Исследование функций

 

 

2.Признаки возрастание и убывание функции.

  Определение 1. Функция f(x) называется  возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если

f(x2) > f(x1) при x2 > x1.

Рис.1 (а)

Рис.1 (б)

  Из этого определения следует,  что у возрастающей в интервале  (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют одинаковые знаки.

  График возрастающей функции  показан на рисунке 1(а).

  Если из неравенства x2 > x1 вытекает  нестрогое неравенство f (x2) і f (x1), то функция f (x) называется  неубывающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C

  Определение 2. Функция f (x) называется  убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если

f(x2) < f(x1) при x2 > x1.

  Из этого определения следует,  что у убывающей в интервале  ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют разные знаки.

  График убывающей функции показан  на рисунке 1(б).

  Если из неравенства x2 > x1 вытекает  нестрогое неравенство f(x2) Ј  f(x1), то функция f (x) называется невозрастающей  в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C.

Рис.2 (а)

Рис.2 (б)

  Теорема 1. Дифференцируемая и  возрастающая в интервале ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.

  Доказательство. Так как функция  f (x) возрастает в интервале ( a, b ), то знаки у приращений Dx и Dy в любой точке этого интервала одинаковы. Следовательно отношение положительно, а потому и производная будет положительна или равна нулю в интервале ( a, b ), так как отношение как положительная величина может стремиться или к положительному числу или к нулю (смотри рисунок 1(а)).

  Очевидно, теорема 1 имеет место  и для неубывающей в интервале  ( a, b ) функции (смотри рисунок 2(а)).

  Теорема 2. Дифференцируемая и  убывающая в интервале ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.

  Доказательство. Так как функция  f (x) убывает в интервале ( a, b ), то в любой точке этого интервала знаки у приращений Dx и Dy различны. Поэтому отношение имеет отрицательный знак, а следовательно и производная или имеет отрицательный знак, или обращается в нуль, так как соотношение , как отрицательная величина, может стремиться или к отрицательному числу или к нулю (смотри рисунок 1(б)).

  Очевидно, теорема 2 имеет место  и для невозрастающей в интервале  ( a, b ) функции (смотри рисунок 2(б)).

Рис. 3

  Пусть данная непрерывная функция  убывает при возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1 до x2 - возрастает, при дальнейшем  возрастании x от x2 до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся.

  График колеблющейся функции  показан на рисунке 3. Точки  A, C, в которых функция переходит  от возрастания к убыванию, так  же, как и точки B, D, в которых  функция переходит от убывания  к возрастанию, называются точками  поворота или критическими точками  кривой y = f (x), а их абциссы - критическими значениями аргумента x

  В той точке, где функция  переходит от возрастания к  убыванию, ордината больше соседних  с ней по ту и другую сторону  ординат. Так, ордината точки  A больше ординат, соседних с  ней справа и слева и достаточно  к ней близких, т.е. значение  функции в точке A, абсцисса  которой равна x0, больше значений  функции в точках, абсциссы которых  достаточно близки к x0 :

f (x0) > f (x0+Dx).

Рис.4 (а)

Рис.4 (б)

  На рисунке 4(a) изображена функция  f (x), непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b ) - убывает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству

f (x0)іf (x).

  Значение f (x0) функции f (x), при котором  выполняется вышеуказанное неравенство,  называется максимальным значением  функции f (x) или просто максимумом.

  Определение 3. Максимумом функции  f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не меньше  всех значений функции f (x) в  точках x, достаточно близких к  точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих  некоторой достаточно малой окрестности  точки x0 .

  Так, на рисунке 3 показаны два  максимума: f (x0) и f (x2) .

  В той точке, где функция  переходит от убывания к возрастанию,  ордината меньше ординат в  достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева  от нее. Так ордината точки  B меньше ординат в точках соседних  и достаточно близких к точке  x1 справа и слева. Значение  функции в точке, абсцисса которой  равна x1 , меньше значений функции  в точках, абсциссы которых достаточно  мало отличаются от x1 :

f (x1) < f (x1+Dx).

  На рисунке 4(б) изображена функция  f (x), непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b ) - возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству

f (x0)Јf (x).

  Значение f (x0) функции f (x), при котором  выполняется вышеуказанное неравенство,  называется минимальным значением  функции f (x) или просто минимумом.

  Определение 4. Минимумом функции  f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не больше  всех значений функции f (x) в  точках x, достаточно близких к  точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих  некоторой достаточно малой окрестности  точки x0 .

