Задачи обслуживания в системах с потерями

Введение.

Во всех областях человеческой деятельности, или по крайней мере в большинстве их, мы сталкиваемся с процессами, которые имеют характер массового обслуживания. В науке, в производстве, в быту, в процессах боевых действий и т.п. часто возникают ситуации, когда имеется необходимость в обслуживании большого количества однородных требований. Ясно, что во всех случаях важно качество обслуживания, не меньшее значение имеет и то, как это обслуживание организовано. Отсюда возникает необходимость изучения организационной стороны процесса обслуживания. Эта сторона процесса обслуживания может характеризоваться различными факторами, такими как временем начала обслуживания, длиной очереди и т.п. Все эти факторы имеют немаловажное значение в тех процессах, где происходит массовое обслуживание, их число в тех или иных обстоятельствах может быть весьма значительным, но далеко не все они равнозначны. Среди них есть те, которые являются основными, а есть те, которые являются второстепенными, их можно не учитывать. Для того, чтобы выбрать оптимальную организацию обслуживания можно ждать что покажет практика, эксперимент, а затем выбрать и скорректировать раннее полученные результаты. Чем точнее выбрано первоначальное решение, тем лучший результат будет получен и в более короткие сроки. При принятии этого первоначального решения, как и других последующих, нам нужна теория массового обслуживания, потому что для этого необходимо произвести ряд предварительных расчетов и т.д. – словом, получить ответы на ряд вопросов, решением которых и занимается теория массового обслуживания.

Приведенные нами рассуждения позволяют более  четко представить, что такое  теория массового обслуживания, чем она занимается, а также сформулировать ее предмет и цели, которые она преследует.

Предметом теории массового  обслуживания является количественная сторона процессов, связанных с массовым обслуживанием.

Целью теории является разработка математических методов  для отыскания  основных характеристик  процессов массового обслуживания для оценки качества функционирования обслуживающей системы.

В первом разделе  данной курсовой работы мы рассматриваем  входящий поток и время обслуживания.  Изучение потока требований является первой задачей, которая неизбежно  возникает как при теоретической  разработке проблем массового обслуживания, так и при практическом применении ее методов к решению конкретных задач. Какая бы цель перед нами ни стояла, во всех случаях для того чтобы предпринять какие-то конкретные шаги по преобразованию обслуживающей  системы с целью улучшения  качества ее функционирования, мы всегда должны сначала самым тщательным образом изучить  поток требований, поступающих в эту систему.

Во втором разделе  рассматриваем задачу обслуживания в системах с потерями.

Раздел 1.

1. Входящий поток.

Последовательность  событий будем называть потоком. Поток, состоящий из требований на обслуживание, назовем потоком требований.

Поток требований, нуждающихся в обслуживании и  поступающих в обслуживающую  систему, называется входящим потоком. Поток требований, покидающих обслуживающую систему, называется выходящим потоком. При этом требования, поступающие в обслуживающую систему, могут покидать ее и будучи необслуженными.

Целью функционирования  всякой обслуживающей системы является удовлетворение заявок (требований) на обслуживание. Поэтому поток требований является одним из основных и наиболее важных понятий теории массового обслуживания. Потоком требований (входящим потоком) называется совокупность заявок на обслуживание, поступающих в обслуживающую систему.

Если выбрать  некоторый момент времени за начальный, то в ряде процессов нельзя или, по крайней мере, довольно трудно точно  предсказать момент поступления  следующего требования, а также моменты  поступления всех следующих за ним  требований.  Так, например, если рассматривать заявки на ремонт, поступающие в автомастерскую от владельцев неисправных автомобилей, и за начальный момент  () брать момент открытия мастерской, то ясно, что если и случится так, что первая заявка всегда будет поступать в момент открытия, то моменты поступления всех  последующих заявок сегодня, завтра, послезавтра не будут совпадать. Иначе говоря, время поступления каждой заявки, как и количество заявок в течении дня (автомашины ведь не выходят из строя точно по графику), есть величины случайные, т.е. такие, которые под влиянием случайных обстоятельств могут принимать различные значения.

Процесс поступления  заявок на обслуживание есть случайный  процесс. Поток требований может быть описан некоторой функцией  , определяющей число требований, нуждающихся в обслуживании за промежуток времени . Функция есть случайная величина для каждого значения . Действительно, если мы выберем промежутки времени даже одинаковой продолжительности, то и в этом случае мы не можем быть уверены, что в каждый из этих промежутков времени поступит одинаковое число требований. Ведь за данный промежуток времени может и не поступить ни одного требования, а может поступить _{требований.}

Можно полностью  определить случайную функцию  , если для любых положительных промежутков времени указать число требований, поступивших за каждый из этих промежутков. Необходимо дать характеристику группы случайных величин 

Но функция  может принимать только целые положительные значения, поэтому она может быть задана более просто. Для полного определения потока требований достаточно знать, какова будет вероятность того, что за время поступит   требований, за время _{поступит} требований и т.д. Если эта вероятность будет известна для любой группы целых положительных _{и положительных} то поток требований будет полностью описан. Эту вероятность мы будем обозначать через  

