Корреляционно-регрессионные модели

  Для того чтобы убедиться в точности (надежности) уравнения связи, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи. Для этого  используются критерий Фишера (F-отношение), средняя ошибка аппроксимации ( ), коэффициенты множественной корреляции (R) и детерминации (D).

  Для измерения тесноты связи между  факторами и результативным показателем  исчисляют парные, частные и множественные коэффициенты корреляции. [3, с.34-35]

  Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1, причем, чем ближе коэффициент к +1, тем сильнее между показателями связь, выражающаяся в прямой зависимости, т.е. при увеличении одного показателя увеличивается и второй, и наоборот. Чем ближе коэффициент корреляции к -1, тем сильнее связь между показателями, выражающаяся в обратной зависимости, т.е. при увеличении одного показателя другой уменьшается, и наоборот. При приближении коэффициента к нулю связь между показателями ослабевает, имеет место предположение о независимости показателей. [6, с.30-31]

  Следует отметить, что значение коэффициента корреляции не зависит от единиц измерения  и выбора начала отсчета. Это означает, что если переменные Х и У уменьшить (увеличить) в К раз либо на одно и то же число С, то коэффициент корреляции не изменится.

  Парные коэффициенты рассчитываются для всевозможных пар переменных без учета влияния других факторов.

  Для того чтобы определить взаимное влияние  факторов, применяют частные коэффициенты корреляции, которые отличаются от коэффициентов парной корреляции тем, что выражают тесноту корреляционной зависимости между двумя признаками уже при устранении изменений, вызванных влиянием других факторов корреляционной модели. Частные коэффициенты корреляции используются при изучении связи между несколькими, чаще всего тремя, признаками (y, x, z) для ответа на вопрос о влиянии признака x на признак y при исключенном влиянии признака z на признак y или о влиянии признака z на признак y при исключенном влиянии признака x на признак y.

  Предполагая все связи линейными, получим: [3, c.34]

                                                                                         (32)

                                             ,                                   (33)

где - частный коэффициент корреляции между x и y при исключенном z;

      - частный коэффициент корреляции между y и z при исключенном x;

       - парные коэффициенты корреляции.

  Метод частной корреляции позволяет выявить “чистую” зависимость результативного признака y от данного факторного признака x и установить, каково было влияние этого факторного признака на величину результативного при условии, что другой факторный признак z оставался бы неизменным.

  Абсолютные  величины частных коэффициентов  корреляций не могут быть больше величины коэффициента множественной корреляции.

  Множественные коэффициенты корреляции показывают тесноту связи между анализируемым показателем и всеми факторами, включенными в модель.

  Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает, на сколько процентов вариация результативного показателя зависит от влияния избранных факторов.

  Далее осуществляется шаговый регрессионный  анализ, результатом которого является уравнение регрессии:

                                              ,                                   (34)

где y – функция (анализируемый показатель);

      - свободный член уравнения;

      - факторы, определяющие результативный показатель;

     - коэффициенты регрессии при факторных показателях, характеризующие уровень влияния каждого фактора на результативный показатель.

  От  правильного выбора уравнения регрессии  зависит ход решения задачи и  результаты расчетов.

  Общая оценка адекватности уравнения регрессии может быть получена с помощью дисперсионного F-критерия Фишера.[12, с.135]

                                                              ,                                                (35)

                                где ; ;                         (36)

- индивидуальные значения результативного  показателя;

- среднее значения результативного  показателя;

- фактические индивидуальные  значения результативного показателя;

- количество параметров в  уравнении связи, учитывая свободный  член уравнения;

- количество наблюдений.

  Значение  F показывает, в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с ее средней.

  Полученное  значение сравнивают с критическим (табличным). Если оно окажется больше соответствующего табличного значения, то данное уравнение регрессии статистически значимо, т.е. доля вариации, обусловленная регрессией, намного превышает случайную ошибку. Принято считать, что уравнение регрессии пригодно для практического использования в том случае, если не менее чем в 4 раза.

  Для парной регрессионной модели оценка значимости уравнения регрессии  по F-критерию равносильна оценке значимости коэффициента корреляции по t-критерию, т.к. эти критерии связаны между собой соотношением:

                                                                                                                     (37)

  Для оценки значимости коэффициентов регрессии  при линейной зависимости y от m факторов используют t-критерия Стьюдента. [12, с.132]

                                                              ,                                                     (38)

где - среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, определяется по формуле:

                                                                                                             (39)

  Если  расчетное значение t выше табличного, то можно сделать вывод, что величина коэффициента корреляции является значимой.

