Математическое моделирование

Энтальпия выражается соотношением  , где с – теплоемкость материала, ρ –плотность. Ее изменение за интервал времени Δτ в предположении, что плотность и теплоемкость постоянны, можно аппроксимировать выражением:

Подставляя соотношения для , в уравнение (1.4), получим

Решая это уравнение относительно , получим

                            (1.5)

где критерий Фурье определяется соотношением:

Уравнение (1.5) позволяет в явной форме определить значения температур во всех внутренних узлах в (n + 1)-й момент времени, если известны значения температур в n-й момент, поэтому такой способ численного решения называется явным.

Теперь рассмотрим баланс тепла в граничном слое (рис. 3).

Рис. 3. Грпничный узел.

Отличие от предыдущего случая состоит в том, что поток тепла через левую границу слоя

определяется по формуле Ньютона , энтальпия равна , то есть  .

Записав балансное уравнение (1.4), получим , откуда (1.6)

где

Чтобы решить задачу нестационарного теплообмена, необходимо знать начальное

распределение температуры в каждой точке тела . С помощью соотношений (1.5) и (1.6) определяется распределение температуры в следующий момент времени . Дальше процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнут момент времени, для которого требуется знать распределение температуры. Аналогично можно решать двухмерные и трехмерные задачи.

Остановимся на выборе шагов интегрирования Δτ и Δx . Этот выбор не является произвольным. Покажем, что при некоторых соотношениях шагов можно получить результаты, противоречащие законам термодинамики. Пусть в какой-то момент времени в трех соседних точках температуры равны ; ; . Пусть интервал времени Δτ таков, что критерий Fo = 1. Определим по формуле (1.5); .

В первый момент времени температура k-ой точки меньше, чем в двух соседних точках, и тепло подводится к ней от этих точек. Таким образом, тот факт, что в следующий момент времени температура k-ой точки превысила 200К, противоречит второму закону термодинамики. Анализ показывает, что нарушение законов термодинамики не будет происходить только при выполнении условия то есть, когда коэффициент при в формуле (1.5) не является отрицательным.

Условие (1.6) называется критерием устойчивости уравнения (1.5). Если оно не выполняется, решение становится неустойчивым.

Критерий устойчивости для слоя, прилежащего к границе, имеет вид (1.7)

Для получения устойчивого решения необходимо и достаточно выполнение обоих условий: (1.6) и (1.7). Например, если положить Fo = 1/4, то из (1.7) получим условие Bi < 1. Это значит, что, если значение коэффициента теплоотдачи α достаточно велико, необходимо уменьшить шаг Δx , что, в свою очередь, повлечет уменьшение шага Δτ согласно (1. 6). Ограничения типа (1.6),

(1.7) являются существенным недостатком явных методов.

Симметричная разностная схема

Будем рассматривать в узлах равномерной пространственной сетки величины , а в серединах интервалов величины . Выберем шаблон, изображенный на рис. 4 [8], и составим на нем симметричную схему

Рис. 4 Шаблон разностной схемы

              (1.7)

Исследование разностной схемы (3) показывает, что она имеет аппроксимацию и является безусловно устойчивой, а сле-довательно, сходится со скоростью . Эта схема двуслойна, поэтому она позволяет произвольно менять шаг по времени τ в ходе расчета, обеспечивая при этом точность . Кроме того, аппроксимация начальных и граничных условий является точной.

Таким образом, симметричная схема (1.7) приводит к несложному вычислительному алгоритму, безусловно устойчива, имеет хорошую точность и следовательно, может быть использована для численного исследования процессов теплопроводности с учетом конечной скоро-сти распространения тепла.

Блок-схема алгоритма

где A — начальное значение x, B — конечное значение x, F(x) — значение функции в точке xn, N — количество промежутков, st – выбор операции, C1,C2,C3 – константы для формул, nom - сохраняет номер используемой функции.