Очевидно, что  эта вероятность может быть отлична  от нуля только в том случае, если при _{величины} удовлетворяют условию

Это утверждение  вытекает из того, что функция  не убывает с возрастанием . Значение функции 

для любых  и _{полностью определяет поток требований. Зная эти вероятности, мы всегда сможем ответить на любой вопрос о потоке требований и определить любую его характеристику. В частности, можно определить вероятность того, что за промежуток времени} поступит точно _{требований. Вероятность этого будет равна}  

Так, например, вероятность  того, что за время  не поступит ни одного требования, равна  

Можно определить, например, вероятность того, что  в течение суток в исследуемую  систему обслуживания каждый час  будет поступать только одно требование. Эта вероятность равна 

1.2. Свойства потоков.

Часто на практике встречаются потоки, обладающие свойствами, позволяющими найти более простые  способы их описания. Так, многие потоки требований обладают свойством стационарности. Стационарными являются потоки, для которых вероятность поступления определенного количества требований в течение определенного промежутка не зависит от начала отсчета времени, а зависит от длины промежутка. Т.е., поток называется стационарным, если закон распределения группы величин  

совпадает с  законом распределения  

т.е. распределение  случайных величин зависит от и не зависит от величины , где любой произвольный отрезок времени. Как частный случай из этих рассуждений вытекает, что для стационарных потоков  

где _{, т.е. вероятность того, что ровно} требований будет получено за промежуток времени , равна вероятности получения требований за промежуток времени при любом значении .

Нетрудно понять, что наличие свойства стационарности значительно облегчает изучение потока требований. Действительно, если известен характер потока требований, поступающих в обслуживающую  систему с некоторого начального момента , то для того чтобы получить характеристики потока начиная с момента , нет необходимости изучать поток заново. Можно воспользоваться характеристиками потока, полученными ранее. Число требований, поступающих в систему обслуживания после момента , т.е. _{, при наличии свойства стационарности будет подчиняться т}ому же закону, что и .

В некоторых  реальных потоках число требований, поступивших в систему после  произвольного момента времени  , не зависит от того, какое число требований поступило в систему до момента . Это свойство независимости характера потока требований от числа ранее поступивших требований и моментов времени их поступления носит название отсутствия последействия. Более строго, поток требований называется потоком без последействия в тех случаях, когда закон распределения группы  

при   и любом _{не зависит от значений величины} при . В частности, условная вероятность поступления требований за промежуток времени _{при предположении, что количество требований, поступивших в систему до ,} будет любым, совпадает с безусловной вероятностью этого события.

Обозначим , где Иными словами,

есть вероятность  того, что за промежуток времени  при поступит точно требований.

Стационарный  поток без последействия обладает одним важным свойством, заключающимся  в том, что его можно полностью  охарактеризовать системой функций _, где _{Для доказательства достаточно показать, что}  

можно выразить через _{, . Это и будет означать, что стационарный поток требований без последействия полностью характеризуется функциями}

Если за отрезки  времени  поступило соответственно требований, то это равносильно тому, что за время поступило требований, за время поступит _{требований и т.п. Поэтому вероятность того, что равна вероятности того, что} , где Для того, чтобы обеспечить общность записи принимаем _{. Следовательно,} 

Но промежутки времени  не пересекаются, поэтому события поступления _{требований за эти промежутки времени независимы.}

Применив теорему  умножения вероятностей, получим 

По условию  поток требований стационарный: 

Следовательно,  

Но  есть вероятность того, что за время поступит точно требований, а она равна _{Поэтому} 

где

Таким образом, указанное выше свойство действительно  имеет место, и для того, чтобы  описать стационарный поток без  последействия, достаточно получить систему  функций  _{где и Это свойство в значительной степени упрощает изучение таких потоков и облегчает  описание.}

В целом ряде случаев, когда мы имеем дело с  конкретной системой обслуживания, характер потока требований таков, что в любой  момент времени может поступить  только одно требование. Потоки, обладающие этим свойством, называются ординарными. Это свойство показывает, что в таких потоках невозможно или почти невозможно, одновременное появление двух или большего числа требований.

Обозначить через  вероятность появления за промежуток времени не меньше двух требований. Сформулируем свойство ординарности следующим образом.

Поток требований называется ординарным, если  

Или _при Иными словами, вероятность того, что появится больше одного требования за малый промежуток времени , если бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

1.3.Простейший  поток.

Особый интерес  представляют так называемые простейшие потоки. Потоки такого типа или близкие  к ним часто встречаются на практике.

Простейшим  потоком требований называется поток, одновременно обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Поскольку простейший поток является стационарным и у  него отсутствует последействие, для  его полного описания вполне достаточно знать систему функций  Прежде чем приступить к выводу выражения функций _{, где} может принимать любые целочисленные положительные значения _{, докажем следующую теорему, формулирующую основное свойство стационарного потока требований.}

Теорема 1. Для любого стационарного  потока существует предел