Постановка задач принятия оптимальных решений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение...................................................................................................................3

1. Постановка  задач принятия оптимальных решений........................................5

2. Принятие  решений в условиях риска................................................................9

2.1 Критерий  ожидаемого значения (КОЗ)...........................................................9

2.2 Критерий  предельного уровня.......................................................................10

2.3 Критерий  наиболее вероятного исхода.........................................................10

2.4 Учет  неопределенных факторов, заданных  законом распределения.........11

3. Постановка  задачи стохастического программирования..............................13

4. Метод  статистического моделирования..........................................................16

4.1 Учет  неопределенных пассивных условий...................................................16

4.2 Учет  активных условий...................................................................................21

Заключение.............................................................................................................25

Список  литературы................................................................................................26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Человек – существо свободное и обречено на выбор решений, стараясь сделать всё наилучшим образом. В наиболее общем смысле теория принятия оптимальных решений представляет собой совокупность математических и численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора. Ввиду того, что размерность практических задач, как правило, достаточно велика, а расчеты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных затрат времени, то методы принятия оптимальных решений главным образом ориентированы на реализацию их с помощью ЭВМ.

Практическая потребность общества в научных основах принятия решений  возникла с развитием науки и  техники только в XVIII веке. Началом науки "Теория принятия решений" следует считать работу Джозефа Луи Лагранжа, смысл которой заключался в следующем: сколько земли должен брать на лопату землекоп, чтобы его сменная производительность была наибольшей. Оказалось, что утверждение "бери больше, кидай дальше" неверно. Бурный рост технического прогресса, особенно во время и после второй мировой войны, ставил все новые и новые задачи, для решения которых привлекались и разрабатывались новые научные методы. Можно выделить следующие научно-технические предпосылки становления "Теории принятия решений": удорожание "цены ошибки"¹.

Чем сложнее, дороже, масштабнее планируемое  мероприятие, тем менее допустимы  в нем "волевые" решения и  тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить  последствия каждого решения, заранее  исключить недопустимые варианты и  рекомендовать наиболее удачные:

- ускорение научно-технической революции техники и технологии.

Жизненный цикл технического изделия  сократился настолько, что "опыт" не успевал накапливаться и, требовалось  применение более развитого математического  аппарата в проектировании;

- развитие ЭВМ.

Размерность и сложность реальных инженерных задач не позволяло использовать аналитические методы.

Как часто это бывает, эта наука  стала, с одной стороны, определенной ветвью других более общих наук (теория систем, системный анализ, кибернетика  и т.д.), а с другой, стала синтезом определенных фундаментальных более  частных наук (исследование операций, оптимизация и т.д.), создав при  этом и собственную методологию.

Инженерное дело теснейшим образом  связано с совокупностями объектов, которые принято называть сложными системами, которые характеризуются многочисленными и разнообразными по типу связями между отдельно существующими элементами системы и наличием у системы функции назначения, которой нет у составляющих ее частей. На первый взгляд каждая сложная система имеет уникальную организацию. Однако более детальное изучение способно выделить общее в системе команд ЭВМ, в процессах проектирования лесной машины, самолета и космического корабля².

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Постановка задач принятия оптимальных решений

риск стохастический программирование моделирование

Несмотря на то, что методы принятия решений отличаются универсальностью, их успешное применение в значительной мере зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь  четкое представление о специфических  особенностях изучаемой системы  и уметь корректно поставить  задачу. Искусство постановки задач  постигается на примерах успешно  реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфики различных  методов оптимизации. В первом приближении  можно сформулировать следующую  последовательность действий, которые  составляют содержание процесса постановки задачи:

- установление границы подлежащей  оптимизации системы, т.е. представление системы в виде некоторой изолированной части реального мира. Расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и, тем самым, затрудняет ее анализ. Следовательно, в инженерной практике следует к декомпозиции сложных систем на подсистемы, которые можно изучать по отдельности без излишнего упрощения реальной ситуации;

- определение показателя эффективности, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта с тем, чтобы выявить "наилучший" проект или множество "наилучших" условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются показатели экономического (издержки, прибыль и т.д.) или технологического (производительность, энергоемкость, материалоемкость и т.д.) характера. "Наилучшему" варианту всегда соответствует экстремальное значение показателя эффективности функционирования системы;

- выбор внутрисистемных независимых  переменных, которые должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функционирования системы и способствовать тому, чтобы все важнейшие технико-экономические решения нашли отражение в формулировке задачи;

- построение модели, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на значение показателя эффективности³.

В самом общем случае структура  модели включает основные уравнения  материальных и энергетических балансов, соотношения, связанные с проектными решениями, уравнения, описывающие  физические процессы, протекающие в  системе, неравенства, которые определяют область допустимых значений независимых  переменных и устанавливают лимиты имеющихся ресурсов.

Элементы модели содержат всю информацию, которая обычно используется при  расчете проекта или прогнозировании  характеристик инженерной системы. Очевидно, процесс построения модели является весьма трудоемким и требует  четкого понимания специфических  особенностей рассматриваемой системы.

Несмотря на то, модели принятия оптимальных  решений отличаются универсальностью, их успешное применение зависит от профессиональной подготовки инженера, который должен иметь полное представление  о специфике изучаемой системы. Основная цель рассмотрения приводимых ниже примеров – продемонстрировать разнообразие постановок оптимизационных задач на основе общности их формы.

Все оптимизационные задачи имеют  общую структуру. Их можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) M-векторного векторного показателя эффективности  W_m(x), m=1,2,...,M, N-мерного векторного аргумента x=(x₁,x₂,...,x_N), компоненты которого удовлетворяют системе ограничений-равенств h_k(x)=0, k=1,2...K, ограничений-неравенств g_j(x)>0, j=1,2,...J, областным ограничениям x_li<x_i<x_ui, i=1,2...N.

Все задачи принятия оптимальных решений  можно классифицировать в соответствии с видом функций и размерностью W_m(x), h_k(x), g_j(x) и размерностью и содержанием вектора x:

- одноцелевое принятие решений – W_m(x) – скаляр;

- многоцелевое принятие решений – W_m(x) – вектор;

- принятие решений в условиях  определенности – исходные данные – детерминированные;

- принятие решений в условиях  неопределенности – исходные данные – случайные.

Наиболее разработан и широко используется на практике аппарат одноцелевого принятия решений в условиях определенности, который получил название математического программирования.

Математический аппарат одноцелевого принятия решений в условиях неопределенности представляет собой стохастическое программирование (известны законы распределения случайных величин), теории игр и статистических решений (закон распределения случайных величин неизвестен).

Рассмотрим процесс принятия решений  с самых общих позиций. Психологами  установлено, что решение не является начальным процессом творческой деятельности. Оказывается, непосредственно акту решения предшествует тонкий и обширный процесс работы мозга, который формирует и предопределяет направленность решения. В этот этап, который можно назвать "предрешением" входят следующие элементы:

- мотивация, то есть желание или необходимость что-то сделать. Мотивация определяет цель какого-либо действия, используя весь прошлый опыт, включая результаты;

- возможность неоднозначности  результатов;

- возможность неоднозначности  способов достижения результатов,  то есть свобода выбора.

После этого предварительного этапа  следует, собственно, этап принятия решения. Но на нем процесс не заканчивается, т.к. обычно после принятия решения следует оценка результатов и корректировка действий. Таким образом, принятие решений следует воспринимать не как единовременный акт, а как последовательный процесс.

Выдвинутые выше положения носят  достаточно общий характер, обычно подробно исследуемый психологами. Более близкой с точки зрения инженера будет следующая схема  процесса принятия решения. Эта схема  включает в себя следующие компоненты:

- анализ исходной ситуации;

- анализ возможностей выбора;

- выбор решения;

- оценка последствий решения  и его корректировка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Принятие решений  в условиях риска

 

Как указывалось выше, с точки  зрения знаний об исходных данных в  процессе принятия решений можно  представить два крайних случая: определенность и неопределенность. В некоторых случаях неопределенность знаний является как бы "неполной" и дополняется некоторыми сведениями о действующих факторах, в частности, знанием законов распределения  описывающих их случайных величин. Этот промежуточный случай соответствует  ситуации риска⁴.

Принятие решений в условиях риска может быть основано на одном  из следующих критериев:

- критерий ожидаемого значения;

- комбинации ожидаемого значения  и дисперсии;

- известного предельного уровня;

- наиболее вероятного события  в будущем.

Рассмотрим более подробно применение этих критериев.

2.1 Критерий ожидаемого  значения (КОЗ)

 

Использование КОЗ предполагает принятие решения, обуславливающего максимальную прибыль при имеющихся исходных данных о вероятности полученного  результата при решении. По существу, КОЗ представляет собой выборочные средние значения случайной величины. Естественно, что достоверность  получаемого решения при этом будет зависеть от объема выборки.

 

 

2.2 Критерий предельного  уровня

 

Этот критерий не имеет четко  выраженной математической формулировки и основан в значительной степени  на интуиции и опыте ЛПР. При этом ЛПР на основании субъективных соображений определяет наиболее приемлемый способ действий. Критерий предельного уровня обычно не используется, когда нет полного представления о множестве возможных альтернатив. Учет ситуации риска при этом может производиться за счет введения законов распределений случайных факторов для известных альтернатив.

Несмотря на отсутствие формализации, критерием предельного уровня пользуются довольно часто, задаваясь их значениями на основании экспертных или опытных данных.

2.3 Критерий наиболее  вероятного исхода

 

Этот критерий предполагает замену случайной ситуации детерминированной  путем замены случайной величины прибыли (или затрат) единственным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации. Использование данного критерия, также как и в предыдущем случае в значительной степени опирается на опыт и интуицию. При этом необходимо учитывать два обстоятельства, затрудняющие применение этого критерия:

- критерий нельзя использовать, если наибольшая вероятность события недопустимо мала;

- применение критерия невозможно, если несколько значений вероятностей  возможного исхода равны между собой.

 

 

 

2.4 Учет неопределенных  факторов, заданных законом распределения

 

Случай, когда неопределенные факторы  заданы распределением, соответствует  ситуации риска. Этот случай может учитываться  двумя путями. Первый – анализом адаптивных возможностей, позволяющих реагировать на конкретные исходы; второй – методически, при сопоставлении эффективности технических решений. Суть первого подхода заключается в том, что законы распределения отдельных параметров на этапе проектирования могут быть определены с достаточной степенью приближения на основе сопоставления с аналогами, из физических соображений или на базе статистических данных и данных прогнозов.