  Так, на рисунке 3 показаны два  минимума: f (x1) и f (x3) .

  По определению наибольшим значением  функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)іf (x), а наименьшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)Јf (x).

  Из этих определений следует,  что функция может достигать  своего наибольшего или наименьшего  значения как внутри интервала  [ a, b ] , так и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки x0 .

  Если в точке x0 функция f (x) достигает  максимума или минимума, то говорят,  что функция f (x) в точке x0 достигает  экстремума (или экстремального  значения).

  Функция f (x) может иметь несколько  экстремумов внутри интервала  [ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.

  Аналогично наименьшее значение  функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала.

Рис. 5

Например  функция, изображенная на рисунке 3, достигает  наибольшего значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1 интервала  [ x0, x3 ]. На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов.

  Теорема 3 (необходимый признак  экстремума). Если функция f (x) имеет  в точке x0 экстремум, то ее  производная в данной точке  или равна нулю или не существует.

  Доказательство. Пусть в точке  x0 функция f (x) дифференцируема и  достигает максимума (рисунок  3 и рисунок 4(а)). Это значит, что  при достаточно малом h > 0 как  f (x0 + h) Ј f (x0), так и f (x0 - h) Ј f (x0).

  Из этих неравенств следует, что

  Отсюда

 

а потому

 

и в то же время

 

  Следовательно f' (x) = 0.

  Аналогично доказывается первое  утверждение теоремы 3 и в том  случае, когда функция f (x) достигает  в точке x0 минимума.

  Но функция f (x) может иметь  экстремумы и в тех точках x0, в которых ее производная не  существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.

Рис. 6

  На рисунке 6 изображена функция  f (x), не имеющая в точке x0 производной  [f' (x0) = Ґ] и достигающая в этой точке максимума. При x² x0 и x < x0     f' (x) ® +Ґ, при x² x0 и x > x0     f' (x) ² -Ґ. Значит касательная кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки называются точками возврата кривой y = f (x).

  Таким образом, необходимым признаком  существования в точке x0 экстремума  функции f (x) является выполнение  следующего условия: в точке  x0 производная f' (x) или равна нулю, или не существует.

  Этот признак не является достаточным  условием существования экстремума  функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих экстремума при x = x0.

  Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако  эта функция при x0 = 0 не достигает  экстремального значения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Схема исследование функций

После того как мы обсудили многие аспекты  поведения функции и способы  их исследования, сформулируем общую  схему исследования функции. Эта  схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего  основные черты её поведения.

Пусть дана функция Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.)

 

2). Выяснить общие свойства функции,  которые помогут в определении  её поведения: не является ли  функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево  или вправо по оси ), не является ли она периодической.

 

3). Выяснить, как ведёт себя функция  при приближении аргумента к  граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот.

 

4). Если область определения вклоючает в себя лучи вида или , то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при или соответственно.

 

5). Найти точку пересечения графика  с осью  (если ). Для этого нужно вычислить значение . Найти также точки пересечения графика с осью , для чего найти корни уравнения (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

 

6). Найти интервалы монотонности  функции  (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной .

 

функции.

 

7). Найти интервалы выпуклости и  вогнутости функции. Это делается  с помощью исследования знака  второй производной . Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

 

8). В некоторых случаях бывает  нужно найти характерные точки  графика, которые не были упомянуты  в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную  асимптоту, то можно попытаться  выяснить, нет ли точек пересечения  графика с этой асимптотой.

 

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных  точек (точек пересечения с осями  координат, точек графика, соответствующих  точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

 

 

4.Примеры исследование функций

Примеры: в нижеследующих примерах приведены  образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими  обратные тригонометрические функции.

 

Пример  №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

 

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию 

 

y = arcsin(1/x)

Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,

 

  | x | ≥ 1 ,

 

( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

 

Функция нечетная

 

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает  на пр. [0;π/2] )

 

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

 

y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

 

Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

Пример  №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).

 

Решение:

Д(f): [-1;1]

 

Четная

 

f(x) убывает на пр. [0;1]

f(x) возрастает на пр. [-1;0]

 

Пример  №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

 

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2

 

f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0. f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.

Пример  №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))

 

Решение:

 

Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )

 

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать  функцию на двух промежутках:

 

[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )

X	(-∞;1)		(0,1)	1	( 1 ; +∞ )
yI	-		-	0	+
Y	убывает		убывает	е	возрастает
min