Задачи обслуживания в системах с потерями

Следовательно, вероятность того, что за это время  освобождается хотя бы один из k аппаратов, равна 

Так как вероятность  освобождения двух и более аппаратов за время имеет порядок o(), то, следовательно, вероятность того, что за время освободится точно один аппарат из , равна 

Осталось вычислить  вероятность . Эта величина с точностью до равна вероятности поступления требования за время , т. е. 

Представляя полученные выражения для и в (16), получаем 

Из формулы (16) можно получить значения , если учесть, что , так как переход от занятых аппаратов к n занятому аппарату невозможен в силу того, что их всего по условию. Поэтому 

Объединяя все  полученные выражения, получаем следующую сводку асимптотических формул для переходных вероятностей:

(17)

  Подставляя  эти выражения в (14 при , и п, получаем следующую группу уравнений: 

  В процессе подстановки все члены, содержащие , сгруппированы и заменены Это законно, так как сумма конечного числа бесконечно малых величин одного порядка есть также бесконечно малая величина того же порядка.

  Теперь  произведем некоторые преобразования в этой группе уравнений (18): перенесем  в первом уравнении слагаемое во втором уравнении перенесем а в третьем влево, после чего разделим обе части всех уравнений на . В результате получим 

  Переходя  к пределу при , замечаем, что пределы левых частей равенств есть производные по времени от :

(19)

Эта система  линейных однородных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций  называется системой Эрланга.

Из этой системы  можно найти как функции от параметров и . Для определения произвольной постоянной, входящей в решение, можно использовать следующее условие: 

Однако хотя задача интегрирования такой системы  уравнений принципиально разрешима, практическое решение ее связано со значительными вычислительными трудностями. Используем предыдущие рассуждения, доказывающие наличие предельного решения. Отыскать его гораздо проще, чем проинтегрировать эту систему. Покажем, как это может быть сделано. Переходя в (19) к пределу и используя наличие 

Получаем

(21)

  Пределы левых частей равны нулю, так как  если предположить противное, то это означало бы, что при , что невозможно потому, что .. Система (21) является системой линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Таким образом, если для отыскания нужно интегрировать систему дифференциальных уравнений, то для определения нужно всего лишь решить систему алгебраических уравнений. Для этого заменим 

тогда но из первого уравнения (21) следует, что эта величина равна нулю, поэтому .

 Преобразуя  второе уравнение из (21), получаем 

т. е. 

Последнее уравнение  из (21) дает .

Таким образом: 
 
 

Подставляя  во второе уравнение при , получим, что . Аналогично приходим к выводу, что . Это означает, что 

и 

Отсюда получаем, что 
 

Легко показать, что этот закон имеет место  при любом , т. е. 

Для определения  воспользуемся условием, которое получается из (20) при : 

Подставляя в  это равенство выражения , получаем, что 
 

Таким образом, формулы (22) .и (23) дают решение поставленной задачи. С их помощью можно вывести формулу для вычисления одного из основных критериев функционирования обслуживающей системы  -  вероятности отказа. Очередное требование не будет принято на обслуживание в том случае, если все аппараты заняты, т. е. если k=n. Поэтому вероятность отказа 

  Математическое  ожидание числа занятых аппаратов  равно 

Нужно отметить, что несмотря на то, что формулы (22) были выведены в

предположении, что время обслуживания требований обслуживающей

системой  подчинено показательному закону, тем  не менее они имеют

гораздо более широкое применение.