нет.

        2.3 Решение систем линейных неравенств с одной переменной

   Системы неравенств, подобно системам уравнений, возникают, когда есть несколько неравенств и требуется найти все значения переменных, при которых каждое из данных неравенств превращается в верное числовое неравенство.

   Однако имеется и отличие: системы уравнений бывают как минимум с двумя переменными, а в системе неравенств может быть и одна переменная. Например, требуется найти все значения  х, при которых одновременно выполняются неравенства 3х+5>7, 4+6х ≥ 4х+1, х > 0, 7-2х > 3.

   Обычно системы неравенств записывают так же, как и системы

уравнений, - с помощью фигурных скобок.

    Решением системы неравенств с одной переменной называется всякое число, при подстановке которого вместо переменной все неравенства, входящие в систему, превращаются в верные числовые неравенства.

   Решить систему неравенств – значит найти все ее решения или установить, что их нет.

   Пример 1. Решить систему неравенств

                        х > - 5,

                        х < 8,

                        х ≥ -3,

                        х > - 4,

                        х < 6.

  Если решать эту систему на координатной прямой, то получится рисунок, разобраться в котором будет нелегко. Поэтому сначала выбросим из нее лишние неравенства – следствия.

    Неравенство х < 8 следует из х < 6, неравенства х > - 5 и  х > - 4 следуют из неравенства х ≥ -3, и поэтому заданную систему можно переписать в виде

                    х < 6,

                    х ≥ -3

или в виде двойного неравенства   -3 ≤ х < 6.

   Ответ: [-3; 6).

Пример 2. Решить систему неравенств

                         3х + 7 < 0,

                         1 + 6х ≥ 4х – 3,

                         2х + 1 < 4х – 7.                       

   Первое неравенства имеет решения  х < - 7/3. Для второго имеем цепочку равносильных преобразований:

                    1 + 6х ≥ 4х – 3,

                    6х – 4х ≥ - 3 – 1,

                    2х ≥ -4, х ≥ - 2.

   Для третьего:

                           2х + 1 < 4х – 7,   2х > 8,    х > 4.       

   Таким образом, заданную систему можно переписать в виде

                           х < - 7/3,

                           х ≥ - 2,

                           х > 4.

   Первое и второе неравенства системы, очевидно, не имеют общих решений.

   Ответ: нет решений.

2.4  Квадратное неравенство и его решение

Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен,

а в правой – нуль, то такое неравенство называют квадратным.

   Решением неравенства с одним неизвестным называется, то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в  верное числовое неравенство.

   Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Пример.

х2 – 5х + 6  > 0

                   Решение:

      Приравняем неравенство х2 – 5х + 6  > 0 к нулю. Получим уравнение

х2 – 5х + 6  = 0, которое имеет 2 различных корня: х1=2, х2= 3. Следовательно, квадратный трёхчлен х2 – 5х + 6  можно разложить на множители:

х2 – 5х + 6 =(х-2)(х-3).

     Поэтому данное неравенство можно записать так: (х-2)(х-3)>0

Произведение множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки.

1)     Рассмотрим случай, когда х-2>0 и х-3>0 (т.е. оба множителя положительны). Эти 2 неравенства образуют систему:

                  х-2>0,

                  х-3>0.

Получаем:

                  х>2, 

                  х>3.   

Все числа х>3 являются решениями неравенства (х-2)(х-3)>0

2)     Теперь рассмотрим случай, когда х-2<0 и х-3<0.

Они образуют систему:

                                         х-2<0,

                                         х-3<0.

Решая систему получаем:  х<2,

                                              х<3.   х<2

Все числа х<2 так же являются решениями неравенства (х-2)(х-3)>0

     Значит решение неравенства являются числа х<2, а также числа х>3.

§ 3. Способы и методы решения неравенств

  3.1 Решение квадратного неравенства с помощью графика функции.

       Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где а ≠ 0. Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых на которых квадратичная функция принимает  положительные и отрицательные значения.

  Пример.

Решить с помощью графика неравенство 2х2 – х – 1 ≤ 0

Решение.

Графиком квадратичной функции  у = 2х2 – х – 1 – является парабола.

Для нахождения точек пересечения параболы с осью Ох решим квадратное уравнение  2х2 – х – 1 = 0

х 1,2 = 1 ± 4√1+8 = 1 ±4 3

х 1 = 1; х 2 = - ½

Следовательно парабола пересекает ось Ох в точках х = 1; х = - ½

Из рисунка 7 видно, что неравенству удовлетворяют все числа из отрезка

[- ½; 1].

   Ответ: - ½ ≤ х ≤ 1

  Для решения квадратного неравенства с помощью графика нужно:

1)     определить направление ветвей параболы по знаку первого

         коэффициента  квадратичной функции;

2)     найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения

или установить, что их нет;

  3) построить эскиз графика квадратичной функции, используя точки

            пересечения (или касания) с осью Ох, если они есть;

       4) по графику определить промежутки, на которых функция принимает

           нужные значения

3.2   Метод интервалов

   При решении неравенств часто применяют метод интервалов. Поясним этот метод на примерах.

   Пример 1.

Выяснить, при каких значениях х квадратный трехчлен 

х2 – 4х + 3 принимает положительные значения, а при каких – отрицательные. 

   Решение.

   Найдем корни уравнения х2 – 4х + 3 = 0:

                                    х1 = 1,  х2 = 3.

   Поэтому   х2 – 4х + 3 = (х-1)(х-3). Точки х = 1 и х = 3 разбивают числовую ось на 3 промежутка: х < 1,  1 < х < 3  и  х > 3.

