Составление оптимального инвестиционного портфеля

Перед инвестором стоит задача максимизации своей ожидаемой прибыли, необходимо определить объемы инвестиций в каждый объект портфеля, при этом инвестор должен учесть показатели ликвидности и размер совокупного риска по каждому объекту.

Известные данные приведены в таблице.

 
 
 

Математическая  постановка задачи:

Необходимо максимизировать  следующую целевую функцию: 

Z(Ij)=∑IjQj →max,

Где Z(Ij)-целевая функция задачи максимизации(максимально возможный доход), Ij-объем инвестиций в конкретный объект,Qj- доходность этого объекта.

Ограничения:

∑Ij≤300000, что значит , что в распоряжении инвестора имеется лишь 300000 у.е. , которые он готов инвестировать.

Ij≥0, так как сумма инвестиций не может быть отрицательной величиной.

∑IjQj≥300000,что значит , что инвестор не хочет получить доход менее той суммы, которую вложил.

R≥0,т.к. риск величина не отрицательная, при этом инвестор не хочет, чтобы совокупный риск его портфеля был более чем 0,18(18%),что соответствует ограничению

R=∑Ij*Rj/I≤0,18, где Rj-риск объекта, I- сумма инвестиций  портфеля. 
 

Решение задачи в пакете MS Excel.

Используя данные из приведенной выше таблицы, задаётся целевая функция, определяются ограничения  и ,используя сервис «поиск решения», в котором устанавливаются ограничения и краевые условия, выделяются область поиска решений и область изменяющихся данных, находим решение, удовлетворяющее условиям данной ЗЛП.

В ходе расчетов были получены следующие результаты:

Чтобы получить максимальный доход в 72225 у.е. , при максимальном совокупном риске равном 0,15 , инвестору необходимо вложить следующие объемы средств в следующие объекты инвестирования: вложить в счета обеспеченные ценными металлами (1,2,3) по: 33772, 65935, 27839 у.е. соответственно, инвестировать в предприятия  2,3,4 следующие объемы средств: 84984, 56036, 31434 у.е. соответственно.  

В результате оптимизации  портфеля  были сделаны следующие  выводы:

Наиболее выгодно  для инвестора создание портфеля состоящего из шести элементов, в качестве элементов выступают инвестиции в реальный сектор экономики(предприятия) и вложения в счета , обеспеченные ценными металлами. 
 

Чтобы наиболее точно определить выгодность вложений в данные активы необходимо учесть их ликвидность и сравнить эффективность их использования по сравнению с объектами не вошедшими в инвестиционный портфель. Для решения данной задачи можно воспользоваться построением нейронной сети.

Решение задачи оценки инвестиционного портфеля посредством построения нейронной сети.

Иску́сственные  нейро́нные се́ти (ИНС) — математические модели, а также их программные или аппаратные реализации, построенные по принципу организации и функционирования биологических нейронных сетей — сетей нервных клеток живого организма. Это понятие возникло при изучении процессов, протекающих в мозге, и при попытке смоделировать эти процессы. Первой такой попыткой были нейронные сети Маккалока и Питтса ^[1]. Впоследствии, после разработки алгоритмов обучения, получаемые модели стали использовать в практических целях: в задачах прогнозирования, для распознавания образов, в задачах управления и др.

ИНС представляют собой систему соединённых и взаимодействующих между собой простых процессоров (искусственных нейронов). Такие процессоры обычно довольно просты, особенно в сравнении с процессорами, используемыми в персональных компьютерах. Каждый процессор подобной сети имеет дело только с сигналами, которые он периодически получает, и сигналами, которые он периодически посылает другим процессорам. И тем не менее, будучи соединёнными в достаточно большую сеть с управляемым взаимодействием, такие локально простые процессоры вместе способны выполнять довольно сложные задачи.

