Построение моделей временных рядов

 

     Графически  анализ прогноза для Т₂ представлен на рисунке 2.3. 

       Рис. 2.3. Анализ  прогноза для Т₂ 

     3)Т₃ =   

     Сделаем матричные обозначения: 

       

     

       

     Далее построим функцию значений линии  тренда и найдем прогнозные значения .

     Таблица 2.8

     Расчет  прогнозных значений для Т₃

 

     Графически  анализ прогноза для Т₃ представлен на рисунке 2.4. 

     

       Рис. 2.4. Анализ  прогноза для Т₃ 

     Для того чтобы выбрать наилучшую  функцию тренда нужно вычислить  коэффициент детерминации и проверить  значимость уравнения по F-критерию[5].

     Шаг 1. Проверка адекватности модели (расчет остатков Е = Х – (Т_i+S)).

     Таблица 2.9

     Расчет  остатков для трех моделей

 

     Шаг 2. Вычисление коэффициента детерминации. 

      ,                                                                                       (2.21)

       где    TSS – общая сумма квадратов

                ESS – остаточная сумма квадратов

                RSS – объясненная сумма квадратов 

                                                                                                 (2.22)

                                                                                               (2.23)

                                                                                               (2.24) 

                                                                   Таблица 2.10

     Вычисление  коэффициента детерминации

 

     Шаг 3. Проверка значимости регрессионных  уравнений по F – критерию[6].

     Выдвигаем гипотезу:

       

     1) Для Т₁ =  

                                                                                                 (2.25) 

     F=23,66

      = 4

     Т.к. F>F_кр, гипотеза Н₀ отвергается, уравнение хорошего качества.

     2) Для Т₂ =  

                                                                              (2.26) 

     F_кр = 3,23

     Т.к. F>F_кр, гипотеза Н₀ отвергается, уравнение хорошего качества.

     3) Для  Т₃ = 

     

     F_кр = 3,23

     Т.к. F>F_кр, гипотеза Н₀ отвергается, уравнение хорошего качества.

     Вывод: Наиболее значимым является уравнение  Т₃ =  , т.к. коэффициент детерминации для данного уравнения равен 0,51.

     Шаг 4. Проверка значимости параметров уравнения [2].

     Т₃ = 

      1) Выдвигаем гипотезу: Н₀: = 0

                                                Н₁: ≠ 0

     2)Сформулируем  критическую статистику:  

      ,                                                                                     (2.27)

     где -оценка неизвестного параметра ,

           - оценка среднеквадратического отклонения оценки . 

      ,                                                                                                  (2.28)

     где q_ii – диагональные значения матрицы      

      =

 

     S² – несмещенная оценка дисперсии случайной ошибки.

      

                                                                                                 (2.29)  

      

     S² = 0,733 

     Проверим  значимость параметров , , .

      , =0,2186

      , =0,00014

      , =0,848

      33,485

      -2,7429

      5,0303

     t_кр = 2,0084

     Вывод: Т.к. | t |> t_кр гипотеза Н₀ отвергается, значит все параметры данного уравнения являются значимыми. 

     2.2 Проверка остатков на автокорреляцию  с помощью критерия Дарбина  – Уотсона [5]  

     Модель  временного ряда, описывающая месячный уровень осадков:  

Х(Т)=30,714+S_i+E 

     Построим  график остатков для данной модели (Рис.2.5). 

Рис.2.5. Остатки модели для Х₁ 

     Анализ  графика позволяет сделать вывод  об отсутствие автокорреляции в остатках.

     1) Выдвигаем гипотезы [1]:

     Н₀: отсутствие автокорреляции в остатках;

     Н₁: наличие положительной автокорреляции в остатках;

     Н₁^*: наличие отрицательной автокорреляции в остатках.

     2) Вычисляем статистику Дарбина-Уотсона: 

                                                                                                 (2.30) 

     

     3) По специальным таблицам определим  критические значения статистики: d_L = 1,53; d_U = 1,60.

                           0          1,53       1,6       2,4        2,47  4 

     Значение  статистики Дарбина-Уотсона попадает в промежуток [1,6; 2,4],значит, гипотеза Н₀ не отвергается. Можно сделать вывод, что в остатках отсутствует  автокорреляция.

     Наилучшей моделью временного ряда, описывающей  среднемесячные удои молока, является модель:

     Т₃ = 

 

     Представим  графически остатки, вычисленные по модели (Рис.2.6). 

     

     Рис.2.6. Остатки модели для Х₂ 

     Шаг 1. Выдвигаем гипотезы [1]:

      - об отсутствии автокорреляции  в остатках.

      - о наличии положительной  автокорреляции в остатках.

      - о наличии отрицательной  автокорреляции в остатках.

     Шаг 2. Вычисление статистики Дарбина - Уотсона. 

                                                                                              (2.31) 

     

     Шаг 3. Определение критических значений  статистики Дарбина - Уотсона.

     d_L = 1,45  d_U = 1,68 

       Шаг 4. Принятие решения об автокорреляции.

     

0           1,45      1,68      2,32      2,55      4 

     Значение  d принадлежит интервалу (0; 1,45).Можно сделать вывод о том, что гипотеза Н₀ отвергается, в остатках наблюдается положительная автокорреляция.

      

     2.3 Структурные изменения 

     На  графике временного ряда, где показаны среднемесячные удои молока (рис.1.2.) предположительно наблюдаются структурные изменения в 23-ем месяце, т.к. именно в это время Робинзон огородил новый участок, оставив старый участок для восстановления травяного покрова.

     Поэтому выдвигаем гипотезу о наличии  структурных изменений и проверяем  ее с помощью теста Чоу и  подхода Гуйарати [2].

     Таким образом, точка  t*,  в которой наблюдается структурное изменение,  равна: t* = 23.

     Проверка  ряда на наличие структурных изменений  с помощью теста Чоу.