ЗМІСТ

 

    ВСТУП…………………………………………………………………………..3

    РОЗДІЛ 1 АФІННІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПЛОЩИНИ………………………….4

                   1.1 Споріднені та афінні відображення та їх властивості………….4

                   1.2 Вираз афінного перетворення через координати………….......12

                   1.3 Однорідні координати точки……..…………………………….17

    РОЗДІЛ 2 АФІННІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОСТОРУ…………………….......21

                   2.1 Основні властивості афінного перетворення………..…….......21

                   2.2 Поворот, зрушення і масштабування…………………………..24

                   2.3 Перетворення в однорідних координатах……………………..28

                   2.4 Застосування афінних перетворень……………………………34

    ВИСНОВКИ………………………………………………………………..….40

    ЛІТЕРАТУРА………………………………………………………………….41

      ВСТУП

 

      Метою цієї роботи є розгляд і вивчення афінних перетворень площини і простору.

      Теорія  афінних перетворень уперше була розглянута Дарбу. У роботі розглянута загальна теорія для усіх афінних перетворень площини Евкліда в зв'язаних комплексних координатах, а також такі приватні види афінних перетворень, як подібність, спорідненість, еліптичний поворот, параболічний поворот. Перше з них має два різновиди - подібності першого і другого роду, і теорія для нього розроблена Скопецом З.А. спільно з Понаріним Я.П.

      Спорідненість - афінне перетворення, що має пряму нерухомих точок, у якого є приватні види, також розглянуті в роботі. Теорія цього афінного перетворення для комплексних чисел розроблена Понаріним Я.П. Еліптичний і параболічний повороти - це еквіафінні перетворення, що є композицією інших афінних перетворень. Вони також визначені науковим керівником.

      Для кожного з чотирьох розглянутих  афінних перетворень і приватних видів деяких з них отримані координатні формули в зв'язаних комплексних координатах, вивчені їх прості властивості.

      Метою курсової роботи є дослідити афінні перетворення площини та простору.

      Поставлена  мета досягається такими завданнями:

      1. Дослідити споріднені та афінні  перетворення площини та простору.

      2. Виразити афінні перетворення  через координати.

      3. Описати застосування афінних перетворень площини і простору.

      Предмет дослідження: афінні перетворення площини  і простору.

      Об’єкт дослідження: площина та простір.

      Загальний обсяг курсової: вступ, два розділи, висновки та список літератури. Кількість сторінок 42.  

      РОЗДІЛ I АФІННІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПЛОЩИНИ

      1.1 Споріднені та афінні відображення, їх властивості

 

      Розглянемо розтягування і стискування плоских фігур.

      Якщо  розтягнути вздовж якогось напряму коло, то вийде лекальна крива - еліпс. Якщо розтягнути квадрат у напрямку, паралельному одній парі сторін, то вийде прямокутник. Якщо ж квадрат розтягнути або стиснути в напрямку його діагоналі, то вийде ромб.

      Але що таке розтягування і стиснення? Як їх строго визначити?

      Розтягування  і стискування, про які ми будемо говорити, в певному сенсі, рівномірні. Ця рівномірність означає, що всі шматочки площини будуть розтягуватися (стискатися) однаково. Крім того, коли ми розтягуємо (стискуємо) квадрат, його боки - відрізки залишаються відрізками.

      Такі  рівномірні розтягування (стиснення) називаються афінними перетвореннями.

      Перетворення площини називається афінним, якщо воно взаємно однозначне і образом будь-якої прямої є пряма. Перетворення називається взаємно однозначним, якщо воно різні точки переводить у різні, і в кожну точку переходить якась точка.

      Нагадаємо, що перетворення - це відображення множини на саму себе. Відображення називається взаємнооднозначним (біективним), якщо різні елементи переходять в різні, і в кожний елемент, якийсь елемент переходить.

      Окремим випадком афінних перетворень є просто рух (без будь-якого стиснення або розтягування). Рух - це паралельні переноси, повороти, різні симетрії та їх комбінації.

      Інший важливий випадок афінних перетворень - це розтягування і стиснення відносно прямої.

      На  малюнку 1 показано різні рухи площини з намальованим на ній будиночком. А на малюнку 2 показані різні афінні перетворення на цій площині.

Рисунок 1. Приклади руху

 

Рисунок 2. Приклади афінних перетворень

      Позначимо множину рухів площини як , а множину афінних перетворень як . Тоді вірно наступне твердження:

      Множина рухів є підмножина множини афінних перетворень.

      

      Це  здається очевидним. Потрібно в першу  чергу зрозуміти, що нам власне потрібно довести. Для цього потрібно ще раз подивитися на визначення руху та афінних перетворень. Потрібно довести, що будь-який рух є афінним. Тобто треба показати, що при русі різні точки переходять у різні, і образ будь-якої прямої є пряма.