  Если  в уравнении все коэффициенты регрессии значимы, то данное уравнение признают окончательным и применяют в качестве модели изучаемого показателя для последующего анализа.

  Оценку  значимости коэффициентов регрессии  с помощью t-критерия проводят для завершения отбора существенных факторов в процессе многошагового регрессионного анализа. Суть его заключается в том, что после оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключают тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение t-критерия. Затем уравнение регрессии строится без исключенного фактора и снова проводится оценка адекватности уравнения и значимости коэффициентов регрессии. Такой процесс длится до тех пор, пока все коэффициенты регрессии не окажутся значимыми, что свидетельствует о наличии в регрессионной модели только существенных факторов.

  В некоторых случаях расчетное  значение находится вблизи, поэтому  с точки зрения содержательности модели такой фактор можно оставить для последующей проверки его  значимости в сочетании с другим набором факторов.

  Выбор адекватной модели производится на основе ошибки аппроксимации  : [12, с.136]

                                                        ,                                         (40)

  Наибольшее  значение ошибки аппроксимации свидетельствует о том, что оцениваемая модель дает наиболее адекватное описание формы взаимосвязи. Причем ошибка аппроксимации не должна превышать 0,2, или 20%.[8, с.52]

  Уравнение регрессии тем точнее описывает  зависимости, сложившиеся между исследуемыми показателями, чем выше величина коэффициентов множественной корреляции, детерминации, F-критерия и чем ниже величина стандартной ошибки.

  Если  добавление последующих факторов не улучшает оценочных показателей, а  иногда и ухудшает их, то надо остановится на том шаге, где эти показатели оптимальны.

  Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к  которой относятся исследуемые  явления. Всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения  регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков, т.е. с изучения, как они влияют на величину результативного признака.

  Особое  значение при этом имеет знак перед  коэффициентом регрессии. Знаки  коэффициентов регрессии говорят  о характере влияния на результативный признак. Если факторный признак имеет "+", то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если факторный признак с "-", то с его увеличением результативный признак уменьшается.

  Интерпретация этих знаков полностью определяется социально-экономическим содержанием моделируемого признака. Если его величина изменяется в сторону увеличения, то плюсовые знаки факторных признаков имеют положительное влияние. При изменении результативного признака в сторону снижения положительные значения имеют минусовые знаки факторных признаков. Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он со знаком минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Применение  корреляционно-регрессионных  моделей в планировании и прогнозировании.

  Прогнозирование и планирование экономики представляет собой сложный многоступенчатый процесс, в ходе которого должен решаться широкий круг различных социально-экономических и научно-технических проблем, для чего необходимо использовать самые разнообразные методы. По оценкам ученых, насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования; на практике же в качестве основных используются всего 15-20. Развитие информатики и средств вычислительной техники создает возможность расширения круга используемых методов прогнозирования и планирования и их совершенствование.

  Прогнозирование экономических процессов с использованием моделей включает разработку модели, ее экспериментальный анализ, сопоставление результатов прогнозных расчетов на основе модели с фактическими данными состояния объекта или процесса, корректировку и уточнение модели.

  Корреляционные  модели нашли применение во внутризаводском  планировании на предприятиях. Одним из элементов оперативного планирования производства являются календарно-плановые нормативы.

  Однако  корреляционные модели нашли применение не только в планировании, но и в  прогнозировании. Прогнозирование  тесно связано с планированием  и обычно предшествует ему. Методы корреляции используются для прогнозирования потребности в различных видах продукции, для прогноза параметров технических систем и других целей.

  Результаты  корреляционно - регрессионного анализа  могут быть использованы для планирования и прогнозирования уровня результативного показателя.

  Ограничением  прогнозирования на основании регрессионного уравнения служит условие стабильности или, по крайней мере, малой изменчивости других факторов и условий изучаемого процесса, не связанных с ними. Если резко изменится “внешняя среда” протекающего процесса, прежнее уравнение регрессии результативного признака на факторный потеряет свое значение.

  Прогнозируемое  значение результативного показателя получается при подстановке в  полученное уравнение регрессии плановой (прогнозной) величины факторного признака. При таком прогнозировании следует соблюдать еще одно ограничение: нельзя подставлять значения факторного признака, значительно отличающиеся от входящих в базисную информацию, по которой вычислено уравнение регрессии. При определении значений факторов необходимо не выходить за пределы трети размаха вариации как за минимальное, так и за максимальное значение фактора, имевшееся в исходной информации.