На рисунке представлена блок-схема процесса решения дифференциального уравнения методом Эйлера

Подсчитывая каждый раз новое значение уравнения F(x), получаем последовательность значений xn yn, n=1,2,…

По этим значениям строим график.

Описание программы

Программа весьма проста. В ней много предусмотрено моментов неправильного ввода данных, о которых программа предупреждает пользователя и сразу же просит повторно ввести данные.

С самого начала программа предоставляет пользователю меню выполняемых функций, которые выделяются при помощи стрелок ↑ и ↓ выбор клавишей Enter:

Formyla -> Enter

-> Open in fails

Reshenie

Graphic

Exit

После запуска программы нужно выбрать Formyla -> Enter, эта опция позволит из предложенного списка формул выбрать одну, по которой компьютер будет производить расчет и строить график. Все предложенные формулы имеют номерацию; чтобы выбрать интересующий вас пример нажмите на цифру равную номеру примера, и сразу же появится новое окно, в котором сверху будет записан ваш пример. Также в окне будет этот же пример но с нулями на месте констант. Под примером будет высвечена большая буква С, это используется для ввода констант. Для этого вам нужно нажать номер константы, он появится, и после знака равно запишите чему она равна (вводятся целые и вещественные значения). По окончании набора нажать Enter. Операцию повторять пока не будут введены все числа. По окончании нажать Esc. После появится строчка «уточните границы изменения Х, от A= до B= » здесь нужно занести данные на каком промежутке абсциссы будет рассматриваться функция. Следующая строчка попросит ввести начальные данные y(A)=. Следующей строчкой будет вопрос: «сохранить данные в файле? Да/Нет» ответить на этот вопрос с помощью клавиш Д и Н (рус), после чего программа вернется в первоначальное меню. Если данные были сохранены (в папке с программой появляется файл form.txt), то в следующий раз чтобы не набирать снова выберите в меню опцию Formyla -> Open in fails и на экране появятся введенные данные с пометкой снизу, сообщая что данные были прочитаны из файла.

Следующая опция Reshenie. После нажатия в окне просят ввести N(целое число) – число промежутков, на которые разделится рассматриваемый участок (ось ОХ). После появится таблица рассчитанных данных (номер точки, значение абсциссы, значение ординаты). При нажатии любой клавиши произойдет переход в меню.

Graphic эта опция позволяет визуально видеть решение, а так же на этом графике прописываются все данные: начальная формула, шаг и промежуток построения графика, масштаб, данные об его изменении(клавишами +(увеличить) и -(уменьшить), а также возможность определить точное значение функции в любой точке.

Опция Exit применяется для выхода из программы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Возможность постановки вычислительного эксперимента на ЭВМ существенно ускорила процесс математизации науки и техники. Расширился круг профессий, для которых математическая грамотность становится необходимой. Благодаря возможности оперативного исследования процессов труднодоступных и недоступных для реального экспериментирования математическое моделирование все больше и больше находит свое применение в областях, казалось бы далеких от математики и естественных наук. Оно широко используется и в криминалистике, и в лингвистике, и в социологии, и этот список можно продолжать и продолжать.

Академик Н.Н. Моисеев еще лет двадцать назад первым осознал необходимость подготовки к эффективному использованию ЭВМ новых поколений. Он обратил внимание на то, что крупные народнохозяйственные и социально-экономические проблемы могут быть удовлетворительно решены только при условии, что своевременно будут организованы и выполнены исследования междисциплинарного характера, а ЭВМ новых поколений дают подходящую базу для организации и проведения таких исследований.

Академик А.А. Самарский говорит о незаменимости математического моделирования для решения важнейших проблем научно-технического и социально-экономического прогресса, подчеркивает значение математического моделирования как методологии разработки наукоемких технологий и изделий.

