Афінні перетворення фігур

      Що  афінні перетворення зберігають?

      З визначення афінних перетворень видно, що вони зберігають прямі і властивість різниці двох точок:

      

• - Пряма,   - прямий.

      Ці  дві властивості можна позначити  так:

      

      Ці  дві властивості є визначальними  властивостями афінних перетворень. Безпосередньо з цих властивостей слідують, як ми вже показали раніше, наступні дві важливі властивості:

 Композиція афінних перетворень є знову афінне перетворення.

• Перетворення, протилежне до афінності, є знову афінне перетворення.

      Ці  властивості можна позначити  так:

      

                                    

      Наступні  властивості відносяться до класу  «законів збереження», тобто вони говорять, які властивості фігур афінних  перетворення зберігають (не змінюють).

      Примітка. Перетворення інверсії зберігає властивість кола та кути між кривими. Інший тип перетворень - рухи, вони зберігають відстані. Рухи, афінності перетворення та інверсію можна грубо визначити так:

      1. Рухи зберігають відстань.

      2. Афінні перетворення зберігають «прямоту» ліній.

      3. Інверсії зберігають властивість «круглоти».

      Приклад

      Доведіть, що при перетворенні афінному

 пересічні прямі переходять у пересічні,

• паралельні переходять в паралельні.

Ці властивості  можна позначити так:

      Рішення

      Дійсно, прямі переходять у прямі. Припустимо, що дві прямі перетинаються. Значить, у них є спільна точка А. Якщо після афінного перетворення вони стали паралельними, значить у них не стало загальної точки А. Виходить, що образ точки А (точка в яку вона перейшла під час перетворення) повинен лежати як на першій, так і на другий прямій. Але цього бути не може, оскільки точка А має тільки один образ. Точка не може перейти у дві різні точки. Значить, пересічні прямі не могли перейти в паралельні.

      Задача На основі попередніх властивостей, доведіть наступні дві властивості:

• паралелограм переходить в паралелограм,

 трапеція переходить у трапецію:

      

      Рисунок 7. Відношення площ зберігається.

      Наступна  важлива властивість стосується площі. Подивіться на рисунок 7. Там намальована прямокутна сітка і дві фігури. Площі цих фігур приблизно рівні (пропорційна) кількості квадратиків. А ставлення площ двох фігур приблизно дорівнює відношенню квадратиків всередині цих фігур.

      При афінному перетворенні квадратики переходять в однакові паралелограми, прямокутна сітка переходить в скособочену сітку. Але важливо, що відношення площ приблизно дорівнює відношенню числа цих паралелограмчиків, тобто тому ж, чому було одно це ставлення до афінної перетворення. Якщо намалювати сітку дуже-дуже дрібною, точніше як завгодно дрібною, тоді площа буде точно виражатися через число квадратиків і паралелограмчиків і наші міркування стануть строгими.

      Таким чином, ми довели ще одну властивість:

      Нехай і - образи фігур і при деякому афінному перетворенні, тоді відносини їх площ однакові, тобто

      

      Цю властивість можна записати так:

 
 

      1.2 Вираз афінного перетворення через координати 

      У комп'ютерній графіці все, що відноситься  до двовимірного випадку прийнято позначати  символом (2d) (2-dimention).

      Припустимо, що на площині введена прямолінійна координатна система. Тоді кожній точці М ставиться у відповідність впорядкована пара чисел (х, у) її координат (рис. 8).

      Вводячи на площині ще одну прямолінійну систему координат, ми ставимо у відповідність тій же точці М іншу пару чисел – (x*, y*). 

                                                                                                     
 
 
 
 

                   Рис. 8

     Перехід від однієї прямолінійної координатної системи на площині до іншої описується наступними співвідношеннями: 

                                   x^* = ax + by +l, (1.1)

                                   y^* = gx + by + m, (1.2)

де a, b, g, l, m -- довільні числа, зв’язані нерівністю:

  a b

  = 0.                                                                                      (1.3)

  g d

     Формули (1.1) і (1.2) можна розглядати двояко: або зберігається точка і змінюється координатна система (рис. 9) – в цьому випадку довільна точка М залишається тією ж, змінюються лише її координати (х, у) | (х*, y*), або змінюється точка і зберігається координатна система (рис.10) – в цьому випадку формули (1.1) і (1.2) задають відображення, що переводить довільну точку   М (х, у) в точку М* (х*, у*), координати якої визначені в тій же координатній системі. 

                                                         X*

                                 Y*                                                                 
 
 
 
 

                    Рис. 9 

                                                                                                    

        

        
 

                       Рис. 10 

      Надалі, формули (1.1) і (1.2) розглядатимуться як правило, згідно з яким в заданій системі прямолінійних координат перетворяться точки площини. У афінних перетвореннях площини особливу роль відіграють декілька важливих окремих випадків, що мають добре прослідковані геометричні характеристики. При дослідженні геометричного сенсу числових коефіцієнтів у формулах (1.1) і (1.2) для цих випадків зручно вважати, що задана система координат є прямокутною декартовою.

1. Поворот навколо початкової точки на кут j (рис.11) описується формулами:

х* = x cosj - y sinj, (1.3)

      y* = x sinj - y cosj. (1.4)

       2. Розтяг (стиск) вздовж координатних осей можна задати так:

                              x* = ax,                                                            (1.5)

                              y* = dy,                                                             (1.6)

                                 a > 0, d > 0.    (1.7)

      Розтяг (стиск) вздовж осі абсцис забезпечується при умові, що a > 1 (a < 1). На рис. 12 a = d > 1.

1. Відбиття (відносно осі абсцис) (рис. 13) задається за допомогою формул:

                              x* = x,                                                           (1.8)

                              y* = -y.                                                          (1.9)

2. На рис.14 вектор переноса ММ* має координати l, m. Перенос забезпечує співвідношення:

                             x* = x + l,   (1.10)

                          y* = y + m.    (1.11) 

                                                                                                    

        
 
 
 

        Рис. 11 
 

                                                                                                    

        

        
 

                      Рис. 12 

                                                                                                    

        
 

        

      Рис. 13

      

        

      

                                                                                                     
 

        
 

                            Рис. 14

      Вибір цих чотирьох окремих випадків визначається двома обставинами.

      1. Кожне з приведених вище перетворень має простий і наочний геометричний сенс (геометричним сенсом наділені і постійні числа, що входять в приведені формули).

     2. Як відомо з курсу аналітичної геометрії, будь-яке перетворення вигляду (1.1) завжди можна представити як послідовне виконання (суперпозицію) простих перетворень вигляду 1 – 4 (або частини цих перетворень). Таким чином, справедлива наступна важлива властивість афінних перетворень площини: будь-яке відображення вигляду (1.1) можна описати за допомогою відображень, що задаються формулами  (1.3), – (1.11). Для ефективного використання цих відомих формул в завданнях комп'ютерної графіки зручнішим є їх матричний запис.