Математическое моделирование

Построение компьютерной модели базируется на абстрагировании от конкретной природы явлений или изучаемого объекта-оригинала и состоит из двух этапов - сначала создание качественной, а затем и количественной модели. Компьютерное же моделирование заключается в проведении серии вычислительных экспериментов на компьютере, целью которых является анализ, интерпретация и сопоставление результатов моделирования с реальным поведением изучаемого объекта и, при необходимости, последующее уточнение модели и т. д.

Различают аналитическое и имитационное моделирование. При аналитическом моделировании изучаются математические (абстрактные) модели реального объекта в виде алгебраических, дифференциальных и других уравнений, а также предусматривающих осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их точному решению. При имитационном моделировании исследуются математические модели в виде алгоритма(ов), воспроизводящего функционирование исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций.

Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др.[9] Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками (чаще всего графическими), набор и соединение которых задаются диаграммой модели.

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением:

где ω — некоторый параметр, x1 – численности, I – его вида, t – время. определяемое разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x(t) = x0eαt. Если рождаемость превосходит смертность (α > 0), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов.

Компьютерное моделирование применяют для широкого круга задач, таких как:

      анализ распространения загрязняющих веществ в атмосфере

      проектирование шумовых барьеров для борьбы с шумовым загрязнением

      конструирование транспортных средств

      полетные имитаторы для тренировки пилотов

      прогнозирование погоды

      эмуляция работы других электронных устройств

      прогнозирование цен на финансовых рынках

      исследование поведения зданий, конструкций и деталей под механической нагрузкой

      прогнозирование прочности конструкций и механизмов их разрушения

      проектирование производственных процессов, например химических

      стратегическое управление организацией

      исследование поведения гидравлических систем: нефтепроводов, водопровода

      моделирование роботов и автоматических манипуляторов

      моделирование сценарных вариантов развития городов

      моделирование транспортных систем

      имитация краш-тестов.

Различные сферы применения компьютерных моделей предъявляют разные требования к надежности получаемых с их помощью результатов. Для моделирования зданий и деталей самолетов требуется высокая точность и степень достоверности, тогда как модели эволюции городов и социально-экономических систем используются для получения приближенных или качественных результатов.

3.         ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Задание. Разработать и описать математическую модель расчета нагрева (охлаждения) твердого тела.  Форма тела, условие нагрева (охлождения) приведены в исходных данных.

3.1.ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Теплообмен. Различают три вида теплообмена: теплопроводность, теплопередача конвекцией и лучистый теплообмен.

Передача тепла за счет теплопроводности осуществляется в результате движения молекул, атомов и электронов; она играет значительную роль при теплообмене в твердых и расплавленных полимерах. При конвекции, которая возможна только в жидкостях и газах, тепло передается за счет относительного движения частиц нагретого тела. При лучистом теплообмене передача тепла между пространственно разделенными частями тела происходит за счет электромагнитного излучения.

Теплопроводност.Основной задачей теории теплопроводности является установление распределения температур внутри тела. Если распределение температур не зависит от времени, то задача теплопроводности является стационарной; если распределение температур зависит от времени, то задача становится нестационарной.

Передача тепла происходит во всех случаях, когда в теле существует температурный градиент. По закону Фурье, который лежит в основе всех расчетов теплопроводности, для изотропных материалов вектор теплового потока q пропорционален температурному градиенту:

где q — количество тепла, проходящего через единичную поверхность, перпен­дикулярную направлению теплового потока; k — коэффициент теплопроводности.

Полагая в уравнении энергетического баланса V = О, получим:

Указанное выше равнение, представляет собой уравнение теплопроводности для изотропного твердого тела.

Если внутри изотропного тела имеется источник тепла, то уравнение это уравнение необходимо дополнить членом, учитывающим тепловыделение, а именно:               ,

где - коэффициент температуропроводности [замена на возможна для несжимаемых твердых тел];

- оператор Лапласа в прямоугольной системе координат: ;

G -  интенсивность внутренних тепловыделений, отнесенная к единице объема.

Примерами внутренних тепловыделений являются поглощения инфракрасного излучения в полупрозрачных средах, экзотермический эффект химических реакций и тому подобное.

Нестационарная теплопроводность. В большинстве случаев в реальных процессах переработки приходится иметь дело с нестационарным режимом теплопроводности, когда полимер подвергают нагреву или охлаждению (например, охлаждение в форме отлитого изделия). Теоретические исследования процесса нестационарной теплопроводности представляют собой обширный раздел математической физики. Решения, получаемые в результате интегрирования уравнения (2.5), представляют собой функции времени и пространственных координат, удовлетворяющие начальным и граничным условиям. Различают четыре рода граничных условий Условия первого рода: задано распределение температур на поверхности, которое может либо быть постоянным, либо зависеть от времени; в простейшем случае, если положение границ определяется одним числом (например, расстоянием L), такие граничные условия математически определяются выражением вида:                                                                      

Условия второго рода: задана плотность теплового потока для каждой точки поверхности тела как функция времени:                                                                                     Условия третьего рода: задан коэффициент теплообмена, а на границе и температура контактирующей с граничной поверхностью среды:

.

