Геометрия на сфере

определяющей угол между векторами пространства , расстояние δ  между точками Х() и Y() пространства с радиусом кривизны ρ определяется по формуле

                                     .                                (2.2.3)

2.3. Тригонометрия и площадь треугольника.

       Из того, что на сферах пространства имеют место формулы сферической тригонометрии, следует, что для треугольника АВС пространства со сторонами a, b, c, лежащими против углов А, В, С, имеют место те же формулы, т.е. теореме косинусов

                             ,                        (2.3.1)

теорема синусов

                                                                            (2.3.2)

и двойственная теорема косинусов

                            .                          (2.3.3)

      Частным случаем теоремы косинусов для прямоугольного треугольника с прямым углом А является эллиптическая теорема Пифагора

                                         .                                       (2.3.4)

      Формула (2.3.3) позволяет определять стороны треугольника на плоскости по его углам, откуда видно, что на плоскости не существует треугольников с равными углами, но неравными сторонами.

        Из теоремы о площади сферического треугольника на сфере пространства следует, что площадь треугольника АВС на плоскости выражается через его углы по формуле

                                             ,                             (2.3.5)

т.е. площадь треугольника на плоскости пропорциональна его угловому избытку

                                                .                                (2.3.6)

       Из формулы (2.3.5) видно, что сумма углов треугольника на плоскости всегда больше π.

2.4. Координаты.

       В качестве координат точки Х пространства можно рассматривать координаты вектора пространства , представляющего эту точку. Будем называть точки ,,…, пространства , представляемые базисными векторами ,…, пространства , базисными точками, а m-плоскости … - координатными m-плоскостями, при m=1 – координатными осями.

       В случае пространства с радиусом кривизны ρ мы будем пользоваться базисом пространства , состоящим из перпендикулярных векторов длины ρ. Если требовать, чтобы векторы пространства , представляющие точки пространства , удовлетворяли условию (2.1.1), мы можем переписать это условие в координатах в виде

                                                .                                       (2.4.1)

         Заменяя сферические координаты на n-сфере пространства , являющиеся углами между векторами, на отношения , мы определим декартовы координаты в пространстве , являющиеся расстояниями между точками: - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на координатную плоскость … , - длина перпендикуляра, опущенного из основания первого перпендикуляра на координатную (n-2)-плоскость … , - длина перпендикуляра, опущенного из основания второго перпендикуляра на координатную  (n-3)-плоскость … , и т.д. до расстояния от основания (n-1)-го перпендикуляра до точки .

        Декартовы координаты ,…, точки пространства связаны с координатами ,…, этой точки соотношениями

                                                      (2.4.2)

       На сфере угол изменяется от –π до +π, а углы - от –π/2 до +π/2. Поэтому в пространстве все углы изменяются в пределах от –π/2 до +π/2, вследствие чего декартовы координаты ,…, точки пространства изменяются от – до +.

2.5. Объемы.

        Заменяя в выражении элемента объема n-сферы в пространстве в сферических координатах сферические координаты на отношения , мы получаем, что элемент объема пространства  в декартовых координатах равен

                                            (2.5.1)

и объем всякой кубируемой области U в пространстве равен

                      .               (2.5.2)

        В частности, в случае, когда интегрирование проводится по всему пространству , мы получим, что объем всего пространства с радиусом кривизны ρ равен половине объема сферы радиуса ρ в пространстве , т.е. объем пространства с радиусом кривизны  ρ при четном и нечетном n соответственно равен

                                   ,      .                      (2.5.3)

  Формула (2.5.3) дает при n=1 (считая 0!!=1), 2, 3 и 4 соответственно

                            ,  ,  ,  .              (2.5.4)

Глава 3. Понятие об эллиптической геометрии Римана.

      Если в геометрии Евклида через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной, а в геометрии Лобачевского – две, то в эллиптической геометрии Римана вовсе не существует параллельных прямых. В эллиптической геометрии имеет место следующая аксиома:

     Всякая пара прямых, лежащих в одной плоскости, пересекается (*). [3]

     Выясним, какие основные изменения следует внести в систему аксиом Гильберта, чтобы получить аксиоматику эллиптической геометрии, причем мы ограничимся лишь двумерной эллиптической геометрией.

     Так как совокупность аксиом Гильберта групп  I – IV совместима только с двумя аксиомами параллельности – Плейфера и Лобачевского, то ясно, что для построения системы аксиом эллиптической геометрии необходимо внести изменения в гильбертовские аксиомы первых четырех групп. Что касается аксиомы параллельности Гильберта V [3], то нетрудно видеть, что она остается в силе и в эллиптической геометрии, так как является прямым следствием указанной выше аксиомы (*) эллиптической геометрии об отсутствие параллелизма. Но в таком случае аксиому V надо исключить из перечня аксиом как излишнюю, а введенную вместо нее аксиому (*) целесообразно поместить в группу I аксиом соединения.

    Таким образом, V группа аксиом отпадает, а группа I аксиом соединения эллиптической планиметрии будет состоять из следующих аксиом:

I₁. Через всякие две точки А и В проходит прямая.

I₂. Через две точки А и В проходит не более одной прямой.

I₃. На каждой прямой существуют по крайней мере две точки.

I₄. Всякая пара прямых, лежащих в одной плоскости, пересекается, т.е. имеет общую точку.

     Какие же свойства эллиптической прямой вытекает из этой группы аксиом.

    Эллиптическая прямая  замкнута аналогично окружности. Из замкнутости прямой следует, что для трех точек прямой А, В и С понятие «лежать между» теряет определенный смысл, ибо каждая из них лежит между двумя другими, а потому понятие «лежать между» не характеризует их взаимного расположения.

