Содержание:

Глава I. Алгебра матриц……………………………………………………………....3

       1. Понятие матрицы…………………………………………………………..3

       2. Виды матриц………………………………………………………………..3

       3. Основные операции над матрицами  и их свойства……………………....5

           3.1. Сложение матриц……………………………………………………....5

           3.2. Умножение матрицы на число………………………………………...5

           3.3. Произведение матриц………………………………………………….6

       4. Вырожденные и невырожденные  матрицы………………………………8

            5. Обратная матрица…………………………………………………………..8

       6. Понятие и основные свойства определителя…………………………….10

       7. Транспонирование…………………………………………………………11

Глава II. Реализация матричных операций в Mathcad……………………………..12

Заключение…………………………………………………………………………....17

Литература…………………………………………………………………………….18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       1. Понятие матрицы.

       При решении различных задач математики очень часто приходится иметь  дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

       Матрицей  называется прямоугольная таблица  из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

       В дальнейшем для записи матриц будут  применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

         или    

       Для  краткого обозначения матрицы часто  будет использоваться либо одна большая  латинская буква  (например, A),  либо символ  || a _ij || ,  а иногда с разъяснением:  А = || a _ij || =    ( a _ij ), где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n).

       Числа a _ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a _ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. 

       2. Виды матриц

       Квадратная  матрица

       Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n. В случае квадратной матрицы

                                (1.1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а₁₁ а₂₂ … a_nn идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а_n1  а_(n-1)2 … a_1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

    Квадратная  матрица, элементы которой удовлетворяют  условию:         

    называется  диагональной, т.е. диагональная матрица  имеет вид:

                  

    Диагональная  матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:

               

Блочные матрицы

         Предположим, что некоторая матрица  A = || a _ij || при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицы А = || A _ab ||,  элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца.

       Например, матрицу

 

       

       можно рассматривать как блочную матрицу 

,

       элементами  которой служат следующие блоки:

            

          

       Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

3. Основные операции над матрицами и их свойства

         Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

       Перейдем к определению основных операций над матрицами. 

       3.1. Сложение матриц

       Суммой  двух матриц  A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)  и В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c _ij ||  (і =1,2, ..., т;  j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы с_ij   которой определяются по формуле

        , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) (1.2)

Для обозначения  суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

+ =

       Из  определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

       1) переместительным свойством: А + В = В  + А,

       2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

       Эти свойства позволяют не заботиться о  порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа  матриц.

       Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В.

       Очень легко убедиться в том, что  разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С  = A + (–1) В. 

       3.2. Умножение матрицы на число

       Произведением матрицы  A = || a _ij || ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j=1, 2, ..., n)   на вещественное число l, называется матрица С = || c _ij ||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., n), элементы  которой определяются по формуле:

        ,   где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) (1.3)

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись С = l A или С = А l. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

       Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение  матрицы на число обладает следующими свойствами:

       1) сочетательным свойством относительно  числового множителя: ( l m ) A = l ( m A );

       2) распределительным свойством относительно  суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;

       3) распределительным свойством относительно  суммы чисел: (l + m) A = l A + m A

       3.3. Произведение матриц

       Произведением матрицы A = || a _ij || ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., n ,  j=1, 2, ..., р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С = || c _ij ||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы  которой определяются по формуле:

          где  (i = 1, 2, ..., m,   j = 1, 2, ..., p) (1.4)

       Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = А × В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

       Из  сформулированного выше определения  вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

       Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы  А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c_{i j} стоящий на пересечении і-й строки и j-го столбца матрицы С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

       В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.

       

       Из  формулы (1.4)  вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матрицу В:

       1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );

       2) распределительное относительно  суммы матриц свойство:

       ( A + B ) С = А С + В С или A ( В + С ) = A В + А С.

       Вопрос  о переместительном свойстве произведения матрицы A на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В одинакового порядка.

       Приведем  важные частные случаи  матриц, для  которых справедливо и переместительное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо переместительное свойство, принято называть коммутирующими.

       Среди квадратных матриц выделим класс  так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные  вне главной диагонали, равны  нулю. Каждая диагональная матрица  порядка  п имеет вид 

       D =   (1.5) 

       где d₁ , d₂ , …, d_n—какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d₁ = d₂  = … = d_n  то для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А.