Формула полной вероятности. Теорема гипотез. Формула Бейеса

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Саратовский Государственный Университет им. Н.Г. Чернышевского 
 

                                                                                Кафедра системного анализа

и автоматического  управления 

Формула полной вероятности. Теорема гипотез. (формула  Байеса)

Курсовая  работа 

Студентки 1 курса  факультета компьютерных наук и информационных

Технологий

Агаповой Светланы Валерьевны 
 

Научный руководитель                       

д. т. н.,  профессор                                                                 Ю. И. Митрофанов 

Заведующий кафедрой

д. т. н., профессор                                                                   Ю. И. Митрофанов                                                                     
 
 
 

Саратов 2010 

Содержание:

   Введение………………………………………………………………….………3

  §1. Классическое определение вероятности………...………………….….…7

  §2. Геометрическое определение вероятности.…………………………..…10

  §3. Частота случайного события и «статистическое определение» вероятности……………………………………………………………………..11

  §4. Условная вероятность…………………………………………………….12

  §5. Формула полной вероятности……………………………………………14

  §6. Теоремы сложения и умножения вероятностей………………………...17

  §7. Формула Бейеса (теория гипотез)………………………………………..19

  Заключение………………………………………………………..………..….21

  Список литературы………………………………………….………………...25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

    Общие понятия

   Наиболее  важные показатели надежности невосстанавливаемых  объектов – показатели безотказности, к которым относятся:

• вероятность безотказной работы;
• плотность распределения отказов;
• интенсивность отказов;
• средняя наработка до отказа.

   Показатели  надежности представляются в двух формах (определениях):

   - статистическая (выборочные оценки);

   - вероятностная.

   Статистические  определения (выборочные оценки) показателей получаются по результатам испытаний на надежность.

   Допустим, что в ходе испытаний какого-то числа однотипных объектов получено конечное число интересующего нас  параметра – наработки до отказа. Полученные числа представляют собой  выборку некоего объема из общей  «генеральной совокупности», имеющей  неограниченный объем данных о наработке  до отказа объекта.

   Количественные  показатели, определенные для «генеральной совокупности», являются истинными (вероятностными) показателями, поскольку объективно характеризуют случайную величину – наработку до отказа.

   Показатели, определенные для выборки, и, позволяющие  сделать какие-то выводы о случайной  величине, являются выборочными (статистическими) оценками. Очевидно, что при достаточно большом числе испытаний (большой выборке) оценки приближаются к вероятностным показателям.

   Вероятностная форма представления показателей  удобна при аналитических расчетах, а статистическая – при экспериментальном  исследовании надежности.

   Для обозначения статистических оценок будем использовать знак сверху.

     Примем следующую схему испытаний для оценки надежности.

   Пусть на испытания поставлено N одинаковых серийных объектов. Условия испытаний идентичны, а испытания каждого из объектов проводятся до его отказа.

   Введем  следующие обозначения:

     – случайная величина  наработки объекта  до отказа;

   – число объектов, работоспособных  к моменту наработки  t;

     – число объектов, отказавших к моменту  наработки t;

   – число объектов, отказавших в интервале наработки    ;

   – длительность интервала наработки.

Теория  вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят  к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально  её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно  было относиться как к некоторым  эмпирическим фактам, как к свойствам  реальных событий, и они формулировались  в наглядных представлениях. Самые  ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма  открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Основные  понятия теории множеств .

   Одним из основных понятий является - случайное  событие.

   Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

   Каждому из таких событий можно поставить  в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

   Теория  вероятностей основывается на аксиоматическом  подходе и опирается на понятия  теории множеств.

   Множество – это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.

   Предположим, что производится некоторый опыт (испытание), результат которого заранее  неизвестен. Тогда множество   всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент (отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества  и является случайным событием, т. е. любое событие – это подмножество множества

   В общем случае, если множество  содержит   элементов, то в нем можно выделить подмножеств (событий).

   Введем  ряд определений.

   Совместные (несовместные) события – такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

   Зависимые (независимые) события – такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

   Противоположное событие относительно некоторого выбранного события – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается ).

   Полная  группа событий – такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§1. Классическое определение вероятности.

Основным  понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим  полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события  будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события , если появление этого события влечет за собой появление события .

Пример. В урне находится пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от до). Шары с цифрами красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой (или цифрой или цифрой ) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой ) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

Вероятностью  события называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную  группу: 
P ;

Свойство1.Вероятность достоверного события равна единице 
Свойство2.Вероятность невозможного события равна нулю. 
Свойство3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность  любого события удовлетворяет двойному неравенству

 

Пример достоверного события: В урне пронумерованных шаров с номерами от до . Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит ?

  Решение. Пусть событие (Номер вынутого шара не превосходит ).    Число случаев благоприятствующих появлению события равно числу всех возможных случаев . Следовательно, . Событие достоверное.

Пример случайного события: В урне шаров: белых и черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение. Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: .  
Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно                  .  
Искомая   вероятность  
.

Какова  вероятность вынуть из урны синий  шар?

Решение. Так как синих шаров в урне нет, то . Пример невозможного события: В урне шаров: белых и черных. Следовательно, искомая вероятность . Событие, заключающееся в вынимании синего шара, невозможное. 
 

§2. Геометрическое определение  вероятности

Пусть случайное испытание можно представить  себе как бросание точки наудачу  в некоторую геометрическую область (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки , любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов . Можно считать, что все точки   «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая  вероятность события определяется отношением:  
 
где    – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события .

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной , расстояние между осевыми линиями которых равно , наудачу брошен круг радиуса   . Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е.