Изучение неравенств в школьном курсе математики основной школы

                          Государственное образовательное учреждение

                            среднего профессионального образования

               Азовский областной музыкально – педагогический колледж

             КУРСОВАЯ  РАБОТА

       Тема: «Изучение неравенств в школьном курсе        

                       математики  основной школы»

                                   050201 Математика

                                                      г. Азов

                                     Содержание

Введение ………………………………………………………………………. 3

Глава 1. Виды неравенств и способы их решения

1. Понятие неравенства ………………………………………………………..6

2. Виды неравенств

    2.1 Числовые неравенства и их свойства ………………………………….. 7

   2.2 Линейные  неравенства с одним неизвестным ………………………. .10

    2.3 Решение систем неравенств с одним неизвестным …………………....15

    2.4 Квадратное неравенство и его решение ……………………………….17

3. Способы и методы решения неравенств

    3.1 Решение квадратного неравенства с помощью графика функции ……19

    3.2 Метод интервалов…………………………………………………………21

Глава 2.   Изучение неравенств в школьном курсе математики основной

                 школы

1. Требования к знаниям и умениям учащихся по теме: «Неравенства»……23

2. Анализ учебников…………………………………………………………….23

Разработка внеклассного занятия ……………………………………………...26

Заключение ………………………………………………………………………31

Список литературы………………………………………………………………32

                                            ВВЕДЕНИЕ

      Математика – одна из древнейших наук, которая изучает действия над арифметическими числами. Знания по математике применяются во многих отраслях науки: экономике, химии, биологии, физике, географии и многих других.

    В школьном курсе математики изучаются разные темы, одной из которых являются неравенства. Неравенствами называют выражения вида:

a < b (a ≤ b), a > b (a ≥ b). Неравенства начали изучать еще в древнейшие времена и продолжают изучать в наши дни. Впервые современный знак равенства (=) ввел английский врач и математик Роберт Рекорд. Он был автором первых учебников по арифметике и алгебре на английском языке.

   Существует много видов неравенств: числовые неравенства, строгие и нестрогие неравенства, неравенства с одним неизвестным, равносильные неравенства, рациональные и иррациональные неравенства, показательные неравенства, тригонометрические неравенства.

    Роль неравенств в школьном курсе математики велика. Неравенства представляют интерес для изучения, т.к. именно с их помощью на символическом языке записывают важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности. При изучении любой темы неравенства могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.

     Еще задолго до прихода в школу дети приобретают опыт в обращении с понятиями «больше», «меньше», «не равно».  С отношениями «больше», «меньше» между числами и знаками этих отношений «>», «<» дети знакомятся в 1классе, при изучении чисел первого десятка. Во втором классе выполняют упражнения на сравнение буквенных выражений.

    Но термин «неравенство» еще не употребляется, он вводится в начале 3-го класса, и так далее. В процессе обучения учащиеся все больше знакомятся с неравенствами и их различными видами.

      Если сравнить учебнике по алгебре 8 класса, то можно увидеть, что:

- в учебнике авторов Муравина К. С., Муравина Г. К. и других из 102 часов на изучение неравенств отводится 27 часов; Муравин К. С. И др. начинают изучение неравенств начинает лишь в 9 классе;

- в учебнике авторов  Алимова Ш. А., Колягина Ю. М. и других из 102 часов на изучение неравенств отводится 28 часов.

    Этого времени не хватает, чтобы полностью изучить тему.

Для итоговой аттестации учащихся включают также и неравенства. Если, возьмем Единый государственный экзамен по математике за 2002 год и 2003 год, то увидим, что неравенства здесь тоже присутствуют.

  Если тема «Неравенства» включена в Единый государственный экзамен, то значит данная тема является актуальной.

    Объектом исследования является процесс усвоения учащимися темы: «Неравенства».

     Предмет исследования – обучение учащихся основной школы приемам решения неравенств.

    Гипотеза: качество знаний учащихся может быть повышено при применении на уроках математики элемента научного подхода к неравенствам, применение компьютерных программ, наглядных пособий.

Задачи исследования:

1.      Изучить научно – методическую литературу по данному вопросу. Выявить особенности усвоения темы в школьном курсе.

2.      Разработать дополнительные занятия для углубления знаний по теме: «Неравенства»

3.      Разработать серию нестандартных уроков для привития интереса к математике.

ГЛАВА 1. ВИДЫ НЕРАВЕНСТВ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

                         § 1. Понятие неравенства.

     Выражения вида a < b (a ≤ b), a > b (a ≥ b) называют неравенствами.

     Неравенства со знаками   >  (больше) и  <  (меньше) называют строгими.

(a > b,  с < d – строгие неравенства).

     Наряду со знаками строгих неравенств  <  и  >  используются знаки ≥  (больше или равно) и ≤ (меньше или равно), которые называют знаками нестрогих неравенств. Неравенство a ≤ b означает, что a < b или a = b, т.е. а не больше b. Точно также неравенство a ≥ b означает, что число а больше или равно b , т.е.  а не меньше b.

        Неравенства, содержащие знак  ≥ или знак ≤ , называют нестрогими.

