Афінні перетворення фігур

      Скориставшись тригонометричними тотожностями і отримаємо, що

      

      Враховуючи, що перетворення добутку є добуток перетворень у зворотному порядку, можна показати, що для будь-якої матриці повороту виконується співвідношення

      

      Матриці, для яких операція транспонування дає той же результат, що і обернення, називаються ортогональними (orthogonal matrix); будь-яка ортогональна матриця описує деяке перетворення повороту з фіксованою точкою на початку координат.

      Скос 

      Хоча  будь-яке афінне перетворення можна звести до послідовності поворотів, зсувів і змін масштабу, існує один вид перетворення, який настільки важливий у комп'ютерній графіці, що ми будемо розглядати його також як базовий тип. Це перетворення скосу (shear).

      Розглянемо  куб, центр якого знаходиться в початку системи координат, а ребра паралельні осям координат (рис. 4.37). Якщо змістити верхню межу куба вправо, а нижню - вліво, об'єкт буде скошено в напрямку осі х. Врахуємо, що при цьому компоненти у і z усіх точок на об'єкті залишаються незмінними. Ми будемо називати показане на малюнку перетворення x-скосом, щоб відрізняти його від скосу в іншому напрямку.

      Скориставшись простими тригонометричними співвідношеннями, які пояснюються на рис. 4.38, можна  охарактеризувати перетворення такого типу єдиним параметром - кутом скосу θ. Рівняння перетворення мають вигляд

      

      звідки  слідує вигляд скосу

      

 

      Матрицю зворотного перетворення нескладно  отримати, якщо врахувати, що слід виконати скіс у зворотному напрямку; отже,

      

      

 

      2.4 Застосування афінних перетворень 

      Почну з того, що афінні перетворення є наріжним каменем усієї комп'ютерної графіки. За допомогою матриць, як компактного і зручного способу запису перетворень, можна описати все, що відбувається з точками, і, відповідно, з об'єктами, що складаються з цих точок. Перетворення M точки T (x, y, z), де

      

      являється добуток

      

      З визначення добутку матриць можна зробити висновок про вплив кожного елемента матриці перетворення на кінцевий результат.

      1. Номер рядка перетворення визначає  зміна відповідної координати (перший рядок визначає x, другий y, третій z).

      2. Номер стовпця визначає спосіб  впливу відповідної координати  на інші.

      (Перший  стовпець визначає вплив координати x на інші, відповідно номеру рядка,  другий - як впливає y, третій - z).

      3. Останній (в даному випадку четвертий) стовпець визначає зміщення відповідної координати на певну величину.

      4. Чому в тривимірному просторі  використовується матриця чотири  на чотири? Ну на приклад, четвертий  стовпець дає можливість реалізувати  Переміщення. А в загальному випадку, така форма запису є необхідною, так як матриця 4 на 4 цілком використовується в проекційних перетвореннях.

      Основні види двовимірних афінних перетворень  та їх схематичне подання.

      Одинична  матриця

      

      Основна. Результат перетворення дорівнює оригіналу. Вся справа в одиницях по діагоналі.

      

      Переміщення - переміщує об'єкт

     

        Масштабування - змінює розмір

      

      Зрушення - зміна однієї координати в лінійній залежності від іншої

        

        

      Поворот - повертається на кут w

      

      

      Всі перетворення, крім переміщення, виконуються відносно початку координат.

      Масштабування.

      1. Об'єкт початку координат.

Масштабуємо…  

      2. Об’єкт не в початку координат

Масштабуємо…

      Об'єкт  змістився.

      Поворот

      1. Об'єкт на початку координат.

Повертаємо

      2. Об’єкт не в початку координат

Повертаємо  

      Можна застосовувати декілька перетворень  послідовно. Має сенс порядок перетворень.

      Наприклад. R - обертання (Rotate), T - переміщення (Transpose).

      Спочатку  переміщаємо, потім повертаємо ...

      

      Або повертаємо, а потім переміщаємо… 

      

      Для перетворення точки необхідно помножити матрицю Точки зліва на матрицю перетворення. Для послідовного застосування перетворень до точки необхідно по порядку множити на матрицю зліва.

      Наприклад, Точка P. Перетворення S, R1, T, R2 необхідно  перемножити матриці наступним чином R2 × T × R1 × S × P.

        А ось різниці в якому порядку  перемножувати немає 

      (R2 × T) × (R1 × S) × P або (R2 ×  T) × (R1 × (S × P)) або іншим способом ...

      Взагалі можна спочатку підготувати перетворення а потім застосовувати його до точки, тобто знайти G = R2 × T × R1 × S, а потім G × P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      ВИСНОВКИ 
 
 

                    Вивід зображення на екран дисплея і різноманітні дії з ним, у тому числі і візуальний аналіз, вимагають від користувача достатньої геометричної грамотності. Геометричні поняття, формули та факти, пов'язані, перш за все, з плоским і тривимірним випадками, грають в задачах комп'ютерної графіки особливу роль. Геометричні міркування, підходи та ідеї у поєднанні з постійно розширюючимися можливостями обчислювальної техніки є невичерпним джерелом істотних просувань на шляху розвитку комп'ютерної графіки, її ефективного використання в наукових та інших дослідженнях. Часом навіть найпростіші геометричні методики забезпечують помітні просування на окремих етапах вирішення великої графічної задачі .

      Перш  за все, необхідно зауважити, що особливості  використання геометричних понять, формул і фактів, як простих і добре  відомих, так і нових більш  складних, вимагають особливого погляду  на них та іншого осмислення.

      В ході курсової роботи були вирішені усі поставлені завдання і таким чином досягнута мета.

      З усього вищевказаного в роботі можна  ще виділити і нагадати  властивості  афінного перетворення.

      • Будь-яке афінне перетворення може бути представлене як послідовність  операцій з числа вказаних найпростіших: зсув, розтягнення/стискання та поворот.

      • Зберігаються прямизна лінії, паралельність  прямих, відношення довжин відрізків, які лежать на одній прямій, та співвідношення площ фігур. 
 
 
 
 
 

ЛІТЕРАТУРА 

1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и высшей алгебры. — М.: Наука, 1984.
3. Вайсберг А. В., Гриценко М. Е. Формирование структуры станка на ранних стадиях проектирования. – Точность автоматизированных производств (ТАП – 97). Сборник статей международной научно-технической конференции. Пенза, 1997., с. 52 – 53.
4. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.; Л.: Гостехиз-дат, 1951.
5. Дискант В. І., Береза Л. Р. та ін. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. — К., 2001.
6. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1970.
7. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986.
8. Моденов П. С. Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во МГУ, 1969.
9. Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов. – М.: МЦНМО, 2004
10. Скопец З.А. Геометрические миниатюры / Сост. Г.Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990
11. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1970.
12. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М.; Л.: Гостехиздат, 1956.
13. Шишкин Е. В., Боресков А. В. Компьютерная графика. М.: Диалог-МИФИ, 1995. – 288 с., ил.
14. Шрейер О, Шпернер Е. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении. — М.: ОНТИ, 1934.
15. Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. Часть 1. Аффинная геометрия. М.: - Учпедгиз, 1962