Но, к сожалению, как отмечает А.А. Петров[10] те, от кого зависит распределение ресурсов, еще не осознали, что методы математического моделирования имеют большое народнохозяйственное значение и от их развития во многом зависит судьба социально-экономического и научно-технического прогресса страны. Соответственно нет материальной поддержки исследований, научные кадры не консолидируются на решении ключевых проблем, даже нет понимания, что математическое моделирование превратилось в самостоятельную отрасль науки с собственным подходом к решению проблем, хотя корни его остаются в науках о природе и обществе. Остается надеяться, что эти трудности временные, и математическое моделирование получит заслуженное место и в решении важных социально-экономических и народно хозяйственных проблем России будет играть ту же роль, что и в развитых странах.

Список  литературы

1.                  Акчурин И.А., Веденов М.Ф., Сачков Ю.В. Методологические проблемы математического моделирования в естествознании. // Вопросы философии, 1966, №4.

2.                  Алгоритмы вычислительной математики: Лабораторный практикум по курсу «Программирование» для студентов 1 - 2-го курсов всех специальностей БГУИР/А.К. Синицын, А.А. Навроцкий.- Мн.: БГУИР, 2002.- 65-69 с.

3.                  Амосов Н.М. Моделирование мышления и психики. –М.: Наука, 1965, с.46

4.                  Арнольд В. И. Жёсткие и мягкие математические модели. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-134-4

5.                  Васильев В.И., Ильясов Б.Г., Валеев С.В., Жернаков С.В. Интеллектуальные системы управления с использованием нейронных сетей. – Уфа, 1997, с.11.

6.                  Веденов А.А. Моделирование элементов мышления - М.: Наука, 1988, с. 67.

7.                  Введение в математическое моделирование. Учебное пособие. Под ред. П. В. Трусова. — М.: Логос, 2004. — ISBN 5-94010-272-7

8.                  Веселовский В.Б., Малая Ю.А., Гнедаш К.И. Математическое моделирование импульсных теплотехнологических процессов // Ме-таллургическая теплотехника: Сборник научных трудов НМетАУ. – Днепропетровск: «ПП Грек О.С.», 2007. – C. 53 – 61.

9.                  Грес, П.  В. Математика для гуманитариев [Текст] / П. В. Грес. – М.: Логос, 2005

10.             Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. – М.: Высшая школа, 2001. – 540 с.

11.             Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

12.             Вейль Г. Полвека математики – М.: 1969.

13.             Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели прогнозирования.(Методические указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа, 1988.

14.             Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели оптимизации (Методические указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа, 1988.

15.             Кочергин А.Н. Моделирование мышления - М.: Наука, 1969.

16.             Кудряшев А.Ф. О математизации научного знания.// Философские науки, 1975, №4, с.133-139.

17.             Математическая энциклопедия. Гл. ред. М. Виноградов. Том 3. Коо - Од. М.: Советская энциклопедия, 1982, 1184 стр., ил.

18.             Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития – М.: Наука, 1987.

19.             Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. – М.: Наука, 1996.

20.             Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы - М.: Наука, 1989

21.             Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа, 1998.

22.             Фролов И.Т. Гносеологические проблемы моделирования - М.: Наука, 1961.

[1] Грес, П.  В. Математика для гуманитариев [Текст] / П. В. Грес. – М.: Логос, 2005

[2] Математическая энциклопедия. Гл. ред. М. Виноградов. Том 3. Коо - Од. М.: Советская энциклопедия, 1982, 1184 стр., ил.

[3] Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. - М.: Наука, 1996, 251 с., с.6.

[4] Веденов А.А. Моделирование элементов мышления - М.: Наука, 1988, с. 67.

[5] Васильев В.И., Ильясов Б.Г., Валеев С.В., Жернаков С.В. Интеллектуальные системы управления с использованием нейронных сетей. – Уфа, 1997, с.11.

[6] Амосов Н.М. Моделирование мышления и психики. –М.: Наука, 1965, с.46

[7] Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. – М.: Наука, 1996.

[8] Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы - М.: Наука, 1989.

[9] Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа, 1998.

[10] Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. - М.: Наука, 1996, 251 с., с.6.