(a ≥ b, с ≤ d – нестрогие неравенства).

        Решить неравенство – это значит найти все его решения, или установить, что их нет.

        Сравнить числа а и в – значит выяснить, какой из знаков >, =, < нужно поставить между этими числами, чтобы получить верное соотношение.

                           § 2. Виды  неравенств.

                    2.1. Числовые неравенства и их свойства

Определение: Число а больше числа b, если разность а – b положительна.

                         Число а меньше числа b, если разность а – b отрицательна.

Свойство 1. Если a > b  и  b >c,  то  a > c.

Доказательство: по условию a > b, т.е. a – b – положительное число. Аналогично, так как  b >c, то b – c – положительное число.

  Сложив положительные числа a – b  и  b – c, получим положительное число. Имеем  (a – b) + (b – c) = a – c . Значит a – c – положительное число, т.е.  a > c.

                                                                                           Ч. т. д.

      Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множество действительных чисел, т.е. числовую прямую. Неравенство a > b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b >с – что точка b расположена правее точки с (рис. 1). Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т.е. a > c.

     Свойство 1 обычно называют свойством транзитивности.

Свойство 2. Если a > b, то а + с > b + с.

Свойство 3. Если a > b и m > 0, то am > bm;

                      если  a > b и m < 0, то am < bm.

                    Смысл свойства 3 заключается в следующем:

                    если обе части неравенства умножить на одно и то же     

                    положительное число, то знак неравенства следует сохранить;              

                    если обе части неравенства умножить на одно и то же

                   отрицательное число, то знак неравенства следует изменить.

Свойство 4.  Если a > b и с > d, то а + с > b + d .

Доказательство.

I способ. Рассмотрим разность (а + с) – (b + d) . Ее можно преобразовать к виду (а - b) + (c – d). По условию, a > b и с > d, значит, а –b и c – d – положительные числа. Тогда и их сумма, т.е. (а - b) + (c – d) – положительное число. Так как,

                          (а - b) + (c – d) = (а + с) – (b + d),

то и  (а + с) – (b + d) – положительное число, поэтому а + с > b + d.

II  способ. Так как a > b, то, согласно свойству 2, а + с > b + с. Аналогично, так как  с > d, то с + b > d + b.

  Итак, а + с > b + с, с + b > d + b. Тогда в силу свойства транзитивности получаем, что а + с > b + d.

Свойство 5. Если a, b, c, d – положительные числа и   a > b, с > d,то ас > db.

Доказательство.  Так как a > b  и  с > 0, то ас > bс. Аналогично, так как

с > d и  b > 0, то cd > bd.

    Итак, ас > bс, cd > bd. Тогда, согласно свойству транзитивности, получаем, что ас > db.

Свойство 6.   Если а и b – неотрицательные числа и а > b, то  аn > bn,

                        где n – любое натуральное число.

Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства – неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Дополнение к свойству 6. Если n – нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а > b следует неравенство того же смысла аn > bn.

                        2.2 Линейные неравенства с одним неизвестным

   Неравенство с одним неизвестным – это неравенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

    3х + 4 < 5х + 2

  Решение неравенства с одним неизвестным – значение неизвестного, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

  Например, число 3 является решением неравенства х + 1 > 2 – х, так как

3 + 1 > 2 – 3

   Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

     В записи решений неравенства появляется особенность, которой нет в уравнениях. Практически все уравнения имели небольшое количество корней, которые и перечислялись в ответе. Неравенство же имеет, как правило, бесконечно много решений, что требует специальной формы записи ответа. Одна из этих форм связана с представлением решений на координатной прямой.

          Например, решения неравенства х > 4 на координатной прямой лежат справа от точки 4 или, говоря на геометрическом языке, составляют луч. Этот луч обозначается следующим образом: (4; +∞)

         Светлая точка на рисунке 2 означает, что число 4 не является решением данного неравенства.

          Решения нестрогих неравенств х ≥ а  и  х ≤ а также образуют лучи, но они содержат начало луча – точку а. На рисунке 3 точка с координатой а отмечена черным кружком.

   Эти лучи обозначаются соответственно [а; + ∞) и ( - ∞; а], и  их принято называть замкнутыми лучами. Лучи (а; + ∞)  и  ( - ∞; а) называют открытыми.

   Решения двойных неравенств, т.е. неравенств вида

      а < х <b,          a ≤ x < b,          a < x ≤ b,          a ≤ x ≤ b,

образуют на координатной прямой промежутки, которые обозначаются  соответственно символами (a; b), [a; b), (a; b], [a; b].

   Эти промежутки называют конечными, а  лучи бесконечными промежутками.

   Промежуток (а; b) часто называют открытыми или интервалом, а промежуток [a; b] – замкнутым или отрезком, промежутки [a; b) и (a; b] – полуинтервалами, замкнутыми слева и справа. (рис. 4)

   Обычный способ решения неравенств состоит в том, что с помощью некоторых преобразований исходное неравенство приводят к простейшему виду. При этом требуется, чтобы преобразование неравенства не приводило ни к потере, ни к появлению лишних решений. Другими словами, и исходное и полученное в процессе решения неравенства должны иметь одни и те же решения.