С точки зрения машинного обучения, нейронная сеть представляет собой частный случай методов распознавания образов, дискриминантного анализа, методов кластеризации и т. п. С математической точки зрения, обучение нейронных сетей — это многопараметрическая задача нелинейной оптимизации. С точки зрения кибернетики, нейронная сеть используется в задачах адаптивного управления и как алгоритмы для робототехники. С точки зрения развития вычислительной техники и программирования, нейронная сеть — способ решения проблемы эффективного параллелизма^[2]. А с точки зрения искусственного интеллекта, ИНС является основой философского течения коннективизма и основным направлением в структурном подходе по изучению возможности построения (моделирования) естественного интеллекта с помощью компьютерных алгоритмов.

Нейронные сети не программируются в привычном смысле этого слова, они обучаются. Возможность обучения — одно из главных преимуществ нейронных сетей перед традиционными алгоритмами. Технически обучение заключается в нахождении коэффициентов связей между нейронами. В процессе обучения нейронная сеть способна выявлять сложные зависимости между входными данными и выходными, а также выполнять обобщение. Это значит, что в случае успешного обучения сеть сможет вернуть верный результат на основании данных, которые отсутствовали в обучающей выборке, а также неполных и/или «зашумленных», частично искаженных данных.

http://ru.wikipedia.org/

http://www.statsoft.ru/home/textbook/modules/stneunet.html

http://neuroschool.narod.ru/

Нейронные сети - математический аппарат

В наши дни возрастает необходимость в системах, которые  способны не только выполнять однажды  запрограммированную последовательность действий над заранее определенными  данными, но и способны сами анализировать вновь поступающую информацию, находить в ней закономерности, производить прогнозирование и т.д. В этой области приложений самым лучшим образом зарекомендовали себя так называемые нейронные сети – самообучающиеся системы, имитирующие деятельность человеческого мозга. Рассмотрим подробнее структуру искусственных нейронных сетей (НС) и их применение в конкретных задачах.

Искусственный нейрон

Несмотря на большое  разнообразие вариантов нейронных сетей, все они имеют общие черты. Так, все они, так же, как и мозг человека, состоят из большого числа связанных между собой однотипных элементов – нейронов, которые имитируют нейроны головного мозга. На рис. 1 показана схема нейрона.

Из рисунка видно, что искусственный нейрон, так  же, как и живой, состоит из синапсов, связывающих входы нейрона с ядром; ядра нейрона, которое осуществляет обработку входных сигналов и аксона, который связывает нейрон с нейронами следующего слоя. Каждый синапс имеет вес, который определяет, насколько соответствующий вход нейрона влияет на его состояние. Состояние нейрона определяется по формуле

где

n – число входов нейрона

x_i – значение i-го входа нейрона

w_i – вес i-го синапса

Затем определяется значение аксона нейрона по формуле

Где f – некоторая функция, которая называется активационной. Наиболее часто в качестве активационной функции используется так называемый сигмоид, который имеет следующий вид:

Основное достоинство  этой функции в том, что она  дифференцируема на всей оси абсцисс  и имеет очень простую производную:

При уменьшении параметра a сигмоид становится более пологим, вырождаясь в горизонтальную линию  на уровне 0,5 при a=0. При увеличении a сигмоид все больше приближается к функции единичного скачка.

Нейронные сети обратного распространения

Нейронные сети обратного  распространения – это мощнейший  инструмент поиска закономерностей, прогнозирования, качественного анализа. Такое название – сети обратного распространения (back propagation) они получили из-за используемого алгоритма обучения, в котором ошибка распространяется от выходного слоя к входному, т. е. в направлении, противоположном направлению распространения сигнала при нормальном функционировании сети.

Нейронная сеть обратного  распространения состоит из нескольких слоев нейронов, причем каждый нейрон слоя i связан с каждым нейроном слоя i+1, т. е. речь идет о полносвязной НС.

В общем случае задача обучения НС сводится к нахождению некой функциональной зависимости  Y=F(X) где X – входной, а Y – выходной векторы. В общем случае такая задача, при ограниченном наборе входных данных, имеет бесконечное множество решений. Для ограничения пространства поиска при обучении ставится задача минимизации целевой функции ошибки НС, которая находится по методу наименьших квадратов: