ПЕНЗЕНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра "Информационно-вычислительные системы"

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Отчет о выполненной лабораторной работе № 2

Множественная регрессия

 
 
 
 

Выполнила:

студент гр. 03ВЭ1

Прохорова Е. А. 

Проверила:

Баусова З.И. 
 
 
 

 
 
 
 

Пенза 2005

Задание:

Дана  множественная регрессия z=a+b1*x+b2*y, где x, y, z приведены в     таблице 1.

Таблица 1

 

1. Постройте  матрицу парных коэффициентов  корреляции. Рассчитайте коэффициенты  множественной детерминации.

2. Постройте  уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов.

3. Оцените  статическую значимость по уравнению  регрессии и его параметров  с помощью критериев Фишера  и Стьюдента.

4. Проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гольфельда-Квандта.

5. Определите, какое уравнение лучше использовать для прогноза:

- парную  регрессию y на х1;

- парную  регрессию y на х2;

- множественную  регрессию.

 

1.1Матрицу парных  коэффициентов корреляции переменных  можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого:

• в главном меню последовательно выберем пункты Сервис/Анализ данных/Корреляция. Щелкнем по кнопке ОК;
• заполним диалоговое окно ввода данных и параметров вывода
• результаты вычислений – матрица коэффициентов парной корреляции – представлены в табл. 1

 

Таблица 2

 

1.2 Для  того, чтобы рассчитать коэффициенты  множественной детерминации необходимо  найти

b1=

=0,253596

b2=

= 0,895731

Расчет  линейного коэффициента множественной  корреляции выполним с использованием коэффициентов r_zx, r_zy и b1, b2:

R_zxy=

= =0,999175

Коэффициент детерминации:

R_zxy²=0,999175²=0,998351. 
 

2. Линейное  уравнение множественной регрессии  z от х и у имеет вид:

z=a+b1*x+b2*y. Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизированном  масштабе: t_z=b1*t_x+b2*t_y

Получим уравнение:

t_z=0,253596*t_x+0,895731*t_y

Для построения уравнения в естественной форме  рассчитаем b1, b2, используя формулы для перехода от b_i к b_i:

b_i=b_i

,                                   b_i=b_{i ,} 

где s_x,z,y - стандартные отклонения по х, у, z (табл.2) 

Таблица 3

 
 

b₁=

=7,372259

b₂=

=8,117468

Значение  а определим из соотношения:

a=z-b₁*x-b₂*y=29,8593-7,372259*2,364666667-8,117468*2,708=-9,555706 

z_xy=-9,555706+7,372259*x+8,117468*y 

3. Общий F-критерий Фишера проверяет гипотезу H₀ о статистической значимость уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R²=0):

F_факт=

3634,61

где n-число наблюдений,

m – число факторов.

F-табл=3,88 ,a=0,05

Сравнивая F_табл и F_факт, приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу H₀, так как F_табл =3,88<F_факт=3634,61. С вероятностью 1-a=0,95 делаем заключение о статической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи R_zxy, которые сформировались под неслучайным воздействием факторов х и у.

Частные F-критерии – F_x и F_y оценивают статистическую значимость присутствия факторов х и у в уравнении регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора.

F_xфакт=

=211,8971

F_табл=4,75 a=0,05

Низкое  значение F_хфакт свидетельствует о статистической незначимости прироста r²_zx за счет включения в модель фактора х. Следовательно, подтверждается нулевая гипотеза H₀ о нецелесообразности включения в модель фактора х. Это означает, что парная регрессионная модель является статистически значимой и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор х.

Целесообразность  включения фактора у после фактора х проверяет F_y:

F_yфакт= 

=3531,98

Сравнивая F_табл и F_факт, приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора у, т. к. F_уфакт=3531,98 >F_табл. Гипотезу H₀ о несущественности прироста R²_z за счет включения дополнительного фактора у отклоняем и приходим к выводу о статически подтвержденной целесообразности включения фактора у. 

Оценка  с помощью t-критерия Стьюдента: рассчитывается для коэффициентов регрессии линейного уравнения как квадратный корень из соответствующего частного F-критерия Фишера:

t_b1=

14,5566;

t_b2=

59,4304

a=0,05 df=15-2-1=12, t_табл=2,1788. Сравнивая t_табл и t_факт , приходим к выводу, что так как t_b1 и t_b2 >2,1788, коэффициенты регрессии b1, b2 являются статистически значимыми, надежными, на них можно опираться в анализе и прогнозе.

4. Для оценки гетероскедастичности по методу Гольфельда-Квандта необходимо упорядочить по возрастанию значения переменной , затем исключаем С центральных наблюдений, при этом (n-C):2>p, где p – число оцениваемых параметров, затем разделяем совокупность на 2 группы и определяем в каждой из групп остаточные суммы S1 и S2 и находим их отношение R. Для определение гетероскедастичности воспользуемся встроенной функцией Регрессия (см. приложение 1). Она равна:

Гетероскедастичность  по Х

 
 
 
 

Гетероскедастичность  по Y

 

Гетероскедастичность по Z

 

     Из  этого наблюдения видно, что все  значения больше табличного значения F-критерия, следовательно,  дисперсии остаточных величин неравны.

5. Для определения лучшего уравнения для прогноза воспользуемся встроенной функцией Регрессия (см. приложение 2). По нормированному R^2 уравнение парной регрессии по Х можно отклонить, т. к. значение этого параметра меньше значений нормированных R^2 2-х оставшихся уравнений:

R^2по x=0,172719;