Алгебра матриц

       Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d₁ = d₂  = … = d_n = = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается символом  Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом, 

       E =    O =  

       В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что  

       А Е = Е А = А,   А  О = О А = 0.           (1.6) 

       Первая  из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.6), но и элементарно проверяемое равенство

А + 0 = 0 + А = А.

       В заключение заметим, что понятие  нулевой матрицы можно вводить  и для неквадратных матриц (нулевой  называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю). 

  4. Вырожденные и невырожденные матрицы

    Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

    Пример. , = 16-15 = 1 0; А – невырожденная матрица.

                    , = 12-12 = 0;  А – вырожденная матрица.

    Теорема. Произведение матриц есть вырожденная  матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.

    Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е. =0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является вырожденной.

    Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е. =0. Найдем , т.к. =0; итак, =0; АВ - вырожденная матрица.

    Замечание. Доказанная теорема справедлива  для любого числа множителей.

  5. Обратная матрица

    Квадратная  матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если

    АВ = ВА = Е.          (1)

    Пример. , .

                 

    В – матрица обратная к А.

    Теорема. Если  для данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно.

    Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что

                                                         АХ = ХА = Е        (2)

    АУ = УА = Е       (3)

    Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева  на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности  умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку  УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е.      Х = У. Теорема доказана.

    Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

    Обратная  матрица А^-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

    Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А^-1, т.е.                        А А^-1 = А^-1 А = Е. Тогда, ½А А^-1½= ½А½ ½А^-1½=½Е½=1, т.е. ½А½ 0 и

    ½А^-1½ 0;       А – невырожденная.

    Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица  порядка n

     ,

    так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

     ,

    ее  называют присоединенной к матрице  А.

    Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А^*, для .

    Найдем  произведения матриц АА^* и А^*А. Обозначим АА^* через С, тогда по определению произведения матриц имеем: С_ij = а_i1А _1j + а _i2А _2j + … + а _inА_nj;

     i = 1, n; j = 1, n.

    При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом С_ij = |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При i j, т.е. для элементов С_ij  вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак,

      

    Аналогично  доказывается, что произведение А  на А^* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А^*А = АА^* = С. Отсюда следует, что

    

    Поэтому, если в качестве обратной матрицы  взять  , то Итак, обратная матрица существует и имеет вид:

     . 

6. Понятие и основные свойства определителя 

       Рассмотрим  произвольную квадратную матрицу любого порядка п:

                      A =    (1.7) 

       С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

       Если  порядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента а_{i j} определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента.

       Если  далее порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид

                      A =    (1.8)

       то  определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а₁₁ а₂₂ — а₁₂ а₂₁  и обозначаемое одним из символов:

       

       Итак, по определению

           (1.9)

       Формула (1.9) представляет собой правило составления  определителя второго порядка по элементам соответствующей ему  матрицы. Словесная формулировка этого  правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и  произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений.

       Прежде  всего отметим, что detA=detA^T, т. е. определитель матрицы не изменяет своего значения при возможной замене её строк и столбцов (трансформированием матрицы). Поэтому все свойства определителя, сформулированные для столбцов, справедливы и для строк, и обратно. Основные свойства:

1. при перестановке двух столбцов определитель теряет знак (свойство антисимметрии);
2. определитель равен нулю, если все элементы какого-нибудь столбца равны нулю или если один из столбцов является линейной комбинацией любых его других столбцов (в частности, определитель, у которого хотя бы два столбца одинаковы, равен нулю);
3. умножение всех элементов какого-нибудь столбца на скаляр равнозначно умножению определителя на это число (общий множитель элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя);
4. умножение матрицы n-го порядка на скаляр соответствует умножению её определителя на lⁿ, т. е. det(l, A)= lⁿ detA;
5. значение определителя не изменится, если к какому-нибудь столбцу прибавить другой столбец, умноженный на скаляр l;
6. если два определителя одинаковых порядков различаются между собой только элементами i-того столбца, то их сумма равна определителю, элементы i-того столбца которого равны суммам соответствующих элементов i-х столбцов исходных определителей, а остальные элементы – те же, что у исходных.

 

7. Транспонирование 

       Транспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой строк  на столбцы. 

       Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров   — матрица AT размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. 

       Например,

              и       

       Свойства  транспонирования:  

       1) (Ат)т = А;

       2) (А + В)т = Ат + Вт;

       3) (А В С)т = СтВтАт - транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, записанных в обратной последовательности.

       Если  А = Ат, матрица симметрична. 

II. Реализация матричных операций в Mathcad

       Рассмотрим, как выполняются операции с матрицами  в системе  MathCad. Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MathCad 2001.  Векторы являются частным случаем матриц размерности n x 1,  поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

        При работе с  матрицами используется панель инструментов “Матрицы” 

       Рис.1 Панель инструментов  Матрицы 

       Для ввода матрицы:

• введите имя матрицы и знак присваивания (двоеточие)
• щелкните по значку “создать матрицу” в панели “Матрицы”.
• В появившемся диалоге задайте число строк и столбцов матрицы.

 

• После нажатия кнопки OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение.

       Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно:

• выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции,
• или щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

       Меню  “Символы” содержит три операции - транспонирование, инвертирование, определитель.

       Это означает, например, что вычислить  определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/Определитель.

       Номер первой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято  вести отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк  и столбцов от 1, нужно задать значение переменной ORIGIN:=1.