Задачи обслуживания в системах с потерями

Если  обозначить время обслуживания через, то полной его характеристикой будет закон распределения 

Большое значение имеет показательный закон распределения  времени обслуживания , которое имеет вид 

где - среднее время обслуживания.

Раздел 2.

Задачи  обслуживания в системах с потерями.

Как уже отмечалось выше, первая группа задач массового обслуживания характеризуется тем, что требование, поступившее в момент, когда все обслуживающие аппараты системы заняты, получает отказ в обслуживании и покидает систему. Например, к числу процессов такого типа относится прием (перехват) сообщений по радио, который осуществляется группой приемников. Если в момент передачи очередного сообщения все радиоприемники заняты приемом сообщений, передача которых была начата раньше, то очередное сообщение будет потеряно (частично или полностью).

  Ясно, что  решение каждой конкретной задачи отдельно вызвало бы много трудностей. Поэтому нужно рассмотреть абстрактную систему обслуживания, отвлеченный поток требований, не связанный ни с каким реальным потоком, и получить необходимые характеристики для этого процесса, а затем из этого общего решения могут быть получены частные решения всех задач этого типа. Найдем общее решение задачи, а затем покажем, каким образом можно его использовать для конкретных задач. При решении ограничимся рассмотрением случая простейшего потока требований и показательного закона распределения времени обслуживания. Начнем с подробной формулировки задачи.

  Постановка  задачи. Рассмотрим обслуживающую систему, состоящую из аппаратов. Предположим, что она относится к числу систем с потерями, т. е. требование, поступившее в момент, когда все обслуживающие аппараты заняты, покидает систему. Если в системе в момент поступления требования есть хоть один свободный аппарат, то он немедленно приступает к обслуживанию требования. Каждый аппарат может одновременно обслуживать только одно требование. Для рассматриваемой задачи безразлично, относится система к числу упорядоченных или нет. Время обслуживания одного требования одним аппаратом подчинено показательному закону с параметром .

  В систему  на обслуживание поступает простейший поток требований с параметром λ. Это значит следующее: поток стационарный, ординарный, без последействия. Вероятность  поступления точно  требований за время равна 

где λ —  математическое ожидание числа требований за единицу времени.

  Основным  критерием функционирования такой  системы обслуживания является вероятность отказа, т. е. вероятность того, что в момент поступления очередного требования все обслуживающие аппараты заняты. Кроме того, в некоторых прикладных задачах может представлять определенный интерес и такой критерий, как среднее число аппаратов, занятых обслуживанием. Первый критерий характеризует соотношение потока обслуженных требований и входящего потока, т. е. полноту обслуживания входящего потока. Второй критерий характеризует степень загрузки обслуживающей системы. Конечной целью решения этой задачи является вывод формул для вычисления вероятности отказа и математического ожидания числа занятых обслуживающих аппаратов.

  Прежде  чем приступить к составлению  уравнений, из которых можно получить решение задачи, определим те основные состояния, в которых может находиться обслуживающая система. В каждый момент времени она может находиться в одном из следующих состояний:

• все обслуживающие аппараты свободны,
• занят один обслуживающий аппарат,
• заняты два обслуживающих аппарата и т. д.,
• заняты все обслуживающих аппаратов.

  Ясно, что  всех возможных состояний. Обозначим через N () число аппаратов, занятых в момент времени t при условии, что в начальный момент занято k аппаратов. Функция N(t) есть случайная величина, которая определяется: моментами освобождения тех аппаратов, которые были заняты в начальный момент, моментами поступления новых требований на обслуживание, моментами окончания обслуживания этих новых требований. Если в некоторый момент времени занят аппарат, т. е. , то легко видеть, что дальнейшее течение процесса обслуживания не зависит от того, что было до момента . Действительно, моменты освобождения занятых аппаратов не зависят от того, что было до , так как закон распределения времени обслуживания - показательный.

Моменты появления  новых требований не зависят от того, что было до момента , так как поток требований - простейший и, следовательно, обладает свойством отсутствия последействия. Независимость окончания обслуживания новых требований от очевидна, поэтому все величины, определяющие , не зависят от того, что было до момента . Функция является случайной функцией. Такие случайные процессы, течение которых не зависит от прошлого, относятся к очень важному типу процессов, называемых марковскими процессами, или процессами Маркова.  Следовательно, случайный процесс является марковским процессом.

  Обозначим через вероятность того, что в момент времени t занято k аппаратов системы, т. е. 

а через - условную вероятность того, что через время t будет занято k аппаратов, если вначале было занято i аппаратов. В дальнейшем будет использоваться формула полной вероятности  

Если система  состоит из одного обслуживающего аппарата, то 

есть вероятность  того, что этот аппарат свободен. Если в начальный момент он был  свободен, то , т. е. 

Величина есть условная вероятность того, что за время аппарат не будет занят; но эта вероятность равна тому, что за это время не поступит ни одного требования. Так как поток простейший, то из формулы (3) следует, что эта вероятность равна 

Подставляя  , получаем 

oткуда 

Переходя к  пределу при , получаем 
 

Из начального условия  следует, что , т. е. 

