Исследование функций

 

 

 

Научная работа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

План:

Введение

1. Понятие производной

2. Признаки возрастания и убывания

3. Схемы исследования

4. Примеры исследования функций

Примеры

Заключение

Список  литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Изучение  свойств функции и построение ее графика являются одним из самых

замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции

неоднократно  подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в

том,что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более

сложными  функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились

исключения  из разработанных математикой правил, появились случаи, когда

вообще  созданные правила не годились, появились  функции, не имеющие ни в

одной точке производной.

Целью изучения курса алгебры и начала анализа является

систематическое изучение функций, раскрытие прикладного  значения общих

методов математики, связанных с исследованием  функций.

Выбрав  тему реферата «Исследование функции  с помощью производной» я поставила следующие задачи:

- систематизировать свои знания  о функции, как важнейшей математической  модели;

- усовершенствовать свое умение  в применении дифференциального  исчисления для исследования элементарных функций.

Развитие  функциональных представлений в  курсе изучения алгебры и начал

анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить

наглядные представления о непрерывности  и разрывах функций, узнать о

непрерывности любой элементарной функции на области  ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях  и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Работа  над содержанием темы «Исследование  функций с помощью производной»

повысит уровень моей математической подготовки, позволит решать задачи более высокой сложности по сравнению с обязательным курсом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. Развитие понятия функции.

Принципиально новая часть курса алгебры  посвящена изучению начал анализа.

Математический  анализ – ветвь математики,  оформившаяся в XVIII столетии и

включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное

исчисления.  Анализ возник благодаря усилиям  многих математиков и сыграл

громадную роль в развитии естествознания –  появился мощный, достаточно

универсальный метод исследования функций, возникающих  при решении

разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа – одна из важнейших целей курса.

Начиная с  XVIII века одним из важнейших  понятий является понятие функции.

Оно сыграло и поныне играет большую  роль в познании реального мира.

Необходимые предпосылки к возникновению  понятия функции были созданы, когда

возникла  аналитическая геометрия, характеризующаяся  активным привлечением

алгебры к решению геометрических задач.

Идея  функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.

Однако  явное и вполне сознательное применение понятия функции и

систематическое изучение функциональной зависимости  берет свое начало в XVII

веке в связи   с проникновением в математику идеи переменных.

Четкого представления понятия функции  в XVII веке еще не было, однако путь к

первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции  стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Явное определение функции было впервые  дано в 1718 году Иоганном Бернулли :«Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом  из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к

определению своего учителя И.Бернулли, несколько уточняя его. Правда, он не

всегда  придерживался вышеуказанного определения. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки».

В «Дифференциальном исчислении», вышедшим в свет в 1755 году, Эйлер дает

общее определение функции: «Когда некоторые  количества зависят от других

таким образом, что при изменении последних  и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Большой вклад  в решение споров внес Жан  Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках  различными аналитическими выражениями.

Во  второй половине XIX века понятие функции  формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие

некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на

множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.

Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, нои к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.

Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой

половине  XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало

вызывать  некоторые сомнения среди части  математиков.

Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки

классического определения функции.

Сергей  Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики.

Важный  вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и

последователи Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие.

Краткий обзор развития понятия функции  приводит к мысли о том, что  эволюция

еще  далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда не

закончится  и эволюция математики в  целом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Основные свойства функции.

2.1. Определение функции и графика  функции. Область определения  и область

значений  функции. Нули функции.

Умение  изображать геометрически функциональные зависимости, заданные

формулами, особенно важно для успешного  усвоения курса высшей математики.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у,

соответствующее числу х, называют значением функции f  в точке х и обозначают

f(x).

Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.

     Аналитический – с помощью формул.

     Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако

лишь  для конечного набора значений аргумента.

     Графический способ задания функции  очень удобен: он дает возможность

наглядно  представить свойства функции.

Графиком  функции f  называют множество всех точек (х;у) координатной

плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю  область определения функции f.

Прямая  yас=kх+b называется наклонной асимптотой кривой y=f(х), если расстояние от точки (x; f(х)) кривой до этой прямой стремится к нулю при х® Ґ . При этом

 

 

При k=0 имеем горизонтальную асимптоту:y=b.

 

Если

 

 

то  прямая х=а называется вертикальной асимптотой.

 

 

 

Общая схема исследования функции и  построения ее графика.

 

I. Элементарное исследование:

 

1) найти область определения функции;

 

2) исследовать функцию на симметричность  и периодичность;

 

3) вычислить предельные значения  функции в ее граничных точках;

 

4) выяснить существование асимптот;

 

5) определить, если это не вызовет  особых затруднений, точки пересечения  графика функции с координатными  осями;

 

6) сделать эскиз графика функции,  используя полученные результаты.

 

Если  исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться  друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить  правильность результатов отдельных  этапов и исправить найденные  ошибки.

1.Понятие производной

При решении различных  задач геометрии, механики, физики и  других отраслей знания возникла необходимость  с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

 

 

Тот процесс, с  помощью которого из данной функции  f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение x и определяем соответствующее приращение функции y = f(x+x) -f(x); 2) составляем отношение

 

 

3) считая x постоянным, а x ¦0, находим

 

,

 

который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу. Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,

,  или  

 

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение

 

при x¦0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x₀

 

f(x)

 

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика  функции - точку А(x₀, f (х₀)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при параллельных). Но ÐALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем  уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти  к пределу при ∆х → 0 в равенстве  tgβ =∆y/∆x, то получим или tga =f '(x₀), так как a-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по  определению производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tga = f '(x₀).

Итак, геометрический смысл производной заключается  в следующем:

Производная функции  в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

 

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t₀; t₀+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е. Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве   при ∆t → 0. lim Vср (t) = n(t₀) - мгновенная скорость в момент времени t₀,  ∆t → 0. а lim  = ∆x/∆t = x'(t₀) (по определению производной). Итак, n(t) =x'(t).

Физический смысл  производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀

Производная применяется  в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной  функции скорости от времени. u(t) = x'(t) - скорость,  a(f) = n'(t) - ускорение, или a(t) = x"(t). Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении: φ = φ(t) - изменение угла от времени,  ω = φ'(t) - угловая скорость, ε  = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного  стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня: m = m(х) - масса, x Î [0; l], l - длина стержня, р = m'(х) - линейная плотность. С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω² =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω²x(t) = 0, где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m). Уравнение вида у" + ω²y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция у = Asin(ωt + φ₀) или у = Acos(ωt + φ₀), где  А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,  φ₀ - начальная фаза.