Составление оптимального инвестиционного портфеля

необходимо  найти минимальное  значение дисперсии  портфеля при заданных начальных условиях:

Для   решения    задачи    нахождения    оптимального   портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а)   n значений ожидаемой доходности E ( r_i ), где i = 1, 2,…, n каждой 
ценной бумаги в портфеле;

б)   n значений дисперсий σ _i ² каждой ценной бумаги;

в)   n ( n -1)/2 значений ковариации σ _i ² _{, j} , где i , j = 1, 2,…, n .

W_i – “веса” каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n ценных бумаг по сути дела сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е ^* инвестор должен найти такие значения W_i , при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е ^* инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.  
 

  Нахождение оптимального  портфеля 

В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E ( r ) и уровня риска σ портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания        E ( r ) и σ , поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна , и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным , то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

На практике конкретный инвестор, построив границу  эффективных портфелей, должен задать себе вопрос – какую доходность он ожидает от портфеля? После этого по кривой границы эффективных он определяет уровень σ такого портфеля. Затем инвестор должен оценить, удовлетворяет ли его такой уровень риска. Если инвестор готов к более высокому уровню риска, то ему целесообразно выбрать портфель с более высокой E ( r ). Тот портфель, который при установленной инвестором доходности     E ( r ) даст наилучшее сочетание E ( r ) и σ , будет оптимальным, для данного инвестора.

  Оптимизация инвестиционного  портфеля по методу  Шарпа

В 1963 г. американский экономист У. Шарп ( William Sharpe ) предложил  новый метод построения границы  эффективных портфелей, позволяющий  существенно сократить объемы необходимых  вычислений. В дальнейшем этот метод  модифицировался и в настоящее  время известен как одноиндексная модель Шарпа ( Sharpe single - index model ).

В основе модели Шарпа лежит метод линейного  регрессионного анализа, позволяющий  связать две переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + р Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи r_m , вычисленную на основе индекса Standart and Poor s ( S & P 500). В качестве зависимой переменной берется отдача r_i какой-то i -ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью ( Market Model ), а норму отдачи r_m - рыночной нормой отдачи.

Пусть норма  отдачи r_m принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины r_{m 1} , r_{m 2} , ... , r_mN . При этом доходность r_i какой-то i -ой ценной бумаги имела значения r_{i 1} , r_{i 2} , ... , r_iN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами r_m и r_i в любой наблюдаемый момент времени в виде:

r_i,t = а _i + р _i r_m,t +e_i,t                         

где:   r_{i t} - доходность i -ой ценной бумаги в момент времени t ;

а _i - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i -ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг r_m ;

P i - параметр  линейной регрессии, называемый  бета, показывающий чувствительность  доходности i -ой ценной бумаги  к изменениям рыночной доходности;

r_mt - доходность рыночного портфеля в момент t ;

е _{i , t} - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения r_it и r_mt порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру р_i, поскольку он определяет чувствительность доходности i -ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если p>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность r_m . Соответственно, при p < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности _h от средней арифметической (ожидаемой) величины E( r ) _j , чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом р > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с р < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг р > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной Р .

Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле 

E(r_n ) = n W_iE(r_i)                    

где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим  в эту 

формулу выражение  для r_i из формулы r_i,t = а _i + р _i r_m,t +e_i,t                           :

E( r_n ) = n * W_i E(а_i+р_i r_m + e_i,t) = n * W_i (а_i+e_it) + n *W_i *р_гE( r_m )       

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое  предыдущего уравнения можно представить в виде:

n W_iP_iE(r_m) = W_n+1E(a_n+1 + e_n+1)     

где : W_n+1= n W_i P _i ;

a_n+1 + e_n+1= r_m

при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна  дисперсии    рыночной    доходности.  Выражение  W_n+1= n W_i P _i 

представляет  собой сумму взвешенных величин  P каждой ценной бумаги (где весом служат W_i ) и называется портфельной бетой (Р _n ).В итоге получаем :

E( r_n ) = х W_i E(а_i+e_i)                                         

а поскольку E (e _i ) = 0, то окончательно имеем:

E ( r_n ) = xW_ia_i                                                  

Итак, ожидаемую доходность портфеля E( r_n ) можно представить состоящей из двух частей:

а)     суммы взвешенных параметров а _i каждой ценной бумаги - 
W ₁   a1+W ₂ a ₂ + .... + W_na_n , что отражает вклад в E( r_n ) самих ценных 
бумаг, и

б)      компоненты W_{n +1} a_{n +1} = n W_iAE ( r_m ),   то    есть    произведения

портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка  с ценными бумагами портфеля.