     Чтобы характеризовать взаимное расположение точек на эллиптической прямой, вводится другое основное понятие: «разделение двух пар точек». [3]

     Отметим некоторые характерные особенности, имеющие место в эллиптической геометрии.

    В отличие от геометрии Евклида и Лобачевского в эллиптической геометрии точка не делит прямую на два луча, а две точки А и В на прямой определяют не один, а два взаимно дополнительных отрезка.

    Другое отличие заключается в том, что прямая в эллиптической плоскости не делит эту плоскость на две полуплоскости.

    Однако можно утверждать, что две прямые разделяют плоскость на две части, каждая из которых образует угол. Таким образом, при точке О образуются два взаимно дополнительных угла, которые называются смежными углами. Если смежные углы равны, то они называются прямыми углами. Сумма смежных углов равна 2d.

    Из замкнутости эллиптической прямой и разделения ее двумя точками на два взаимно дополнительных отрезка следует, что три точки А, В и С эллиптической плоскости, не лежащие на одной прямой, определяют не один, а четыре треугольника, вместе составляющие всю плоскость.

    Отметим еще, что для всякой пары прямых в эллиптической плоскости существует единственный общий перпендикуляр.

    Укажем некоторые теоремы эллиптической геометрии, отличающиеся от соответствующих теорем евклидовой и гиперболической геометрий.

1)     Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть окружность.

2)     Сумма углов треугольника больше π.

3)     Длина всякой прямой равна π, т.е. эллиптическая прямая конечна.

4)     Внешний угол треугольника либо меньше, либо равен, либо больше внутреннего угла, с ним не смежного.

5)     Периметр треугольника меньше 2π.

6)     Площадь треугольника равна его избытку, т.е. разности между суммой его внутренних углов и числом π.

7)     Площадь эллиптической плоскости равна 2π.

Глава 4. Элементы геометрии на небесной сфере.

       Одной из важнейших астрономических задач, без которой невозможно решение всех остальных задач астрономии, является определение положения небесного светила на небесной сфере. [5]

       Многие важные открытия как в прошлом, так и сегодня были бы невозможными без упорного, тяжелого и часто незаметного труда ученых, посвятивших свою жизнь определению небесных координат светил.
      В самом деле, например, квазары [5] были обнаружены сначала как источники радиоизлучения. Природа квазаров как удивительных внегалактических объектов была раскрыта лишь в итоге больших усилий по их отождествлению с оптическими объектами. Для этого потребовалось как можно точнее определить их координаты….

      Без результатов 20-летнего труда Тихо Браге, этого искусного измерителя координат планет, Иоганн Кеплер не смог бы открыть законы движения планет вокруг Солнца. Точные определения положения светил на небесной сфере позволили установить, в частности, место малых планет и комет в Солнечной системе, открыть Нептун и Плутон, проверить одно из важнейших следствий общей теории относительности об искривлении траектории луча света, движущегося вблизи гравитирующей массы, и многое другое.
       Методы определения координат небесных светил (их видимых положений на небе) разрабатывались на протяжении свыше двух тысячелетий. Сегодня они составляют один из важнейших разделов астрономии, который называется астрометрией.

      Измерение видимого положения светил на небе производится в определенной системе координат. В астрономии речь идет об измерении угловых расстояний светил от некоторых условных, но общепринятых точек и плоскостей. Можно сказать, что о многообразии систем координат "позаботилась" сама природа.

    Так, в своей повседневной практике мы совершенно естественно выделяем направление действия силы притяжения Земли - направление "верх - низ", контролируемое отвесной линией, и перпендикулярную к этому направлению плоскость горизонта.

    Далее, Земля вращается вокруг своей оси. Хотя этого мы непосредственно не ощущаем, однако отображением данного движения является вращение небесного свода, ритмичный восход и заход светил. Главным направлением здесь является "ось мира", вокруг которой и вращается небесная сфера. И, наконец, на протяжении года Земля делает полный оборот вокруг Солнца. Это движение обусловливает смену времен года. Оно обнаруживается в видимом годичном перемещении Солнца среди звезд.

    Отмеченные явления и позволяют ввести три различные системы координат - горизонтальную, экваториальную и эклиптическую. Выбор той или другой из них зависит обычно от характера задачи, стоящей перед исследователем.

     Для того чтобы разговор о координатах небесных светил был более конкретным, здесь прежде всего уместно вспомнить основные точки и линии небесной сферы.

       Небесной сферой мы называем вспомогательную воображаемую сферу произвольного радиуса, центр которой может быть расположен в любой точке пространства. На поверхность этой сферы наносятся положения светил так, как они видны на небе в определенный момент времени из данной точки пространства (с поверхности Земли или из кабины космического корабля).

     Определение положения светила на небесной сфере сводится к измерению длин дуг. Поэтому для измерения дуг и соответствующих им центральных углов используются три единицы:

1) радиан - центральный угол, соответствующий дуге длиной в один радиус; в радиане содержится 57o17'45";

2) градус (o) - центральный угол, соответствующий дуге в 1/360 часть окружности; градус делится на 60 минут ('), минута - на 60 секунд (");

3) час (h) - центральный угол, соответствующий дуге в 1/24 часть окружности; час делится на 60 минут (m) , минута - на 60 секунд (s ); один час равен 15o, минута в часовой мере равна 15 дуговым минутам (1m = 15'), а 1s = 15".

      Далее необходимо также вспомнить, что всякое сечение сферы плоскостью есть круг. При этом круг, секущая плоскость которого проходит через центр сферы, называется большим кругом, в противном случае - малым кругом.