Математические методы в экономике

Роль математических методов в экономическом исследовании 

Реферат для сдачи  кандидатского экзамена по философии  выполнил: соискатель ученой степени  кандидата экономических наук Исламутдинов Вадим Фаруарович 

Курганская Государственная  сельскохозяйственная академия им. Т.С. Мальцева 

Курган-1997

Введение 

Есть различные  точки зрения на процессы, происходящие в нашем обществе в настоящий  момент. Но независимо от того как различные  политические силы воспринимают эти  процессы (как откат назад или  как прогресс, движение вперед ), ни одна их них не может отрицать того, что экономические условия жизни  стали намного 

сложнее. Стало намного  труднее принять решение, как  касающееся частных интересов, так  и общественных. Эти трудности  не могли не вызвать волны нового интереса к математическим методам, применяемым в экономике; т.е. к  тем методам, которые позволили  бы выбрать наилучшую стратегию  как на ближайшее будущее, так  и на дальнюю перспективу. В то же время многие люди в таких случаях  предпочитают обращаться к собственной  интуиции, опыту, или же к чему-то сверхественному. Следовательно, необходимо оценить роль математических методов  в экономических исследованиях - насколько полно они описывают  все возможные решения и предсказывают  наилучшее, или даже так: стоит ли их использовать вообще? 

По отношению к  этому вопросу следует избегать двух крайних мнений: полное отрицание  применимости математических методов  в экономике и фетишизация, преувеличение  той роли, которую математика могут  или могли бы сыграть. Оба этих подхода основаны на незнании реального  положения вещей, поскольку человек, хотя бы частично знакомый с этим вопросом, никогда не поставит его ребром: да или нет; а будет говорить лишь об удельном весе математических методов  во всей системе исследования экономических  проблем.  

В этом вопросе есть значительный философский аспект, связанный  с проблемой истины. Т.е. насколько  математические модели экономических  систем отражают реальные законы, по которым  живет экономика. Полнота этого  отражения зависит в некоторой  степени и от цели исследования. Для одних целей достаточно минимального уровня соответствия, для других же может потребоваться более детальное  описание. 

Кроме того математические методы не могут не развиваться, также  как и сами экономические системы. Это происходит как вследствие изменений  в экономике, так и по внутренней логике развития. При этом необязательно, что новые методы с неизбежностью  отбрасывают старые, может происходить  взаимопроникновение, включение старых теорий в новые ( в качестве частного случая ). 

На развитие и  применение математических методов  огромное влияние оказало и еще  окажет развитие вычислительной техники. Вычислительная техника последних  поколений уже позволила на практике применить множество методов, описанных  ранее лишь теоретически или на простейших примерах. Кроме всего прочего  развитие систем компьютерной обработки, накопления и хранения информации создает  новую, весьма обширную информационную базу, которая возможно послужит толчком  к созданию новых, ранее неизвестных  математических методов поиска и  принятия решений.

1.Проблема универсальной  применимости математики

1.1. Причины универсальности  математики 

Математику можно  определить как науку, оперирующую  чистыми абстракциями, т.е. объектами, отделёнными от реального мира. Hо  еще в древности математика и  науки о природе не разделялись. Люди воспринимали числа и операции над ними как законы реального  мира. Лишь в Древней Греции впервые  возникла идея о том, что числа  можно изучать отдельно ( школа  Пифагорейцев ). Правда взгляды их на число были почти суеверными. Hо  как раз они и открыли первые закономерности, не имеющие аналога  в мире вещей, хотя и утаили их от всего мира. Таким образом в  Древней Греции были положено начала развития математики как самостоятельной  науки. 

В Средние Века развитие математики как таковой происходило  в основном в Средней Азии. В  Европе же шел процесс развития формальной логики внутри церковной схоластики. Это также было позитивным моментом, поскольку применение математики предполагает определённую формализацию знания. 

Hачиная с 17 века  возможности математики начинают  расти. Первоначально развитие  математики определялось потребностями  изучения и выражения объективных  законов. Впоследствии математика  стала развиваться подчиняясь  также внутренней логике развития  и исходя из собственных потребностей. Hо роль математики, как аппарата  для выражения объективных законов,  нисколько не уменьшилась. 

При этом новые закономерности, выведенные чисто математически, позволяют  предсказывать свойства, присущие объектам физической природы. 

Математика стала  широко проникать во все сферы  науки, и тут выяснилось, уравнения  и выражения, созданные для целей  одной науки, зачастую применимы, после  определённой подработки, в другой. 

В чём же причина  такой универсальной применимости математических методов? 

По мнению Вигнера  универсальность применимости математики следует считать чем-то сверхестественным. Ученые должны просто пользоваться ею, не пытаясь понять причины этого. А саму математику он рассматривает  как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным  правилам над специально придуманными понятиями. Причем новые понятия  выводятся для того и так, чтобы  над ними можно было произвести какие-нибудь хитроумные операции, которые импонируют человеческому чувству прекрасного  сами по себе и по получаемым с их помощью результатам, обладающим большой  простотой и общностью. 

Hо такой подход  ненаучен. Причина такой универсальности  математики кроется в высоком  уровне абстрагированности математического  языка. Уже введение понятия  числа было переходом на более  высокий уровень абстрагирования.  Числа не имеют вкуса, запаха, веса и других эмпирических  характеристик, являясь лишь субъективным  суждением о количестве какого-либо  предмета, явления. В то же время  они позволяют определить количественные  характеристики и отношения практически  любого объекта. Единственная  сложность состоит только в  выборе единицы измерения. Т.е.  измерив объект, выразив его количественно,  можно затем отвлечься от его  содержания и оперировать полученными  данными по всем правилам математического  языка. Полученные таким образом  результаты можно и нужно проверять  эмпирически. 