Таким образом, если в начальный момент аппарат  был свободен, то вероятность того, что он будет свободен через время  , равна 

т. е. она тем  больше, чем меньше λ.

  Для многих процессов имеет место очень  важное свойство, которое заключается  в том, что  при стремятся к конечным пределам, где  - постоянные числа, не зависящие от начального положения, в котором находилась обслуживающая система. Наличие этих пределов для рассматриваемой задачи вытекает из следующей теоремы.

Теорема Маркова. Если существует такое , что

  , то для

марковского процесса предел 

существует  и не зависит от i.

Заметим, что  здесь существенным является строгая  положительность . Так как есть условная вероятность перехода от i занятых аппаратов в системе обслуживания к k занятым аппаратам, то означает, что при достаточно большом промежутке времени возможен переход от i занятых аппаратов к k. Но так как это неравенство справедливо при любых i и , то, следовательно, переход к занятым аппаратам возможен из любого начального состояния. Очевидно, что для рассматриваемой задачи это свойство справедливо. Действительно, система, состоящая из обслуживающих аппаратов, может из любого состояния перейти со временем, если взять это время достаточно большим, в любое другое возможное состояние.

Покажем, что  вероятность того, что занято аппаратов системы, имеет предел при . Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Для того, чтобы вероятность при имела предел независимо от начальных состояний, необходимо и достаточно, чтобы к этим же пределам стремились условные вероятности при любом начальном состоянии .

Вместе с теоремой Маркова эта теорема доказывает наличие стационарного решения в рассматриваемой задаче. Эти замечания, которые сохраняют свою силу для всех процессов, рассмотренных в данной работе, позволяют значительно упростить дальнейшие вычисления. Для всех рассматриваемых процессов можно будет отыскивать предельные решения, которые достаточно полно описывают установившийся процесс.

Перейдем к  составлению уравнения для определения .

Для вывода уравнений, определяющих , воспользуемся уравнением (13). Положим в нем , а , тогда 
 

В этом равенстве  величины есть условные вероятности того, что за время обслуживающая система перейдет от i занятых аппаратов к k. Вычислим эти вероятности. Положим и определим - вероятность того, что в системе через время не будет ни одного требования при условии, что в начальный момент она была свободна. Это событие, может произойти следующим образом. За время не поступит ни одного требования, тогда, очевидно, все обслуживающие аппараты будут свободны. Вероятность эта равна  

так как есть вероятность поступления хотя бы одного требования за время , а следовательно, есть вероятность отсутствия требований за это время.

  Но возможно, что за время все-таки поступит одно требование, при этом оно будет обслужено и покинет систему. Тогда по истечении промежутка времени все обслуживающие аппараты будут свободны. Пусть требование поступило в начальный момент отрезка , тогда вероятность того, что оно будет обслужено за время, не превосходящее , равна 

Разлагая  в ряд по степеням , получаем  

Сумма 

так как это  знакопеременный ряд и сумма  его по абсолютной величине не превосходит первого члена, т. е. , а это величина порядка .

Если требование поступило не в начальный момент промежутка , то вероятность того, что оно будет обслужено за оставшееся время, еще меньше. Но вероятность поступления хотя бы одного требования за время равна 

Таким образом, вероятность того, что за время требование поступит и будет обслужено, не превосходит 

т. е. эта вероятность  есть величина бесконечно малая более  высокого порядка, чем . Вероятность же того, что за время поступят и будут обслужены больше двух требований, еще меньше. Следовательно, по теореме сложения вероятностей 

 Теперь найдем значение . Для вычисления воспользуемся тем, что 

Справедливость  этого равенства очевидна, так  как оно означает, что если в  некоторый момент занято k аппаратов, то через время система или остается в прежнем состоянии, т. е. будет занято k аппаратов, или перейдет в какое-нибудь другое возможное состояние, т. е. к i занятым аппаратам . Из этого равенства вытекает, что

 

Покажем, что  все члены правой части этого  равенства, кроме и есть величины бесконечно малые более высокого порядка, чем . Действительно при есть вероятность того, что за

время в систему поступит не меньше двух требований (при ), а вероятность этого 

или за это время  систему покинут не меньше двух обслуженных требований (при ). Вероятность этого последнего события равна 

Здесь мы воспользовались  ранее полученным равенством, но так как,

,то 

Следовательно, вероятность того, что за время систему покинут не меньше чем два обслуженных требования, есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем . Таким образом, вероятность при | имеет порядок т. е. 

Учитывая это, равенство (15) можно переписать в  следующем виде: 

Вычислим величину, которая является вероятностью того, что из занятых аппаратов за время освободится по крайней мере один из них. Вероятность того, что за время занятый аппарат не освободится, равна вероятности того, что время обслуживания превзойдет , а так как вероятность того, что время обслуживания будет меньше , равна

, то, следовательно,  вероятность того, что оно будет  больше , равна 

Если в момент t занято k аппаратов, то вероятность того, что не освободится ни один из них, может быть найдена по теореме умножения вероятностей. Так как есть вероятность того, что один занятый аппарат за время не освободится, то вероятность того, что все аппаратов не освободятся, равна