  Промежутки х < 1,  х > 3, так же как и промежуток  1 < х < 3, называют интервалами.

  Двигаясь вдоль числовой оси справа налево, видим, что на интервале х > 3 трехчлен х2 – 4х + 3 = (х-1)(х-3) принимает положительные  значения, так как в этом случае оба множителя  х – 1  и  х – 3  положительны.

   На следующем интервале  1 < х < 3   этот трехчлен принимает отрицательные значения и, таким образом, при переходе через точку х = 3 меняет знак. Это происходит потому, что в произведении (х-1)(х-3) при переходе через точку х = 3 первый множитель х – 1 не меняет знак, а второй х – 3 меняет знак.

   При переходе через точку х = 1 трехчлен снова меняет знак, так как в произведении (х-1)(х-3) первый множитель х – 1 меняет знак, а второй х – 3 не меняет.

   Итак, при движении по числовой оси  справа налево от одного интервала к соседнему знаки произведения (х-1)(х-3) чередуются. Таким образом, задачу о знаке квадратного трехчлена х2 – 4х + 3 можно решить следующим способом.

  Отмечаем на числовой оси корни уравнения х2 – 4х + 3 = 0 – точки  х1 = 1,  х2 = 3. Они разбивают числовую ось на три интервала. Заметив, что на интервале х > 3 значения трехчлена х2 – 4х + 3 положительны, расставляем его знаки на остальных интервалах в порядке чередования.

   Рассмотренный способ называют методом интервалов. Этот метод используется для решения квадратных и некоторых других неравенств.

(рис. 8)

Алгоритм метода интервалов:

1.      Находят корни х1, х2, …, хr многочлена Р(х) и наносят их на координатную прямую, при этом координатная прямая разбивается на промежутки.

2.      Определяют знак многочлена Р(х) на одном из промежутков и, пользуясь свойством чередования знаков, расставляют знаки на остальных промежутках, руководствуясь правилом: при прохождении корня знак изменяется на противоположный, если корень имеет нечетную кратность, и сохранять неизменным, если корень имеет четную кратность; определение знака многочлена удобно начинать с крайнего справа промежутка, либо с промежутка, содержащего точку

    х = 0 (только если она не является корнем);

3. В результате получают диаграмму знаков многочлена, по которой 

    выбирают те промежутки знакопостоянства многочлена, которые

    соответствуют заданному условию:  > или < 0. Объединение этих

    промежутков дает решение неравенства Р(х) ≥ 0.

   ГЛАВА 2.  Изучение неравенств в школьном курсе математики 

                                              основной   школы. 

1. Требования к знаниям и умениям учащихся по теме: «Неравенства».

   В результате изучения темы «Неравенства» в курсе основной школы учащиеся должны:

      правильно употреблять термин «неравенство», понимать его в тексте, в речи учителя, понимать формулировку

     «решить неравенство»;

      уметь решать линейные неравенства и системы линейных неравенств; квадратные неравенства; нестрогие неравенства;

      иметь представление о графическом способе решения неравенств;

      иметь представление о решении неравенств методом интервалов;

       2. Анализ учебников.

  Для того, чтобы лучше увидеть как идет процесс формирования обобщенных приемов решения неравенств у учащихся в школьном курсе, проведем сравнительный анализ двух авторов Ш. А. Алимова и др. и

К. С. Муравина и др.

Ш. А. Алимов и др.   8 класс. 

                   Глава I. «Неравенства»

   § 2. Числовые неравенства.

   § 3. Основные свойства числовых неравенств.

   § 4. Сложение и умножение неравенств.

   § 5. Строгие и нестрогие неравенства.

   § 6. Неравенства с одним неизвестным.

   § 7. Решение неравенств.

   § 8. Системы неравенств с одним неизвестным.

   § 9. Решение систем неравенств.

                    Глава IV. «Квадратные неравенства»

  § 40. Квадратное неравенство и его решение.

  § 41. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной

           функции.

  § 42. Метод интервалов.

   9 класс. Глава II. «Степень с рациональным показателем»

       § 11. Возведение в степень числового неравенства.

                 Глава III. «Степенная функция»

       § 16. Неравенства и уравнения, содержащие степень.

К. С. Муравин и др.  9 класс.

                     Глава I. «Неравенства»

      § 1. Свойства неравенств.

      § 3. Линейные неравенства с одной переменной.

      § 4. Рациональные неравенства с одной переменной. Метод интервалов.                 

   Если мы посмотрим на сравнительный анализ двух авторов Ш. А. Алимова и др. и  К. С. Муравина и др., то увидим, Ш. А. Алимов и др. числовые неравенства начинает изучать в начале 8 класса и отводит для изучения их свойств два параграфа. Чего нельзя сказать о К. С. Муравине и др., который знакомит учащихся с неравенствами и их свойствами лишь в 9 классе. Так же Ш. А. Алимов в 8 классе изучает неравенства с одним неизвестным, решение систем неравенств.

   Общее у двух авторов, то что в конце изучения темы как Ш. А. Алимов, так и  К. С. Муравин, они раскрывают метод интервалов, Ш. А. Алимов это делает в 8 классе, а К. С. Муравин лишь в 9 классе.

    Сравним, сколько часов отводит каждый из авторов на изучение тем:

- в учебнике авторов Ш. А. Алимова и др. из 102 часов в 8 классе на изучение неравенств отводится 28 часов. В 9 классе изучается «Возведение числового неравенства в степень с натуральным показателем». Эта тема входим в раздел «Степень с целым показателем», на которую отводится 10 часов.