Вообще, язык математики имеет определенные преимущества перед  естественными языками. Он минимально избыточен, моносемантичен и содержит в себе правила преобразования. Все  это позволяет сравнительно легко  оперировать элементами языка: объединять фрагменты в блоки, применять  алгоритмы к блокам, а затем  развертывать результат через систему  подстановок и т.д. 

Применение математического  языка, в свою очередь требует  определённого уровня формализации. Введение единиц измерения – уже  частичная формализация. Hо единицы  измерения формализуют лишь количественную сторону явлений и процессов, не позволяя создать новые методы для решения новых задач. 

Формализация же качественных характеристик объектов происходит двумя путями: 

1) создание формализованных  аксиоматических систем; 

2) алгоритмизация. 

Аксиоматическая система - это один из способов построения теории на основе базовых положений ( аксиом ), из которых затем выводится  основное содержание теории. Аксиоматические  системы в ходе эволюции прошли три  этапа, которым соответствуют три  типа аксиоматических систем: 

а) Содержательные аксиоматические  системы - когда на основе основных представлений с помощью интуиции описываются содержательно ясные  объекты. Т.е. и объекты и аксиомы  имеют свои аналоги в мире вещей. Hа начальных этапах развития науки  все теории представляли из себя такие  аксиоматические системы. Такие  системы не представляют ценности в  смысле универсальности их применения. 

б) Полуформализованная  аксиоматическая система предполагает задание абстрактных объектов, для  которых описываются содержательно  ясные аксиомы. Такие системы  уже в достаточно большой мере универсальны, поскольку зачастую бывает, что сходство начальных условий  позволяет применять старую теорию для изучения новых объектов (конечно  же с известной долей скептицизма). 

в) Полностью формализованные  системы. В этом случае изначально задаются и алфавит системы и аксиомы  и правила преобразования знаков алфавита, сохраняющие истинность аксиом. Такие системы могут развиваться  по своим внутренним законам. Но теории и методы созданные в рамках таких  формализованных систем могут найти  неожиданное применение в различных  отраслях научного знания. 

Но главным критерием  применимости того или иного метода является проверка результатов исследования на опыте, на практике. 

Алгоритмизация, второй вид полной формализации, предполагает создание алгоритмов - единых методов  для решения целого ряда задач. При  этом метод решения заключается  в совершении какой-то последовательности заранее определённых действий. При  этом создание алгоритма уже предполагает универсальность. Одно время даже пытались создать единый алгоритм для решения любых задач. 

Универсальность алгоритмов имеет определённые ограничения. Во-первых, это их дискретность, т.е. разбивка на шаги, которые нельзя пропускать; во-вторых для ряда задач вообще нет алгоритма  решения. 

То есть следует  заметить, что математика универсальна не абсолютно. При применении математических методов в различных науках наблюдается  определенная специфика.

1.2. Специфика применения  математики в разных науках 

Специфика применения математики в различных отраслях науки в значительной мере определяется особенностями процесса познания в  этих науках, которые в свою очередь  зависят от свойств объекта исследования. 

А свойства объекта  исследования в свою очередь определяются запретами, которые накладывает  на возможные движения этого объекта  законы объективной реальности. Отсюда одной из задач науки является сужение множества "мыслимых", или виртуальных движений, выяснение  принципов отбора реальных движений из числа возможных. Исходя из этого  проблема математического описания материального мира сводится прежде всего к поиску описаний различных  механизмов отбора, лежащих в основе причинности всех реальных движений материи [6 (55)]. 

По Моисееву, описание механизмов отбора - это по существу один из способов изложения естественных наук. Основными принципами отбора в естественных науках являются: 

- закон сохранения, отражающий вариационные принципы (принципы экономного достижения  цели); 

- второй закон  термодинамики (о неубываемости  энтропии); 

- принцип минимума  диссипации энергии (принцип,  по которому из нескольких  разрушительных процессов реализуется  наименее разрушающий); 

- принцип устойчивости (сохранение лишь устойчивых форм  движения). 

На основе этих и  многих других принципов отбора в  естественных науках строятся математические модели феноменологической природы. Но феноменологическая база естествознания постоянно расширяется, что приводит к усложнению и обобщение моделей. Основной путь развития таких моделей - индуктивный, т.е. движение от более  простых к более сложным. Но дедуктивный  путь не менее важен. 

Одним из методов, который  позволяет получать классы упрощенных моделей, является так называемый асимптотический  метод, или асимптотический анализ [6 (68)]. 

Таким образом, можно  сделать вывод, что система естественнонаучных методов имеет важную особенность. Она состоит в стремлении использовать феноменологию только на микроуровне, охватить по возможности более широкий  класс явлений, а затем методами асимптотического анализа получить более простые модели макроуровня, как частные случаи [7 (23)]. 

При переходе к более  сложным уровням организации  возникают новые понятия, математические модели приобретают иной характер, усложняется аппарат исследования. Так, при переходе к уровню живой  материи неизменно становится сложнее  организация, изменяются старые и появляются новые принципы отбора. 

В отличие от неживой  природы, процессы живой природы  не могут быть описаны без применения термина "обратная связь". 

Т.е. характер взаимодействий здесь определяется еще одной  свободной (независимой) функцией, обычно называемой управлением, выбор которой  в той или иной мере произволен, во всяком случае, не следует из законов  сохранения (хотя, конечно им не противоречит). При этом выбор этот производится исходя из стремления достичь определенную цель. Для того, чтобы сделать  правильный выбор, живому организму  нужна соответствующая информация. При этом информация нужна не любая, а только такая, которая позволит либо достичь цели как минимум, либо достичь ее наилучшим образом, как  максимум. В этом смысле понятие  информации отличается от понятия информации как знания о состоянии системы (на основе понятия энтропии).