Условия четвертого рода: соответствуют теплообмену тела с окружающей средой по закону теплопроводности или теплообмену системы тел, находящихся в тепловом контакте (температура соприкасающихся поверхностей одинакова):               ;

Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает большим набором решений одномерных задач, к которым принято сводить все многообразие задач, встречающихся в инженерной практике. В настоящее время получены аналитические решения для теплопроводности в плоской стенке, в цилиндре, в корпусе и в сфере.

3.2.           НЕОГРАНИЧЕННАЯ ДВУХСЛОЙНАЯ СТЕНКА.

Под неограниченной обычно понимают такую стенку, ширина и длина которой во много раз превышают толщину.

Определим собственные значения собственных функцій в плоской неограниченой двухслоыйной стенке толщиной 2δ (рис. 2).

рис. 2 Схема к задаче об охлаждении плоской стенки (ГУ-3-го рода)

В качестве характерного размера L возьмем δ. В этом случае задача уровнения   будет иметь вид

              (1.1)

   (1.2)

(1.3)

Из симметрии рассматриваемой задачи следует, что распределение φ в стенке будет симметричным относительно плоскости x = 0 . Поэтому в плоскости симметрии будет выполняться (1.4)

Это условие позволяет освободиться от второго граничного условия (1.3) при x = −1 и свести к задаче о пластине толщиной δ, теплоизолированной от поверхности x = 0 .

Частное решение исходного уравнения (1.1), удовлетворяющее граничному условию (1.4), имеет вид (1.5)

Граничному условию при x = 1 это частное решение удовлетворяет, если (1.6)

Это уравнение получается подстановкой равенства (4.26) в условие (4.23). Отсюда получаем:

Это характеристическое уравнение позволяет найти собственные значения m, а следовательно,

и собственные функции рассматриваемой задачи.

Обозначая через μ, получаем (1.7)

Создается графический метод отыскания корней характеристического уравнения как координат точек пересечения котангенсоид с прямой . Очевидно, что число корней бесконечно, причем каждый последующий корень больше предыдущего:

Этот набор корней зависит от Bi. Таким образом, решение задачи

в данном случае имеет вид:

или

а общее решение дифференциального уравнения теплопроводности

  (1.8)

Условие для нахождения коэффициентов n A примет вид , откуда

то есть

(1.9)

Таким образом, пластина (рис. 2) представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями. На внешних поверхностях поддерживается постоянная температура. Между слоями, соответственно, идеальный тепловой контакт. Процесс охлождения осуществляется в нестационарном режиме.

Рис. 2 Положение   координат   при исследовании теплового процесса к охлаждению плоской неограниченной пластины при t=0; T0=const; ∂0=const

Следовательно, задача является одномерной. Для одномерного теплового потока без внутреннего источника тепла уравнение теплопроводности сводится к виду дифференциального уравнения теплопроводности для плоской стенки:

                            (1.1)

Начальные условия (дальше -НУ): t=0; ∂=∂0=f(x)-tF=F(x)              (1.2)

При заданных условиях охлаждения, задача становится симметричной и начало координат удобно поместить на оси стены, как это показано на (рис. 2) при этом граничные условия (дальше по тексту – ГУ) на оси и на поверхности стены запишутся так: а) на оси стены; б) на поверхности стены.

x=0;                                                                                                   (1.3)

x=b;

Так, как процесс охлаждения неограниченной пластины осуществляется в виде нестационарной теплопроводности при граничних условиях, температуры поверхностей tc1 и tc2 не постоянны, а заданы как некоторые функции времени:

tc1 = f1(τ);    tc2 = f2 (τ) .

Дифференциальное уравнение (1.1) совместно с начальними (1.2) и граничными (1.3) условиями однозначно формируют поставленную задачу. Решение дифференциального уравнения (1.1) с учетом начальных и граничных условий дает искомое распределение температуры в плоской стены.

Разделим пластину на несколько тонких слоев толщиной Δx. В центре каждого слоя поместим узел. Исключение составляют слои, непосредственно прилегающие к границам твердого тела: их толщина вдвое меньше и узлы расположены на границе (рис.2.

Рис. 2. Схема решения задач нестационарной

теплопроводности методом конечных

разностей

Пронумеровав узлы и соответствующие им слои и разделив интересующий нас период времени на малые интервалы n Δτ ,Δτ ,Δτ ,...,Δτ 1 2 3 и т. д., температуру k-го узла в n-й момент времени будем считать равной n k T . Таким образом, температура между узлами в каждый момент времени изменяется по линейному закону.

Запишем баланс тепла для k-го слоя. Очевидно, что тепловые потоки, втекающие через левую Qл и правую Qп границы слоя, изменяют энтальпию рассматриваемого слоя, т. е.

                                            (1.4)

Тепловые потоки выражаются через закон Фурье:

, где F – площадь поверхности слоя.

Так как мы предположили, что между узлами (а значит и на границе слоя) температура меняется по линейному закону, то