Модели  формирования портфеля инвестиций.

В соответствии с правилом выбора по Парето наилучшим  из совокупности предполагаемых инвестиционных объектов является вариант, для которого нет ни одного объекта по заданным показателям не хуже него, а хотя бы по одному показателю лучше. При этом для сравнения объектов инвестирования по заданным показателям составляются, как правило, таблицы предпочтений, демонстрирующие преимущества тех или иных инвестиционных объектов. Зачастую правило выбора по Парето дает большее количество вариантов, чем это необходимо с учетом ограниченности общего объема инвестиционных ресурсов. В этом случае применяется правило выбора по Борда, согласно которому инвестиционные объекты ранжируются по значениям каждого показателя в порядке убывания с присвоением соответствующего значения ранга, и наилучшим вариантом признается объект инвестирования с максимальным значением суммарного ранга.

Процедура выбора может осуществляться и на основе метода выбора по удельным весам показателей, при котором сами основные показатели ранжированы по степени значимости для инвестора. Каждому показателю присваивается весовой коэффициент (в долях единицы) при сумме всех весовых коэффициентов, равной единице. Значения рангов показателей для каждого инвестиционного объекта взвешиваются по удельным весам самих показателей и суммируются. Лучший инвестиционный объект характеризуется максимальным значением такого взвешенного ранга.

При составлении  инвестиционного портфеля могут  использоваться комбинированные методы, для чего отбор инвестиционных проектов производится в несколько этапов, на каждом из которых применяется  одно из правил с последующим исключением выбранных вариантов из дальнейшего рассмотрения. Обобщенная оценка может осуществляться на основе суммирования значений всех рассматриваемых показателей или на основе того показателя, которому инвестор отдает приоритет. Оценочные показатели могут включать основные показатели доходности инвестиций, а также такие показатели, как совокупный показатель риска по инвестиционному проекту, показатель кредитного рейтинга заемщика и др.

Выбор того или  иного метода оценки инвестиционных решений и формирования инвестиционного портфеля определяется конкретной целевой установкой инвестора. Вместе с тем рассмотренные методы не позволяют в достаточной мере отразить значение отдельных показателей в системе сравнительной оценки эффективности инвестиций,  достичь максимального соответствия между суммарным объемом финансирования инвестиционных проектов и предполагаемыми инвестиционными ресурсами. 

Постановка  задачи линейного  программирования для  формирования оптимального инвестиционного  портфеля.

 

В наибольшей степени  принципу составления оптимального портфеля соответствуют методы линейного  программирования, позволяющие решить задачу максимизации доходности портфеля при заданных ограничениях.

Отбор объектов инвестирования по критерию доходности (эффективности) играет наиболее существенную роль в процессе инвестиционного анализа в связи с высокой значимостью этого фактора в системе оценок. 

При постановке задачи линейного программирования оптимизация инвестиционного портфеля сводится к задаче нахождения такой комбинации инвестиционных объектов, которая обеспечила бы максимально возможный уровень доходности при заданных ограничениях.

В качестве критериального показателя доходности, который должен быть максимизирован, следует использовать показатель суммарного чистого приведенного дохода инвестиционного портфеля, отражающий совокупный эффект инвестиций

∑ NРV_i→max, i = 1,..., n   

Чистый  приведенный доход (net present value, NPV) - сумма текущих эффектов за весь расчетный период, приведенная к начальному шагу; превышение интегральных результатов над интегральными затратами; абсолютная величина дохода от реализации проекта с учетом ожидаемого изменения стоимости денег и зависит от нормы дисконта.

http://proffin.com/nasha_spravka/materialy_po_biznes-planirovaniyu/terminy_i_opredeleniya/ 
 

В качестве ограничений  могут быть заданы нестрогие неравенства (≤ и ≥):

• общий объем инвестиций по объектам в составе инвестиционного портфеля ∑I_i, не должен превышать объем инвестиционных ресурсов, выделенных для финансирования инвестиций I_р

∑I_i <=I_p   

минимальная внутренняя норма доходности по объектам в соcтаве инвестиционного портфеля (IRR) должна быть не меньше стоимости предполагаемых инвестиционных ресурсов k или установленной инвестором нормы дисконта r

min (IRR)≥k(r)     

(Внутренняя норма доходности IRR (Iinternal Rate of Return) является широко используемым показателем эффективности инвестиций. Под этим термином понимают ставку дисконтирования, при которой чистая текущая стоимость инвестиционного проекта равна нулю. На практике значение IRR сравнивается с заданной нормой дисконта r. При этом, если IRR>r, то проект обеспечивает положительную величину NPV и процент дохода, равный (IRR-r).