Цепные дроби

Жозеф Лиувилль (1809-1882) первым доказал существование трансцендентных чисел. В 1851 г. он отметил, что алгебраические числа не могут быть достаточно точно аппроксимированы рациональными числами.              Он доказал, что для - корня неприводимого полинома с целыми коэффициентами степени n существует константа с: 0<c<1, что для всех подходящих дробей выполняется неравенство [2, Гл.29, п.2, Т 270, С. 264]. Используя этот результат, он получил возможность привести сколь угодно много примеров трансцендентных чисел.

Результат, полученный Адольф Гурвицем (1859-1919) в 1891 заключается в том, что неравенство всегда имеет бесконечное число рациональных решений (Т. 12, С. 33). Эмиль Борель (1871-1956) дал простое доказательство этого факта, заметив, что среди любых трёх следующих одна за другой последующих дробей правильного непрерывно-дробного разложения имеется хотя бы одна, которая удовлетворяет данному неравенству.

Оттенок теории меры придали этим результатам Борель и Феликс Бернштейн (1878-1956), которые доказали, что для почти всех х: 0<x<1, последовательность {an} не ограничена. А.Я.Хинчин (1894-1959) дал дальнейшее развитие этому направлению – он основал метрическую теорию непрерывных дробей [21].

1.3   Применение цепных дробей в  аналитической теории

Значительный вклад в аналитическую теорию внёс Эйлер. Им были получены разложения в непрерывные дроби для интегралов и степенных рядов, включая и расходящиеся, а также показал, как разложение Броункера для может быть выведено либо из формулы приведения Валлиса, либо из знакопеременного ряда Грегори – Лейбница  для . Другим вкладом Эйлера было решение дифференциального уравнения Риккати при помощи непрерывных дробей. В аналитическом направлении теории цепных дробей работали Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) (разложил в непрерывные дроби ln(1+x), arctgx и tgx; и полностью исследовал вопросы сходимости непрерывных дробей к этим функциям), Лагранж, Гаусс, Карл Густав Якоби (1804-1851). Девятнадцатый век стал временем бурного развития аналитической теории цепных дробей. Методы непрерывных дробей использовались при изучении специальных функций, для нахождения конкретных численных результатов. В области теории разложения и сходимости непрерывных дробей, элементами которых являются линейные функции комплексного переменного, работали такие математики, как Пьер Симон Лаплас, Лежандр, Якоби, Эйзенштейн,  Лаггер, Бернхард Риман (1826-1866), Томас Иоаннес Стилтьес, П.Л. Чебышев (1821-1894), Фробениус (1849-1917) и Анри Пуанкаре (1854-1912). Эти исследования оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. Особенно это относится к работам Стилтьеса, которые привели к таким важным исследованиям, как проблема моментов, теория интеграла Стилтьеса, начало систематического изучения сходимости последовательностей голоморфных функций и первое применение Гильбертом и его школой аппарата спектральной теории самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве к проблеме моментов. В работах Пуанкаре и Стилтьеса, в которых разложения в непрерывные дроби применялись в связи с расходящимися рядами, по-видимому, впервые появились асимптотические разложения.

Методы, разработанные Фробениусом и Паде в конце XIX века для приближения аналитических функций подходящими дробями непрерывных дробей под общим названием аппроксимаций Паде, стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твёрдого тела, быстро распространяясь на другие разделы теоретической физики.

Гейне в 1846-1847 гг. занимался гипергеометрическими функциями. Проблемой сходимости непрерывных дробей для отношений этих функций – Риман, и более полно этот вопрос был рассмотрен Томе. Решение задача представления произвольных степенных рядов цепными дробями было начато Штерном в 1832 г. и Хейлерманом в 1846 и продолжено Фробениусом и Стилтьесом. Интерес к этой теме проявляли многие математики, их работы играли большую роль для науки.  Ею также активно занимались и русские учёные: в XIX веке работы П.Л. Чебышева, А.А.Маркова (1856-1922), И.В.Слешинского и других математиков внесли значительный вклад в теорию цепных дробей.

В Марийском педагогическом институте под руководством А.Н.Хованского в 50-60-е годы XX века работала аспирантура,  в которой занимались исследованием аналитических вопросов цепных дробей. В последствии успешно защитили кандидатские диссертации и опубликовали ряд работ Г.В. Маурер [10, 11, 12, 13], Л.П. Шутова [26], C.С. Хлопонин [22, 23], В.К. Смышляев [19].

Таким образом, благодаря систематическому изучению Эйлером цепных дробей, многие математики, работающие в России и за её пределами, заинтересовались этим вопросом и продолжили его изучение в своих работах. Огромное количество работ, посвящённых теории цепных дробей, говорит о широких возможностях применения её к различным областям науки.

1.4   Приложения цепных дробей

Цепные и ветвящиеся цепные дроби обладают рядом уникальных свойств, обеспечивающих им широкое использование в теоретической и прикладной математике. Этим и объясняется повышенный интерес математиков к данной теории на протяжении нескольких веков.

Применение цепных дробей при решении классической задачи древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу (квадратура круга) сыграло свою роль при нахождении значения числа π. Проблема составления календаря тесно связана с цепными дробями. Впервые порядок в счёте времени попытался навести  в I в. до. н.э. римский император Юлий Цезарь, но его календарь был не достаточно точен. По юлианскому календарю к XVI в. накопилась ошибка, составляющая уже около 10 суток. В результате чего была проведена следующая реформа календаря папой римским Григорием XIII, именем которого и называется действующая система календаря. Решением этой задачи занимались многие математики среди них и Омар Хайям, о его системе календаря было рассказано ранее. В 1864 г. русским астрономом И. Медлером была предложена ещё одна поправка к юлианскому календарю, основанная на нахождении уже четвёртой подходящей дроби к записи продолжительности астрономического года в виде цепной дроби. Решением ещё одной задачи XVII века занимался Х.Гюйгенс при построении планетария (С.8).

В настоящее время в теоретическом плане непрерывные дроби играют существенную роль, так как позволяют усилить и развить результаты классической математики на случай многих аргументов, причём сам аппарат цепных дробей зачастую подсказывает формулировки такого рода обобщений, в частности, в теории чисел.

Цепные дроби широко применяются в теории чисел: обобщены некоторые основные алгоритмы (алгоритм Евклида, Остроградского, Эйлера), найдено решение классической задачи об алгебраических иррациональностях высших степеней, найдены отдельные решения некоторых диофантовых уравнений и их систем.

Цепные дроби дают большое преимущество в точности при приближённом нахождении корней квадратных уравнений; вычислении логарифмов чисел.

Цепные дроби позволяют строить алгоритмы для вычисления корней алгебраических уравнений произвольной степени. В вычислительной практике используются при решении сравнений первой степени, также удобны в использовании дробно-рациональные аппроксимации функций одного аргумента цепными дробями с помощью формул Обрешкова или Тиле по методу Паде [24, Гл.3, §1, С.147].  Они также используются в теории сравнений.

              На базе цепных дробей построены некоторые эффективные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, неопределённых уравнений вида [14, Гл.3, §4, п.2, С. 81], [14, Гл.6, §4, С. 196], уравнений рекуррентного типа, и других типов уравнений. Решение задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений с частными производными можно представить ветвящимися цепными дробями, при наложении некоторых условий к системе и начальным условиям.

Цепные дроби используются для нахождения приближенных представлений функций. Эти приближения, являющиеся дробно-рациональными функциями от независимых переменных успешно заменяют данную функцию в тех областях изменения аргумента, где, например, разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно, приближения в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы. При использовании дробно-рациональных приближений отпадает необходимость вычислять высокие степени аргумента и появляется возможность вычислять значения отдельных функций.

Теория матричных ветвящихся цепных дробей позволяет решить следующие задачи: извлечение квадратного корня, корня третьей, четвёртой степени и корня любой рациональной степени с помощью матриц, решение уравнений с помощью матриц второго порядка, решение уравнений высших степеней с помощью матриц. (Матричные рекуррентные уравнения применяются  в задачах экономики, физики, плазмы и др.) [24, Гл.4, С. 176].

В настоящее время цепные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, так как позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Помимо теоретического использования правильных цепных дробей существуют и практические приложения цепных дробей. Среди всего их множества можно отметить следующие:

      Решение обратных задач теплопроводности [6];

      Исследование механических колебаний в валопроводах различных энергетических установок [20];

      Синтез устройств частотной селекции на функциональных времязадающих элементах [3];

      Исследование устойчивости, исследование установившихся и переходных процессов, стабилизация систем, исследование и обеспечение качества систем, исследование случайных процессов, оптимизация параметров и ряд других проблем в технике, в частности, в автоматике, радиоэлектронике, приборостроении и др.[1].

14

Литература

1.      Боднарчук, П.И. Успехи и задачи теории цепных и ветвящихся цепных дробей / П.И. Боднарчук, В.Я. Скоробогатько // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. -  Киев,  1976. - С. 5 – 8

2.      Бухштаб, А.А. Теория чисел / А.А. Бухштаб. – Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

3.      Гапоненко, Н.П. Цепные дроби в синтезе устройств частотной селекции на функциональных времязадающихся элементах / Н.П.Гапоненко, Н.Н.Рябец //  Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. -  Киев,  1976. - С. 48 – 49.

4.      Глейзер, Г.И. История математики в средней школе. Пособие для учителей / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1970. -  461с., ил.

5.      Джоунс, У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения / У. Джоунс, В. Трон; Перевод с англ. В. Е. Кондрашова, С. Б. Королёва и И. Г. Турундаевской; под ред. И. Д. Софронова - М.: Мир, 1985. – 416 с.

6.      Зотов, Е.Н. Решение обратных задач теплопроводности с помощью цепных дробей / Е.Н.Зотов, Н.П.Пучков, Ю.С. Шаталов // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. -  Киев,  1976. -  С. 56 – 57.

7.      Кудреватов, Г.А. Сборник задач по теории чисел / Г.А. Кудреватов. - М.: Просвещение, 1970. –      с.

8.      Ламберт, И.Г. Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга. / И.Г. Ламберт // О квадратуре круга: сб. научных трудов / под ред. акад. С.Н.Бернштейна. – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 169-198

9.        Математическая энциклопедия: В 5 т. Т. 5: Цепные дроби. – М.: Советская энциклопедия, 1985.

10. Маурер, Г.В. Решение одного дифференциального уравнения Риккати с помощью цепных дробей / Г.В. Маурер // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. -  Киев,  1976. - С. 76 – 77.

11. Маурер, Г.В. О разложении в цепные дроби некоторых предельных случаев функции Гейне. / Г.В. Маурер // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. –– С. 211-221.

12. Маурер, Г.В. О решениях некоторых диофантовых уравнений второй степени. / Г.В. Маурер // Вторая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам:  тезисы докладов.  – М.: ТВП, 1995.

13. Маурер, Г.В. Решение некоторых неопределённых уравнений второй степени с помощью цепных дробей общего вида / Г.В. Маурер // Учёные записки МГПИ им. Н.К.Крупской: Т. 26.– Йошкар-Ола, 1965. – С. 431-442.

14. Михелович, Ш.Х. Теория чисел / Ш.Х. Михелович. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1967. – 336 с.

15. Нивен, А. Числа рациональные и иррациональные / А. Нивен; перевод с англ. В.В. Сазонова; под ред. И.М. Яглома - М.: Мир, 1966. - 199с.

16. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры: книга для учащихся 7-9 классов ср. школы /  Л.Ф. Пичурин – М.: Просвещение, 1990. – 237с.

17. Рудио, Р. Обзор истории задачи о квадратуре круга от древности до наших дней. / Р. Рудио // О квадратуре круга / под ред. акад. С.Н.Бернштейна. – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 9-94

18. Семёнова, Е.Д. Изучение цепных дробей на факультативных занятиях по математике./ Е.Д. Семёнова, О.Г. Куклина // Педагогика будущего: сборник научных трудов аспирантов и студентов. Вып. 2 /  под ред. Г.В. Рокиной. - Йошкар-Ола. - 2005. – С.305-308

19. Смышляев, В.К. Сходимости сжатых цепных дробей. Аналитическая геометрия треугольника вопросы теории цепных дробей / В.К. Смышляев // Учёные записки МГПИ им. Н.К.Крупской: Т. 26.– Йошкар-Ола, 1965. –С.443-444

20. Терских, В.П. Цепные дроби – математические модели колеблющихся цепных систем / В.П. Терских // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. -  Киев,  1976. - С. 34 – 40.

21. Хинчин, А.Я. Цепные дроби. / А.Я. Хинчин – М.: ГИФ – МЛ, 1961, 112с.

22. Хлопонин, С.С. Области сходимости цепных дробей / С.С. Хлопонин // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. -  Киев,  1976. -  С. 96 – 97.

23. Хлопонин, С.С. Сходимость цепных дробей. / С.С. Хлопонин // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. – С. 354 - 362.

24. Хованский, А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа / А.Н. Хованский. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 204 с.