Для искомой  вероятности получаем: . 
 
 

§3. Частота случайного события

и «статистическое  определение» вероятности.

Пусть – случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Представим себе, что это испытание произведено раз и при этом событие наступило в      случаях. Тогда отношение  

называется  частотой события в данной серии испытаний.

Определение. Вероятностью случайного события называется число , около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний.

Пример1.Наблюдения показывают, что в среднем среди новорожденных детей мальчиков. Частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна .

Пример2.Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету раз, и при этом герб выпал в случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:  

Пример 3. Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету раз, причем герб выпал раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Примеры 2 и 3 подтверждают естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна .

  

§4. Условная вероятность

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти  или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких  других ограничений, кроме условий  эксперимента, не налагается, то такую  вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события   при дополнительном условии, что произошло событие .

Условной  вероятностью (два обозначения) называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие   уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В  частности, отсюда получаем  
.

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие   – появление белого шара при первом вынимании. Событие – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события , если событие произошло, будет  
.  
Вероятность события при условии, что событие не произошло, будет  
.

§5. Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие  может произойти  вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий  и условные вероятности наступления события при наступлении события .

Теорема. Вероятность события , которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события . 

Фактически  эта формула полной вероятности уже использовалась при решении примеров, приведенных выше, например, в задаче с револьвером.

Доказательство. Т.к. события  образуют полную группу событий, то событие можно представить в виде следующей суммы: 

Т.к. события  несовместны, то и события   тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий: 

При этом

Окончательно  получаем: Теорема доказана.

Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна , для второго – , для третьего – . Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .

Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

- для  первого стрелка:

- для  второго стрелка: 

- для  третьего стрелка: 

Искомая вероятность равна: 
 

 

§6. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой  двух событий   и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий или .

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместимых событий  равна сумме вероятностей этих событий:

В случае, когда события  и совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Где – произведение событий и .

Два события  называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной  вероятностью события   называется вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло. Аналогично через обозначается условная вероятность события при условии, что событие   наступило.

Произведением двух событий  и   называется событие , состоящее в совместном появлении события и события .

Теорема  умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых  событий иравна произведению вероятностей этих событий:      

Следствие. При производимых одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события появляется с вероятностью , вероятность появления события хотя бы один раз равна  

§7. Формула Байеса. (формула гипотез).

Теорема Байеса, Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность  того, что произошло какое-либо событие (гипотеза), имея на руках лишь косвенные  тому подтверждения (данные), которые  могут быть неточны. Названа в  честь ее автора, преп. Томаса Байеса (посвященная ей работа впервые опубликована в 1763 году, уже после его смерти). Полученную по формуле вероятность  можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений.

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез  с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности                               . 

 Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы   относительно события , т.е. условные вероятности      .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.            

 Эта  формула называется формулой Бейеса.         

 Доказательство.  По Теореме умножения вероятностей получаем: 

Тогда если ;

Для нахождения вероятности  используем формулу полной вероятности.             

 Если  до испытания все гипотезы  равновероятны с вероятностью , то формула Бейеса принимает вид  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение.

«Физический смысл»

Формула Байеса позволяет «переставить причину  и следствие»: по известному факту  события вычислить вероятность  того, что оно было вызвано данной причиной.

События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так  как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность  справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта  произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась  с учетом данных о событии).

Можно также уточнять вероятность гипотезы, учитывая другие имеющиеся данные (другие произошедшие события). Для учета  каждого следующего события нужно  в качестве априорной вероятности  гипотезы подставлять ее апостериорную  вероятность с предыдущего шага.

Важный  вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В  первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу  ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон  доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад  внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это  время были доказаны закон больших  чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей  Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий  математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики. 
 

Достижения

Математические  интересы Байеса относились к теории вероятностей. Он сформулировал и  решил одну из основных задач этого  раздела математики (теорема Байеса). Работа, посвящённая этой задаче, была опубликована в 1763 году, уже после  его смерти. Формула Байеса, дающая возможность оценить вероятность  событий эмпирическим путём, играет важную роль в современной математической статистике и теории вероятностей. Для профессиональной работы лучше совмещать метод Байеса и использование базы данных для нахождения точных абсолютных частот и точных вероятностей. У каждого из методов есть свои сильные и слабые стороны.

Метод Байеса позволяет получить  нечеткую вероятностную оценку даже для случаев, когда именно этот оцениваемый набор свидетельств ранее никогда не встречался. Но мы видим, что пользуясь методом Байеса трудно получить точную оценку вероятностей, например, для суперпозиции свидетельств Борясь с прерываниями мы вынуждены использовать системные 0 и 1. 

Другой  подход - использование базы объектов и свидетельств, - позволяют найти  точные частоты для суперпозиции свидетельств . Но если именно такая комбинация свидетельств не встречалась ранее ни в одном объекте, то мы получим оценку апостериорной вероятности  0. Для дополнительного учета данных о свидетельствах, составляющих суперпозицию, нужны дополнительные усилия и предположения о степени их взаимной зависимости. При этом точность выводов будет неизбежно зависеть от оправданности этих предположений. 

При статистическом регулировании технологических  процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила  и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное  обнаружение разладки технологических  процессов и принятия мер к  их наладке и предотвращению выпуска  продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приемочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определенному числу р₀, например, р₀ = 0,23.