      Це  інтуїтивно зрозуміло - при русі фігури взагалі не змінюють своєї форми і розмірів, а міняють лише своє становище на площині. Також і прямі будуть зберігати свою форму - залишатися прямими. Рух можна представляти як переміщення листка паперу з малюнком по парті. При русі різні точки залишаються різними, оскільки відстані зберігаються. Якщо точки були «поділені» деякою відстанню, то й після руху вони будуть «розділені» цією ж відстанню.

      Розтягування  і стискування 

      Розтягуванням площини відносно прямої з коефіцієнтом називається перетворення площини, при якому кожна точка переходить в таку точку , що відстань від прямої до в разів більша, ніж до точки , і проекція точок і на пряму збігаються. Якщо коефіцієнт позитивний, то точки і лежать по один бік від прямої , якщо негативний - то по різні.

Рисунок 3. Стиснення і розтягнення відносно прямої.

      Давайте доведемо, що розтяг (стиск) щодо прямої є афінним перетворенням. По-перше, ці перетворення взаємно однозначні. Щоб довести це зауважимо, що для кожного стиснення є розтягнення, яке всі точки повертає на свої місця, і навпаки, для кожного розтягування є повертаючий все на свої місця стиск. А зараз скористаємося теоремою:

      Теорема 1

      Якщо  перетворення зворотне перетворенню , а перетворення зворотне перетворенню , то і взаємно однозначні перетворення.

      Перетворення називається зворотнім до перетворення , якщо перетворення , застосоване після перетворення , всі точки повертає на свої місця. Якщо перетворення точку переводить в точку , то зворотне перетворення точку переводить в точку .

      Розтягування (стискування) відносно прямої є афінним перетворенням.

      Доказ.

      Нехай розтяг здійснюється відносно прямої . Спрямуємо вздовж неї вісь . Розглянемо будь-яку пряму . Можливі два випадки.

      1) Якщо вона перетинається з , то проведемо через точку перетину вісь , перпендикулярну . Тоді рівняння прямої буде мати вигляд:

      

.

      При розтягуванні щодо прямої (осі) з коефіцієнтом точка переходить в точку :

      розтяг  відносно осі 'X': .

      Точка прямої перейде в точку з координатами . А значить, координати нових точок будуть задовольняти рівнянню

      

      - це рівняння прямої. Отже образи точок прямої лежать на прямій .

      2) Якщо вона не перетинається з .

      Отже, крім рухів площини афінні перетворення містять ще стиснення і розтягування відносно прямої. Якщо ми застосуємо розтяг відносно однієї прямої, а потім відносно іншої прямої, то знову отримаємо афінне перетворення, так як і перше, і друге розтягнення зберігало прямі а також різні точки переводило в різні. Взагалі вірно

      Композиція афінних перетворень є знову афінним перетворенням:

      

      Ми  тут використали значок «о» композиції. Вираз слід розуміти як перетворення площини, яке виходить після застосування перетворення і подальшого застосування перетворення . Значок « » слід читати як «належить», тобто «містяться всередині як елемент». 

      

      Рисунок 4. При паралельному проектуванні з  однієї площини на іншу фігура піддається розтягуванню (стиснення) відносно прямої перетину площин.

      Гомотетія

      Є ще важливий клас афінних перетворень - це стиснення і розтягування відносно точки. Вони називаються перетвореннями подібності або гомотетія.

      Гомотетія відносно точки з коефіцієнтом точку переводить в точку , яка віддалена від точки в разів сильніше ніж точка і лежить на прямій з тієї ж сторони від точки , що і точка , якщо . Якщо , то і лежать по різні сторони від точки . Іншими словами,

      

      Як  ми дізналися, розтяг (стиск) відносно прямої можна реалізувати як проекцію фігури за допомогою паралельного пучка променів з однієї площини на іншу площину, не паралельну їй. А гомотетія виходить при проекції за допомогою центрального пучка променів з однієї площини на іншу, паралельну їй площину (рис.5).

      Рисунок 5. Гомотетія як проекція фігури з  однієї площини на іншу, паралельну їй площину за допомогою центрального пучка променів.

      Позначимо як розтяг відносно прямої з коефіцієнтом (якщо , то це стиск). І, в той же час, буде позначати гомотетію відносно точки з коефіцієнтом .

      Ми  вже з'ясували, що

      

      Приклад.

      Доведіть, що гомотетію відносно точки можна представити як композицію двох розтягувань (стиснень) відносно перпендикулярних прямих і , що перетинаються в точці :

       . Точніше

      (Цей  запис слід читати так: «Для  будь-якого дійсного числа і двох перпендикулярних прямих і , що перетинаються в точці , вірно рівність ».)

      Підказка. Дивіться рисунок 6.

      

      Рисунок 6. З двох розтягувань вздовж перпендикулярних напрямків виходить гомотетія.